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5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象-学案
课标要求 素养要求
1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤. 通过整体代换和图象的变换提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.
自主梳理
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A](A>0)，最大值为A，最小值为－A.
(1)左右平移是对x本身而言的，如果x前面的系数不是1，应提取系数，然后进行平移，如函数y＝sin向右平移个单位得y＝sin＝sin.
(2)周期变换也是对x本身而言的，与φ无关，如函数y＝sin的图象纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍得到y＝sin＝sin的图象.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)把函数y＝sin x的图象向右平移2个单位得到函数y＝sin(x＋2)的图象.(×)
提示　应得到y＝sin(x－2)的图象.
(2)把函数y＝sin x的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合.(√)
(3)函数y＝3cos的最大值为3.(√)
2.(多选题)有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象的是(　　)
A.将图象上的点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移个单位长度
B.将图象上的点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移个单位长度
C.将图象向左平移个单位长度，再将图象上的点的横坐标变为原来的
D.将图象向左平移个单位长度，再将图象上的点的横坐标变为原来的
答案　BC
解析　将y＝sin x图象上的点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin，故A不正确；将y＝sin x图象上的点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin，故B正确；将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再将图象上的点的横坐标变为原来的，得y＝sin，故C正确；将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再将图象上的点的横坐标变为原来的，得y＝sin，故D不正确.故选BC.
3.(多选题)用“五点法”作函数y＝2sin的图象时，需描的点有(　　)
A. B.
C. D.
答案　BCD
解析　分别令2x＋＝0，，π，，2π得x＝－，，，，，所以“五点”分别为，，，，，故选BCD.
4.将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为________.
答案　y＝cos
解析　由题意得所得图象对应的解析式为y＝cos 2＝cos.
题型一　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例1】　已知函数y＝sin.
利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图.
解　下面用“五点法”画函数y＝sin在一个周期T＝4π内的图象.
令X＝x＋，则x＝2X－.
先列表，后描点并画图.
X 0 π 2π
x －
y 0 1 0 －1 0
思维升华　用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”.同时也要注意“五点法”的逆用，即由y＝Asin(ωx＋φ)的图象反过来确定ωx＋φ的值.
【训练1】　请用“五点法”画出函数y＝sin的图象.
解　函数y＝sin的周期T＝＝π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象，令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X 0 π 2π
x
y 0 0 － 0
描点画图：
利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象向左、向右平移即得y＝sin的图象.
题型二　三角函数图象的平移变换
【例2】　(1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
(2)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)函数y＝2sin的周期为T＝＝π，向右平移个周期，即向右平移后，得到图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
(2)y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos.
若设f(x)＝sin 2x＝cos ，
则f＝cos，
∴向左平移个单位.
思维升华　三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离.
【训练2】　将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为________.
答案　y＝－cos 2x
解析　将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x.
题型三　三角函数图象的伸缩变换
【例3】　说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.
解　法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象.
法二　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象.
思维升华　三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的.
(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的.
【训练3】　(1)为了得到函数y＝sin的图象，需将函数y＝sin的图象(　　)
A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
C.横坐标变为原来的，纵坐标不变
D.纵坐标变为原来的，横坐标不变
(2)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)只需将函数y＝sin的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin的图象，故选C.
(2)C1：y＝cos x＝sin.
y＝sin 2，y＝sin.
1.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先作变量代换，令α＝ωx＋φ，再由α取0，，π，，2π来确定相应的x值，最后根据x，y的值描点、连线并作出函数的图象.
2.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两种：
(1)y＝sin xy＝sin（x＋φ）
y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）；
（2）y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin＝sin（ωx＋φ）
y＝Asin（ωx＋φ）.
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方，应特别注意．　　　

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