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4.4　解直角三角形的应用
第1课时 与仰角、俯角有关的应用题
一、选择题
1.如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙的(　　)
A．俯角30°方向 B．俯角60°方向 C．仰角30°方向 D．仰角60°方向
2.飞机飞行的高度为750 m，从飞机上测得机场指挥塔的俯角为60°，则此时飞机离机场指挥塔的距离是(　　)
A．1 500 m B．750 m C．500 m D．1 000 m
3.【中考·长春】如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为(　　)
A．800sin α米 B．800tan α米 C．米 D．米
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
4.【中考·河北】如图，从点C观测点D的仰角是(　　)
A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
5.【2020·苏州】如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他进行了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；(2)量得测角仪的高度CD＝a；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为(　　)
A．a＋b tan α B．a＋b sin α C．a＋ D．a＋
6．【2021·长春期末】如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为(　　)
A．2sin α B．2cos α C. D．2tan α
7.【中考·苏州】如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5 m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是(　　)
A．55.5 m B．54 m C．19.5 m D．18 m
第7题图 第8题图 第9题图
8.【中考·益阳】南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高度CD为(　　)
A．asin α＋asin β B．acos α＋acos β C．atan α＋atan β D.＋
9.【中考·日照】如图，甲、乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为(　　)
A．11米 B．(36－15)米 C．15米 D．(36－10)米
10.【2021·重庆A卷】如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为(　　)(参考数据：≈1.41，≈1.73)
A. 9.0m B. 12.8m C. 13.1m D. 22.7m
第10题图 第11题图 第12题图
11.【2021·重庆B卷】如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为(　　)
(参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19)
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
12.【2021·山东泰安】如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)(　　)
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
二、填空题
13.【中考·金华】如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0°刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是________．
第13题图 第14题图 第15题图
14.【2020·赤峰】如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为________米(结果保留根号)．
15.如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝________m(结果保留根号)．
16.【中考·邵阳】如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达 A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30° .n s后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n s中上升的高度是________km.
第16题图 第17题图 第18题图
17.【2021·黄冈】如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为__________(结果保留小数点后一位).(参考数据，，)
18.【2020·济宁】如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°.若斜面坡度为1：，则斜坡AB的长是________米．
三、解答题
19.【2021·娄底】我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度.(结果精确到1m/s，取≈1.414，≈1.732)
20.【2020·怀化】如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．(已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数)
21.【2020·聊城】如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35 m，然后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°.已知居民楼CD的高度为16.6 m，小莹的观测点N距地面1.6 m．求居民楼AB的高度．(精确到1 m，参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
22.【2020·青海】某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，≈1.732)
23.【2020·鄂州】鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上，其中tan α＝2，MC＝50米．
(1)求无人机的飞行高度AM；(结果保留根号)
(2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
24.慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D，B，F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos 62.3°≈0.46，tan 62.3°≈1.9)
(1)求小亮与塔底中心的距离BD(用含a的式子表示)；
(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB.
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参考答案
一、选择题
1.如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙的(　C　)
A．俯角30°方向 B．俯角60°方向 C．仰角30°方向 D．仰角60°方向
2.飞机飞行的高度为750 m，从飞机上测得机场指挥塔的俯角为60°，则此时飞机离机场指挥塔的距离是(　C　)
A．1 500 m B．750 m C．500 m D．1 000 m
3.【中考·长春】如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为(　　)
A．800sin α米 B．800tan α米 C．米 D．米
【点拨】由题意可知∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，
∴tan α＝，
∴AB＝＝米．
【答案】D
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
4.【中考·河北】如图，从点C观测点D的仰角是(　B　)
A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
5.【2020·苏州】如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他进行了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；(2)量得测角仪的高度CD＝a；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为(　A　)
A．a＋b tan α B．a＋b sin α C．a＋ D．a＋
6．【2021·长春期末】如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为(　D　)
A．2sin α B．2cos α C. D．2tan α
7.【中考·苏州】如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5 m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是(　　)
A．55.5 m B．54 m C．19.5 m D．18 m
【点拨】如图，过D作DE⊥AB于E，
∵测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，
∴∠ADE＝30°，由题意易知DE＝BC＝18m，BE＝CD＝1.5 m，
∴AE＝DE·tan30°＝18 m，
∴AB＝AE＋BE＝18＋1.5＝19.5(m)．
【答案】C
第7题图 第8题图 第9题图
8.【中考·益阳】南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高度CD为(　　)
A．asin α＋asin β B．acos α＋acos β C．atan α＋atan β D.＋
【点拨】在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tan α＝，tan β＝，∴BC＝atan α，BD＝atan β，∴CD＝BC＋BD＝atan α＋atan β.
