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第五章章末复习提升-学案
要点一　任意角三角函数的定义
利用定义求三角函数值的两种方法：
(1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.
(2)取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【例1】　已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2).
(1)若m＝2，求5sin α＋3tan α的值；
(2)若cos α≤0，且sin α>0，求实数m的取值范围.
解　(1)若m＝2，则P(－3，4)，
所以x＝－3，y＝4，r＝5，
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，
故5sin α＋3tan α＝5×＋3×＝4－4＝0.
(2)由题意知，cos α＝≤0，sin α＝>0，
即x≤0，y>0，所以
所以－2【训练1】　已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　B
解析　由题意知P(－8m，－3)且cos α＝－，∴r＝，∴cos α＝＝－，且m>0，∴m2＝，∴m＝.故选B.
要点二　同角三角函数基本关系式的应用
同角三角函数基本关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现α的正弦、余弦的转化，利用＝tan α可以实现角α弦切互化.
(2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α.
(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.
【例2】　(1)已知tan α＝，α∈，则sin α－cos α＝________.
答案　－
解析　因为tan α＝＝，
由解得
所以sin α－cos α＝－＝－.
(2)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.
①求tan α的值；
②把用tan α表示出来，并求其值.
解　①由sin α＋cos α＝，
得1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－，
因为α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝
＝
＝＝，
故得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
②＝＝，
又tan α＝－，
所以＝＝－.
【训练2】　若tan α＝－，求下列各式的值.
(1)；(2)sin2α＋2sin αcos α.
解　(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝
＝＝－.
要点三　诱导公式的应用
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，±α，π±α(或k·±α，k∈Z)的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简.
(2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用.
【例3】　已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值.
解　∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)
＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·＝sin α·tan
＝sin α·＝sin α·＝cos α＝.
【训练3】　已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.
答案　－
解析　∵方程2x2－x－1＝0的根为－或1，
又α是第三象限角，∴sin α＝－，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝，
∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.
要点四　三角函数式的化简
1.三角函数式化简的常用方法
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化；
(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；
(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用；
(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；
(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等.
2.三角函数式化简的主要技巧
(1)角的变换——异角化同角；
(2)名的变换——异名化同名；
(3)式的变换——幂的升降等；
(4)常值代换——代换三角函数式或值.
【例4】　化简：(0<α<π).
解　∵tan ＝，
∴tan (1＋cos α)＝sin α.
又∵cos＝－sin α，且1－cos α＝2sin2.
∴原式＝＝
＝－.
∵0<α<π，∴0<<，∴sin >0，
∴原式＝－2cos .
【训练4】　化简：.
解　原式＝
＝＝＝cos 2x.
要点五　三角函数求值
三角函数求值的三种情况
(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，一般用已知角表示所求角.
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再根据角的范围，确定角.
【例5】　(1)的值为(　　)
A.－ B.
C. D.－
(2)已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)
A.－ B.－
C.－ D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)原式＝＝＝＝.
(2)因为tan＝＝，
所以tan α＝－，
因为－<α<0，所以sin α＝－，
则＝
＝2sin α＝－.
【训练5】　已知sin＝，0<α<，求的值.
解　∵cos＝sin＝，0<α<，
∴<α＋<，sin＝，
又∵cos 2α＝sin＝sin2，
∴＝
＝2sin＝.
要点六　三角恒等变换的综合应用
利用三角恒等变换研究函数性质的方法步骤：
(1)运用和、差、倍角公式化简；
(2)统一把f(x)化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式；
(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质.
【例6】　已知函数f(x)＝cos xsin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
解　(1)由已知，有f(x)＝
cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－1≤sin≤，∴－≤f(x)≤，
所以，函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
【训练6】　已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间.
解　(1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin.
又f(x)的最小正周期为π，ω>0，
∴T＝＝π，∴ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
要点七　三角函数的图象
1.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤：
第一步：列表，由ωx＋φ＝0，，π，，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值.
x － － － － －
ωx＋φ 0 π π 2π
y 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，进而形成图象.
2.由图象或部分图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数
(1)A：由最大值、最小值来确定A.
(2)ω：通过求周期T来确定ω.
(3)φ：利用已知点列方程求出.
【例7】　设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.
答案　3＋
解析　由图可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，所以ω＝1.再根据f＝2得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z).又因为－<φ<，所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋.
【训练7】　函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.
答案　2，－
解析　由题图可知＝－＝，
∴T＝π，ω＝＝2，
又2×＋φ＝，所以φ＝－.
要点八　三角函数图象的变换
由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
【例8】　(1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，x∈R)在区间上的图象.为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(2)将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为______________.
答案　(1)A　(2)y＝sin x
解析　(1)由题图象知A＝1，T＝－＝π，所以ω＝＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又图象过点，由五点法知＋φ＝π，所以φ＝，所以y＝sin.
故将函数y＝sin x的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，可得函数y＝sin的图象.
(2)y＝sin 2x的图象y＝
sin＝sin x的图象y＝
sin x的图象，即所得图象的解析式为y＝sin x.
【训练8】　将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是(　　)
A.x＝ B.x＝
C.x＝π D.x＝
答案　D
解析　y＝cos
y＝cos
y＝cos，即y＝cos.
由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，
又当x＝时，y＝cos＝1，故选D.
要点九　三角函数的性质
1.三角函数的周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
2.三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式.
3.求三角函数值域(最值)的方法
(1)利用sin x，cos x的有界性.
(2)从y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域.
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误.
4.求三角函数的单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间.
【例9】　已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值.
解　(1)f(x)＝2sin＋a，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(3)当x∈时，2x－∈，
所以当2x－＝－，
即x＝0时，f(x)取得最小值，
即2sin＋a＝－2，
故a＝－1.
【训练9】　已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，φ∈.
(1)求这条曲线的函数解析式；
(2)求函数的单调递增区间.
解　(1)依题意知，A＝，T＝π－＝π，T＝4π，
∴ω＝＝，
由×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)得：
φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈，∴φ＝，
∴这条曲线的函数解析式为y＝sin.
(2)由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)得：
4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，
∴函数的单调递增区间是(k∈Z).

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