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第三章末复习提升-学案
要点一　求函数的定义域
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.
注意：a.f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；
b.定义域是指x的范围.
【例1】　(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　)
A. B.
C. D.∪
(2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　)
A. B.
C.[0，1] D.
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)由题意知解得x<1且x≠，即f(x)的定义域是∪.
(2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则x－1∈[－2，1]，即f(x)的定义域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0，1].
【训练1】　若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有(　　)
A.7个 B.8个
C.9个 D.10个
答案　C
解析　由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数.函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}，
当x＝±1时，y＝1；当x＝±2时，y＝4，
则定义域可以为{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1，2，－2}，{1，－2，2}，{1，－1，2，－2}，因此“同族函数”共有9个.
要点二　求函数的解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法).
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法.
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.
【例2】　(1)已知f(x－1)＝2x＋5，则f(x)的解析式为________.
(2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且 x，y∈R，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝________.
答案　(1)f(x)＝2x＋7　(2)x2＋x＋1
解析　(1)法一(换元法)　设x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝2(t＋1)＋5＝2t＋7，∴f(x)＝2x＋7.
法二(配凑法)　f(x－1)＝2x＋5＝2(x－1)＋7，所以f(x)＝2x＋7，即函数的解析式为f(x)＝2x＋7.
(2)法一　由已知条件得f(0)＝1，
又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
设y＝x，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
所以f(x)＝x2＋x＋1.
法二　令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，
即f(－y)＝1－y(－y＋1)，
将－y 用x代换得f(x)＝x2＋x＋1.
【训练2】　根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式.
解　当－3≤x<－1时，函数f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－；
当－1≤x<1时，同理，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1，1)代入，可得f(x)＝x－；
当1≤x<2时，f(x)＝1.
综上所述，f(x)＝
要点三　分段函数
1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验.
3.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可.
【例3】　已知函数f(x)＝
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)求f(f(1))；
(3)解不等式f(x＋1)>.
解　(1)f(x)的定义域为
(0，1)∪[1，2)∪＝.
易知f(x)在(0，1)上为增函数，∴0f(x)在上为减函数，∴0∴值域为.
(2)f(1)＝－＝.
f(f(1))＝f＝×＝.
(3)f(x＋1)>等价于
①或②
或③
解①得－∴f(x＋1)>的解集为∪[0，1)＝.
【训练3】　(1)已知f(x)＝则f＋f等于(　　)
A.－2 B.4
C.2 D.－4
(2)函数f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围是________.
答案　(1)B　(2)(－∞ ，－3)
解析　(1)∵f(x)＝
∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，
∴f＋f＝＋＝4.
(2)当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解.
故a的取值范围是(－∞，－3).
要点四　函数的概念与性质
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式.
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
【例4】　 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值.
解　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.
因此，实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
∵－2≤x11，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，
∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.
【训练4】　已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解　(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1故实数a的取值范围是(1，3].
要点五　函数的图象及应用
　作函数图象的方法
(1)描点法——求定义域、化简、列表、描点、连线.
(2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.
①平移：y＝f(x)y＝f(x±h)；
y＝f(x)y＝f(x)±k(其中h>0，k>0).
②对称：y＝f(x)　关于y轴对称y＝f(－x)；
y＝f(x)　关于x轴对称y＝－f(x)；
y＝f(x)　关于原点对称y＝－f(－x).
特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图.
【例5】　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的增区间；
(2)写出函数f(x)的值域.
解　(1)由f(x)为偶函数可知，其图象关于y轴对称，如图所示，作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象.
由图可知，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)的增区间是(－1，0)，(1，＋∞).
(2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函数的性质可得f(x)≥－1，即函数的值域为[－1，＋∞).
【训练5】　对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________.
答案　2
解析　首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个.
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0，3)，B(1，2)，C(5，8).
从图象观察可得函数f(x)的表达式：f(x)＝
f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1，2)，
所以f(x)的最小值是2.
要点六　幂函数的应用
幂函数y＝xα的性质
(1)当α>0时，
①图象都通过点(0，0)，(1，1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
③在第一象限内，α>1时，图象是向下凸上升的；0<α<1时，图象是向上凸上升的；
④在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展.
(2)当α<0时，
①图象都通过点(1，1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；
③在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；
④在第一象限内，过点(1，1)后，|α|越大，图象下降的速度越快.
【例6】　已知幂函数f(x)＝x－p2＋p＋(p∈N)在(0，＋∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数.
(1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1，问是否存在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在区间(－4，0)上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.
解　(1)由已知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
因而－p2＋p＋>0，解得－1又p∈N，因而p＝0或1或2.
当p＝0或p＝2时，f(x)＝x，不是偶函数；
当p＝1时，f(x)＝x2，符合题意.
(2)由(1)知g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1＝－qf2(x)＋(2q－1)f(x)＋1.
f(x)＝x2≥0，因而，当x∈(－∞，－4]时，f(x)＝x2∈[16，＋∞)；
当x∈(－4，0)时，f(x)＝x2∈(0，16).
若g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在区间(－4，0)上是增函数，则－＝16，即q＝－，也就是存在q＝－满足题设条件.
【训练6】　已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意x∈R恒成立，求实数c的取值范围.
解　(1)幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则－m2＋2m＋3为偶数，且－m2＋2m＋3>0，得－1当m＝0与m＝2时，－m2＋2m＋3＝3是奇数，不合题意，当m＝1时，f(x)＝x4.
(2)由(1)知g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1，若g(x)>2恒成立，则c－1>2，即c>3.故实数c的取值范围为(3，＋∞).
要点七　函数的应用
【例7】　食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农业合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚投入为x(单位：万元)，每年两大棚的收益为f(x)(单位：万元).
(1)f(50)的值；
(2)试问如何安排甲乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解　(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，
依题意得 20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180).
令t＝∈[2，6]，
则f(t)＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，f(x)max＝282，
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.
【训练7】　为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天 1 2 6
市场价y元 5 2 10
(1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系：①一次函数；②二次函数；③幂函数，并求出函数的解析式；
(2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格.
解　(1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，而模型①③均为单调函数，不符合题意，
故选择二次函数模型②，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)由表中数据可知
解得∴f(x)＝x2－6x＋10(x>0)，
(2)由(1)知f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
当x＝3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元，
故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数为第3天，最低的价格为1元.

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