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5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时　两角差的余弦公式-学案
课标要求 素养要求
1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 在熟知两角差余弦公式的意义的基础上，重点提升学生的数学运算、逻辑推理的素养.
自主梳理
1.公式：对于任意角α，β都有cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β.
2.简记符号
任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β).
(1)公式的结构特征：
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是n个角的组合，如cos(α＋β)·cos β＋sin(α＋β)·sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β.(×)
提示　例如α＝β＝，cos(α－β)＝cos 0＝1，cos α－cos β＝0，∴不成立.
(2)存在角α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β.(√)
(3)cos 175°cos 55°＋sin 175°sin 55°＝－.(√)
2.(多选题)下列结论正确的是(　　)
A.存在这样的α和β值，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β
B.不存在无穷多个α和β值，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β
C.对任意的α和β，都有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
D.不存在这样的α和β值，使得cos(α－β)≠cos αcos β＋sin αsin β
答案　ACD
解析　若sin α或sin β有一个为0，即α＝kπ(k∈Z)或β＝kπ(k∈Z)，则cos(α－β)＝cos αcos β，故A，C，D正确，B不正确，故选ACD.
3.cos 54°cos 24°＋cos 36°sin 24°＝________.
答案　
解析　cos 54°cos 24°＋cos 36°sin 24°＝cos 54°cos 24°＋sin 54°sin 24°＝cos 30°＝.
4.cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.
答案　
解析　原式＝cos(x＋27°－x＋18°)＝cos 45°＝.
题型一　两角差的余弦公式的简单应用
【例1】　(1)cos(－15°)的值是(　　)
A. B.
C. D.
(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.
(3)＝________.
答案　(1)D　(2)　(3)
解析　(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝.
(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
(3)原式＝
＝
＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝.
思维升华　利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
【训练1】　求下列三角函数式的值：
(1)sin；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
解　(1)原式＝cos＝cos＝cos
＝coscos＋sinsin＝.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
题型二　给值求值
【例2】　已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β 的值.
解　∵0<α，β<，∴0<α＋β<π.
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝＝＝.又∵cos α＝，∴sin α＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝.
思维升华　给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.
(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).
【训练2】　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α－β)的值.
解　∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－.
又β∈，cos β＝－，∴sin β＝－＝－.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
题型三　给值求角
【例3】　已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值.
解　∵α，β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
思维升华　已知三角函数值求角的解题步骤
(1)求所求角的某种三角函数值(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数).
(2)结合三角函数值及角的范围求角.
【训练3】　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求β的大小.
解　∵sin(π－α)＝sin α＝，0<α<，
∴cos α＝，又∵0<β<α<，∴0<α－β<，
又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝＝.
又∵0<β<，∴β＝.
1.记住两角差的余弦公式的特征，既可以正用，也可以逆用.
2.在利用两角差的余弦公式求值时，不可机械地套用公式，而要从题目条件出发，将要求的角分解成题中已知角的差.
3.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值.
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.　　　　

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