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第四章 指数函数与对数函数章末复习提升-学案
要点一　指数、对数的运算
　指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
【例1】　(1)化简：÷×；
(2)计算：÷100－.
解　(1)原式＝××ab＝×a×ab＝a.
(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100
＝lg×10
＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
【训练1】　(1)化简：()－×()÷；
(2)计算：lg ＋2lg 2－.
解　(1)原式＝×÷10
＝2－1×103×10－＝2－1×10＝.
(2)lg ＋2lg 2－
＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2
＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.
要点二　指数函数、对数函数的图象问题函数图象的画法
画法 应用范围 画法技巧
基本函数法 基本初等函数 利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的有关知识，画出特殊点(线)，直接根据函数的图象特征作出图象
变换法 与基本初等函数有关联的函数 弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象
描点法 未知函数或较复杂的函数 列表、描点、连线
【例2】　函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)
答案　C
解析　法一　当x＝0时，y＝0，故可排除选项A，由1－x>0，得x<1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B，又易知函数在其定义域上是减函数，故选C.
法二　函数y＝2log4(1－x)的图象可认为是由y＝log4x的图象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y＝log4x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2log4x的图象；(2)把函数y＝2log4x的图象关于y轴对称得到函数y＝2log4(－x)的图象；(3)把函数y＝2log4(－x)的图象向右平移1个单位，即可得到y＝2log4(1－x)的图象，故选C.
【训练2】　在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)
答案　D
解析　幂函数f(x)＝xa的图象不过(0，1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错.
要点三　大小比较问题
数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.
【例3】　设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
答案　C
解析　因为π>2，所以a＝log2π>1，b＝logπ<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0c>b.
【训练3】　设a＝log3，b＝，c＝2，则(　　)
A.aC.c答案　A
解析　a＝log3<0，01，
故有a要点四　函数的零点与方程的根
函数的零点与方程的根的关系及应用
(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.
【例4】　(1)函数f(x)＝的零点个数是________；
(2)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
答案　(1)2　(2)(3，＋∞)
解析　(1)①当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－2＝0，解得x＝或x＝－.因为x≤0，所以x＝－.
②法一　(函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x.
而f(1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)·f(3)<0，又函数f(x)的图象是连续的，故由零点存在定理，可得函数f(x)在(1，3)内至少有一个零点.而函数y＝2x－6在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增.故函数f(x)＝2x－6＋
ln x在(0，＋∞)内有且只有1个零点.综上，函数f(x)共有2个零点.
法二　(数形结合法)当x>0时，由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0，
即ln x＝6－2x.
如图，分别作出函数y＝ln x和y＝6－2x的图象.
显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解.
综上，函数f(x)共有2个零点.
(2)如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.
当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，
在(m，＋∞)为增函数.
若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m＜|m|.
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.
【训练4】　已知关于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常数a，b同号，b，c异号，则下列结论中正确的是(　　)
A.此方程无实根
B.此方程有两个互异的负实根
C.此方程有两个异号实根
D.此方程仅有一个实根
答案　D
解析　由常数a，b同号，b，c异号，可得a，c异号，令2x＝t，则方程变为at2＋bt＋c＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为<0，故关于t的方程只有一个正实数根，故关于x的方程只有一个实数根.
要点五　函数模型的应用
1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.
(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.
(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.
2.建模的三个原则
(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.
(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.
【例5】　某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本).销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝
假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)要使工厂有盈利，求产量x的取值范围；
(3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
解　(1)由题意得G(x)＝2.8＋x.
∴f(x)＝R(x)－G(x)
＝
(2)①当0≤x≤5时，
由－0.4x2＋3.2x－2.8>0得x2－8x＋7<0，
解得1②当x>5时，由8.2－x>0，得x<8.2，
所以5综上，当10，
即当产量x大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利.
(3)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6；
当x>5时，∵函数f(x)单调递减，
∴f(x)综上，当工厂生产4百台产品时，可使盈利最多，为3.6万元.
【训练5】　某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1).
(1)若a＝，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
解　(1)因为a＝，则f(x)＝＋2≥2.
当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0，
得x＋1＝25＝5，
即x＝4.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.
(2)设t＝log25(x＋1)，
则当0≤x≤24时，0≤t≤1.
设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]，
则g(t)＝
显然g(t)在[0，a]上是减函数，在(a，1]上是增函数，
则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}，
因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，
则有
解得a≤，
又a∈(0，1)，故调节参数a应控制在内.

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