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5.4.3　正切函数的性质与图象-学案
课标要求 素养要求
1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题. 通过利用正切函数的图象，发现数学规律，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.
自主梳理
函数y＝tan x的图象和性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域 {x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)都是增函数
对称中心 (，0)(k∈Z)
(1)正切曲线是由相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，这些平行直线称为正切曲线的渐近线，与正切曲线无限接近但不相交.
(2)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(k∈Z)内是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数.
(3)正切函数无单调递减区间，在每一个区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数y＝tan x在其定义域上是增函数.(×)
提示　y＝tan x在区间(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数.
(2)函数y＝tan 2x的周期为π.(×)
提示　y＝tan 2x的周期为.
(3)正切函数y＝tan x无单调递减区间.(√)
(4)函数y＝2tan x，x∈的值域是[0，＋∞).(√)
2.函数y＝2tan (－x)是(　　)
A.奇函数 　　 B.偶函数
C.既是奇函数，又是偶函数 　　 D.非奇非偶函数
答案　A
解析　y＝2tan (－x)＝－2tan x，为奇函数.
3.与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是 (　　)
A.x＝ B.x＝－
C.x＝ D.x＝
答案　D
解析　∵2x＋≠＋kπ(k∈Z)，∴x≠＋(k∈Z)，故选D.
4.(多选题)在下列函数中，不同时满足：“①是奇函数，②以π为最小正周期”的是(　　)
A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝tan x D.y＝tan 2x
答案　ABD
解析　y＝sin x是奇函数，最小正周期为2π；y＝cos x是偶函数，最小正周期为2π；y＝tan x是奇函数，最小正周期为π；y＝tan 2x是奇函数，最小正周期为.故选ABD.
题型一　正切函数的定义域、值域问题
【例1】　(1)函数y＝3tan的定义域为________；
(2)函数y＝tan2x－2tan x的值域为________.
答案　(1)　(2)[－1，3＋2]
解析　(1)由－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠－－4kπ，k∈Z，
即函数的定义域为.
(2)令u＝tan x，∵|x|≤，
∴由正切函数的图象知u∈[－，]，
∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，
∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，
∴当u＝1时，ymin＝－1，
当u＝－时，ymax＝3＋2，
∴原函数的值域为[－1，3＋2].
思维升华　(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解.
【训练1】　函数y＝tan2＋tan＋1的定义域为________，值域为________.
答案　　
解析　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.
设t＝tan，
则t∈R，y＝t2＋t＋1＝＋≥，
所以原函数的值域是.
题型二　正切函数的单调性
角度1　求正切函数的单调区间
【例2－1】　求函数y＝tan的单调区间.
解　y＝tan＝－tan，
由－＋kπ思维升华　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
角度2　比较大小
【例2－2】　不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)tan与tan ；
(2)tan与tan.
解　(1)因为tan＝tan，tan＝tan，
又0<<<，y＝tan x在上是增函数，
所以tan(2)因为tan＝－tan，tan＝－tan，
又0<<<，y＝tan x在上是增函数，
所以tan>tan，所以－tan<－tan，
即tan思维升华　运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
【训练2】　(1)函数y＝3tan的单调递减区间为________.
答案　(k∈Z)
解析　y＝3tan＝－3tan，
∴kπ－<－∴4kπ－∴函数y＝3tan的单调递减区间为
(k∈Z).
(2)比较大小：tan和tan.
解　∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan.
又0<<<，y＝tan x在内单调递增，
∴tantan.
题型三　正切函数图象、性质的应用
【例3】　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
解　(1)∵ω＝，
∴最小正周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z).
(2)令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝；令－＝，则x＝.
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图).
思维升华　熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为，k∈Z.
【训练3】　画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
解　f(x)＝tan|x|化为
f(x)＝
根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示，
由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调递增区间为，(k∈N)；单调递减区间为，(k＝0，－1，－2，…).
1.求函数y＝Atan(ωx＋φ)＋B(A≠0，ω>0)的周期可应用公式T＝，也可以用函数的图象求解.
2.求函数y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，只需由－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ(k∈Z)解出x的取值范围即可.但若ω<0，可利用诱导公式将其化为正值，还要注意A的正负对函数单调性的影响.
3.对于与正切函数有关的复合函数的单调性，还要注意函数的定义域.　　

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