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5.5.2　简单的三角恒等变换-学案
课标要求 素养要求
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想. 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
自主梳理
1.半角公式
sin＝±.
cos＝±.
tan＝±(无理形式).
tan＝＝(有理形式).
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定，或者sin φ＝，cos φ＝.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)sin 15°＝±.(×)
提示　sin 15°＝.
(2)对于 α∈R，sin＝sin α都不成立.(×)
提示　∵sin α＝2sincos，只有当cos ＝1时sin＝sin α才能成立.
(3)若5π<θ<6π，cos＝a，则cos＝.(×)
提示　∵∈为第三象限角，
故cos ＝－.
2.化简·的结果为________.
答案　tan 2α
解析　原式＝·＝tan 2α.
3.函数f(x)＝5cos x＋12sin x的最小值为________.
答案　－13
解析　f(x)＝13
＝13sin(x＋φ)，
∴f(x)min＝－13.
4.已知sin α＝，cos α＝，则tan＝________.
答案　－2
解析　因为sin α＝>0，cos α＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限，所以tan>0，故tan＝＝＝－2.
题型一　利用半角公式求值
【例1】　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan .
解　∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角.
当为第二象限角时，
sin＝＝，cos＝－＝－，
tan＝－＝－；
当为第四象限角时，
sin＝－＝－，
cos＝＝，
tan＝－＝－.
思维升华　利用半角公式求值的思路
(1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算.
(4)下结论：结合(2)求值.
【训练1】　已知sin θ＝－，3π<θ<π，则tan的值为(　　)
A.3 B.－3
C. D.－
答案　B
解析　∵3π<θ<，sin θ＝－，∴cos θ＝－，tan＝＝－3.
题型二　三角函数式的化简
【例2】　化简：
(－π<α<0).
解　原式＝
＝
＝＝.
因为－π<α<0，所以－<<0, 所以sin<0，
所以原式＝＝cos α.
思维升华　探究三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.
【训练2】　设α∈，化简：.
解　∵α∈，∈，
∴cos α>0，cos <0，
故原式＝＝
＝＝＝－cos.
题型三　三角恒等式的证明
【例3】　证明：
＝.
证明　左边＝
＝
＝＝＝.
右边＝＝，
所以左边＝右边，即等式成立.
思维升华　探究证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
【训练3】　求证：－tan θ·tan 2θ＝1.
证明　左边＝－tan θ·tan 2θ＝－
＝＝＝
＝＝1＝右边，原等式得证.
题型四　利用辅助角公式研究函数性质
【例4】　已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解　(1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)，
∴所求x的集合为.
思维升华　(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角恒等变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
【训练4】　已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.
解　(1)f(x)＝·
＝cos2x－sin2x＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)，
即x＝kπ－(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的集合为.
1.三角恒等变换的三个原则：
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的组合，拆分，从而正确使用公式.
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式.
(3)三看“结构特征”，通过分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“通分”“因式分解”“配方”“巧妙地应用1进行代换”等.
2.辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)((ab≠0，其中tan φ＝)的作用是把三角函数式化为一个角的三角函数.运用该公式可以更方便地研究三角函数的图象和性质.

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