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均匀分布
§3.3 指数分布
§3.4 正态分布
几个重要的连续型随机变量
一、均匀分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
则称 X 服从[a, b]上的均匀分布，
记作：X ～ U [a, b]
可得，如果随机变量 X 服从区间[a, b]上的均匀分布，则随机变量 X 在区间[a, b]上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。
再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认为候车时间服从区间(0，a)上的均匀分布 ．
例1 某公共汽车每10分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超过3分钟的概率.
例2 设随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求以下一元二次方程有实根的概率。
二、指数分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
则称 X 服从参数为λ的指数分布，
记作：X ～ exp (λ)
指数分布的应用背景：
因为指数分布只可能取非负实数，所以它被用作各种“寿命”分布的近似分布，例
（1）电子元器件的寿命，
（2）随机服务系统中的服务时间等
例3 某电子元件的寿命X(年）服从参数λ＝3的指数分布
（1）求该电子元件寿命超过2年的概率。
（2）已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率
指数分布具有无记忆性：
若X表示一电子元件的寿命，上式表明一个已经使用了时间s（单位）未损坏的电子元件，它能够再继续使用时间t以上的概率与一个新的电子元件能够使用t以上的概率是相同的。（与过去经历的时间无关）
例4 某种型号灯泡的使用寿命X小时是一个连续型随机变量，其概率密度为
（1）任取一只灯泡，求这只灯泡使用寿命在1200小时以上的概率。
（2）任取两只灯泡，求两只灯泡使用寿命都都在1200小时以上的概率。
例5 设连续型随机变量X服从参数为λ（λ>0）的指数分布，且已知
（1）求参数λ值
（2）概率P(50三、正态分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
其中 及 ＞0都为常 数，
则称 X 服从正态分布（或高斯分布），
记作：X ～ N ( ， 2)
（1）非负性
（2）正规性
特别地，当 =0 及 =1 时，其概率密度为
则称 X 服从标准正态分布，
记作：X ～ N (0，1)
正态分布密度函数：
（一）、特殊情形：标准正态分布
（1）偶函数（关于x=0对称），在负半轴单调上升，在正半轴单调下降；
（2）曲线在x=0处达到峰值(最高点)
（3）曲线以x轴为渐近线
（二）、一般情形：正态分布
（1）关于直线x=μ对称.，在负半轴单调上升，在正半轴单调下降；
（2）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（3）曲线以x轴为渐近线
两头低，中间高，对称的特征。

当固定σ, 而改变μ 值的大小时，φ(x)图形的形状不变，只是沿x着轴平移, 故μ称为位置参数
当固定μ , 而改变σ值的大小时，φ(x)图形的对称轴不变，而形状在改变， 故σ称为形状参数

=0.5
=1
=2
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
很多现象可以用正态分布描述或近似描述：
比如：
同龄人的身高和体重；
在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；
农作物的产量，小麦的穗长、株高；
测量误差，
都服从或近似服从正态分布.
正态分布的分布函数：
（一）、特殊情形：标准正态分布
若
则其分布函数为
称其为标准正态分布函数。
（1） 0(0) =0.5
（2）当x>0时，查标准正态分布函数表（附表2）
（3）当x<0时 ,利用关系式
0(x) 的计算
比如：
0(0)
0(1)
0(-1)
0(2)
0(-2)
0(3)
0(-3)
=0.5
=0.8413
=0.1587
=0.9772
=0.0228
=0.9987
= 0.0013
相关事件的概率计算
若
则X在各类区间的概率等于φ0(x)在该区间的积分，用Φ0(x)表示如下：
(1) P(X a) = 0(a);
(2) P(X>a) =1 0(a);
(3) P(a(4) 若a 0, 则
P(|X|= 0(a) [1 0(a)] = 2 0(a) 1
若 则
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
P(|X|<3) = 2 0(3) 1=0.9974
P(|X|<1) = 2 0(1) 1=0.6826
P(|X|<2) = 2 0(2) 1=0.9544
（二）、一般情形：正态分布
若
则其分布函数为
定理 若
则
从而X取值于某区间的概率问题转换为了标准正态分布随机变量Y的取值概率计算。
若 则
这说明，X的取值几乎全部集中在[ -3 ， +3 ]内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.称为3σ法则
例6. 已知连续型随机变量X服从标准正态分布，函数值
则概率P(-1例7.已知连续型随机变量 函数值
则概率P(|X|<2.88)=________.
例8.已知连续型随机变量 函数值
求：(1)P(0(2)P(X<-2)
(3)P(X>2)
例9.已知连续型随机变量 若概率
则常数c=( )
例10.已知连续型随机变量 若概率
则常数λ=________.
例11.某大学男生体重Xkg是一个连续型随机变量，它服从参数为μ=58kg,σ=2kg的正态分布，从中任选1位男生，求这位男生体重在55kg~60kg的概率。
（函数值 ）
例12.某地区语文统考成绩X分是一个离散型随机变量，近似认为连续型随机变量，它服从正态分布 ，规定试卷成绩达到或超过60分为合格，若μ=70，合格率为89.44%，求：
（1）参数σ的值；
（2）任取1份语文试卷成绩超过80分的概率；
（3）任取4份语文试卷中至少有1份试卷成绩超过80分的概率。
（1）概率
例13.已知连续型随机变量 函数值
求：
（2）概率
例14.填空题
已知连续型随机变量 函数值
则概率
___________.
例15.填空题
已知连续型随机变量X~N(40,52),若概率
则常数a=________.

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