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专题八圆与圆的位置关系
知识点1 圆与圆的位置关系的判断
圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
例题1.当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
【解析】　将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．当|－1|＜5＜1＋，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当＋1|<5，即34＜k＜50时，两圆外离．
知识点二 两圆相切问题
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
例题2：（1）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】 C．【解析】由题意得，两圆半径分别为，，而两圆的圆心距为，
（2）圆与圆内切，求的值。
【答案】或【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有，
解得或.
故答案为：或.
（3）已知圆C1：(x－a)2＋（y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】C【详解】由圆C1与圆C2外切，
可得＝3，即＝9，根据基本不等式可知，当且仅当a＝b
（4）已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝3或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
【答案】D【详解】
由圆A：（x-5）2+（y+7）2=16，得到A的坐标为（5，-7），半径R=4，且圆B的半径r=1，
根据图象可知：
当圆B与圆A内切时，圆心B的轨迹是以A为圆心，半径等于R-r=4-1=3的圆，
则圆B的方程为：（x-5）2+（y+7）2=9；
当圆B与圆A外切时，圆心B的轨迹是以A为圆心，半径等于R+r=4+1=5的圆，
则圆B的方程为：（x-5）2+（y+7）2=25．
综上，动圆圆心的轨迹方程为：（x-5）2+（y+7）2=25或（x-5）2+（y+7）2=9．
举一反三：
【变式1】已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是 (　 　)
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25
【答案】A
【解析】
设动圆圆心为，且半径为1，又圆的圆心为，半径为4，由两圆相外切，得，即动圆圆心的轨迹是以为圆心、半径为5的圆，其轨迹方程为；故选A.
【变式2】已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________．
【答案】【详解】
由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，
即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，
当且仅当a＝b时取等号，即ab的最大值是．
【变式3】求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
【解析】　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圆与直线y＝0相切、半径为4，
则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.
①当圆心为C1(a,4)时，
(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
故可得a＝2±2，故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2
＋2)2＋(y－4)2＝16.
②当圆心为C2(a，－4)时，
(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2.
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.
综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16
知识点三 两圆相交问题
求两圆公共弦长的方法
一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；
二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
例题3 .已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
【解析】　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解．
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
(2)解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则＝，
解得a＝，故圆心为，半径为.
故圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
（2）圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A．相离　　　B．相交　　　C．外切　　　D．内切
【答案】B　【解析】圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝（3）若圆与圆相交，则实数a的取值范围是______.
【答案】【详解】
两圆圆心分别为，，半径分别为1，5，
，两圆相交，则，解得且，
（4）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D【详解】
根据题意若要圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，
可转化为以为直径的圆和圆C有交点，
以为直径的圆的方程为，圆心为，半径为，
由点在圆C外，所以若要两圆相交可得，
由可得，解得，
m的最大值为，
举一反三：
【变式1】已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
【答案】x＋3y－5＝0【详解】
两个圆方程可化为，，
两式相减得，即.
故答案为：
【变式2】若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.
【答案】1【详解】将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.
圆的圆心为，半径为.
到直线的距离为：
，解得.
【变式3】已知相交两圆，圆，公共弦所在直线方程为___________，公共弦的长度为___________.
【答案】
【变式4】已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
设，则，，
∵，即，
∴，即在以原点为圆心，半径为1的圆上，
而圆的圆心为，半径为R，
∴圆上存在点，即圆与有交点，
∴.
【变式5】已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是____．
【答案】【详解】
因为直径所对的圆周角为90°，而，
所以以AB为直径的圆与圆存在公共点，
故两圆相交或相切，
所以
解得.
例题5（1）圆与圆的公切线的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C【详解】
圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则两圆心的距离为，则两圆相交，公切线条数为两条
（2）已知与有且仅有3条公切线，则的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】由题意得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
因为与有且仅有3条公切线，
所以两圆相外切，
所以，解得或，
所以的取值集合为，
（3）平面内与点距离为3，且与点距离为2的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【详解】
由题意知：，故以为圆心3为半径的圆与以为圆心2为半径的圆：外切，如下图示
∴分别与、距离为3、2的直线为两圆的公切线，共有3条，
（4）已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B【详解】
因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆外切，
因为，，，，所以，所以，
所以的轨迹是圆心在原点、半径为的圆，
又因为表示与的距离，
所以.故选：B.
举一反三：
【变式1】两圆：与：的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【详解】
由题意，圆的圆心，半径为1，而圆的圆心为，半径为2，
∴，故圆、圆外切.
∴它们公切线条数为3条.
【变式2】圆与圆的公切线的条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D【详解】两圆的圆心分别为，则两圆的圆心距，
又半径分别为，所以，则两圆外离，因此它们有4条公切线.
故选：D
【变式3】已知圆，那么两圆公切线的条数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C【详解】
由题设有：，，
故，
因为，故两圆相交，所以两圆的公切线条数为2.
【变式4】两圆和恰有三条公切线，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为.
由于圆和恰有三条公切线，则这两圆外切，
所以，，即，所以，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.故选：C.
例题6（1）点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为0
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】BC
【详解】根据题意，圆，其圆心，半径，
圆，即，其圆心，半径，
圆心距，
则的最小值为，最大值为，故A错误，B正确；
对于C，圆心，圆心，则两个圆心所在的直线斜率，C正确，
对于D，两圆圆心距，有，两圆外离，不存在公共弦，D错误．
故选：BC．
（2）已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于直线3x-2y-4=0对称，则圆C2的方程是（ ）
A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25
C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25
【答案】B【详解】圆C2与圆C1关于直线3x-2y-4=0对称，则圆心与圆心关于直线对称，
，关于直线3x-2y-4=0对称的点为，则有
解得：，所以，又
则圆的方程为(x-5)2＋(y+1)2＝25.
（3）已知点Q是圆上任意一点，点，点，点P满足，则的最小值为___________.
【答案】【详解】
设，由可得，，化简得，，所以点的轨迹为圆，圆心坐标为，点Q在圆上，两圆的圆心距为，所以两圆相离，故的最小值为．
故答案为：．
（4）设圆的半径为，圆心是直线与直线的交点．
（1）若圆过原点，求圆的方程；
（2）已知点，若圆上存在点，使，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得，所以圆心.
又圆过原点，，圆的方程为：；
（2）设，由，得：，化简得.
点在以为圆心，半径为的圆上.
又点在圆上，，
即，.
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为________.
【答案】【详解】
若圆和圆关于直线对称，
则直线为两个圆心的中垂线，
的圆心为，
的圆心为.，中点为
可得直线为 ，整理得：.故答案为：.
【变式2】已知圆C1：（x＋1）2＋（y－3）2＝25，圆C2与圆C1关于点（2,1）对称，则圆C2的方程是______________________.
【答案】（x－5）2＋（y＋1）2＝25
【详解】
设⊙C2上任意一点P（x，y），它关于（2,1）的对称点（4－x,2－y）在⊙C1上，∴（x－5）2＋（y＋1）2＝25.
【变式3】在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是_________.
【答案】【详解】
将题意等价为圆关于直线对称圆与圆有交点，
由题意得，圆，圆心为，半径为r，
又，圆心为，半径为2，
所以，
若两圆相交，则满足，
解得.
所以的取值范围是.故答案为：
【变式4】点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是（ ）
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5
【答案】C【详解】
圆化为标准方程为，
圆心为C1(4,2)，半径为3；
圆化为标准方程为,
圆心为C2( 2, 1)，半径为2，
∴两圆的圆心距为，
∴两圆外离，
∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和，即35.
交时，可利用弦三角形勾股定理，求弦长.
【变式5】已知圆：．
（1）过点作圆的切线l，求l的方程；
（2）若圆：与圆相交于A，B两点，求.
【答案】（1）或；（2）．
【详解】（1）圆方程可化为，则，
若切线l斜率存在，则设l的方程为，即，则，解得，l的方程为，即，
若切线l斜率不存在时，方程为，此时与圆相切，
的方程为或；
（2）与方程相减得直线AB的方程为，则到直线AB的距离，．
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