【答案】C
9.【中考·日照】如图，甲、乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为(　　)
A．11米 B．(36－15)米 C．15米 D．(36－10)米
【点拨】如图，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝CD＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10米，∴AC＝ED＝BD－BE＝(36－10)米．∴甲楼高度为(36－10)米．
【答案】D
10.【2021·重庆A卷】如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为(　C　)(参考数据：≈1.41，≈1.73)
A. 9.0m B. 12.8m C. 13.1m D. 22.7m
【解析】解：∵，DF的坡度i=1：1.25，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴顶端M与顶端N的高度差为，
【答案】C
第10题图 第11题图 第12题图
11.【2021·重庆B卷】如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为(　　)
(参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19)
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴DE：CE＝5：12，
∵DE＝50米，
∴CE＝120米，
∵BC＝150米，
∴BE＝150－120＝30米，
∴AB＝tan50°×30+50
＝85.7米．
【答案】D
12.【2021·山东泰安】如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)(　A　)
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
二、填空题
13.【中考·金华】如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0°刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是________．
【答案】40°
第13题图 第14题图 第15题图
14.【2020·赤峰】如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为________米(结果保留根号)．
【点拨】根据题意可知：
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9米，
∴CD＝AD·tan 30°＝9×＝3(米)，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9米，
∴BD＝AD·tan60°＝9米，
∴BC＝CD＋BD＝3＋9＝12(米)．
即该建筑物的高度BC为12米．
【答案】12
15.如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝________m(结果保留根号)．
【答案】21＋7
16.【中考·邵阳】如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达 A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30° .n s后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n s中上升的高度是________km.
【答案】20－20
第16题图 第17题图 第18题图
17.【2021·黄冈】如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为__________(结果保留小数点后一位).(参考数据，，)
【答案】24.2
18.【2020·济宁】如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°.若斜面坡度为1：，则斜坡AB的长是________米．
【点拨】如图所示，过点A作
AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1:，
∴tan∠ABF＝＝＝，
∴∠ABF＝30°，∵在P处进行观测，测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB＝30°，∠APB＝45°，∴∠HBP＝60°，
∴∠PBA＝90°，∠BAP＝45°，∴PB＝AB，
∵PH＝30米，sin 60°＝＝＝，
∴PB＝20米，∴AB＝20米．
三、解答题
19.【2021·娄底】我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度.(结果精确到1m/s，取≈1.414，≈1.732)
【解析】解：根据在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米知；
在Rt△ADP中，AP＝6，∠DPA＝30°
∴AD＝AP＝3(千米)，
，
又由在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，
∴Rt△BDP为等腰直角三角形，
∴BD＝DP，
∴AB＝BD－AD＝2.196(千米)，
∴天舟二号从A处到B处的平均速度为：，
答：天舟二号从A处到B处的平均速度为29m/s．
20.【2020·怀化】如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．(已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数)
解：由题意可知，AB＝20米，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∴tan45°＝，tan30°＝，
∴BC＝CD，AC＝CD.
∴AB＝AC－BC＝CD－CD＝20.
∴CD＝10＋10≈27(米)．
答：古树CD的高度约为27米．
21.【2020·聊城】如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35 m，然后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°.已知居民楼CD的高度为16.6 m，小莹的观测点N距地面1.6 m．求居民楼AB的高度．(精确到1 m，参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
解：如图，过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，
则AE＝MN＝CF＝1.6 m，EF＝AC＝35 m，∠BEN＝∠DFN＝90°，
∴DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15(m)．
在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15 m.
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20(m)．
在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，
∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×tan 55°≈20×1.43＝28.6(m)．
∴AB＝BE＋AE≈28.6＋1.6≈30(m)．
答：居民楼AB的高度约为30 m.
22.【2020·青海】某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，≈1.732)
解：易知P，Q，C三点共线，
设PQ＝x米．
∵∠PBC＝60°，∴∠BPC＝30°．
∵∠QBC＝30°，∴∠PBQ＝∠BPC＝30°．
∴PQ＝BQ＝x米，QC＝BQ＝x米．
∴BC＝x米．
在Rt△APC中，∠A＝45°，∴AC＝PC＝x米．
∵AB＝AC－BC，∴x－x＝60，解得x＝60＋20．∴PQ＝60＋20≈94.6(米)．
答：信号发射塔PQ的高度约是94.6米．
23.【2020·鄂州】鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上，其中tanα＝2，MC＝50米．
(1)求无人机的飞行高度AM；(结果保留根号)
解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50米．
在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tan α＝2，MC＝50米，∴AM＝2MC＝100米，
即无人机的飞行高度AM为100米；
(2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：易知BN＝AM＝100米．
在Rt△BND中，
∵tan∠BDN＝，即tan 30°＝，
∴DN＝300米，
∴DM＝DN＋MN＝300＋50＝350(米)，
∴CD＝DM－MC＝350－50≈264(米)，
即河流的宽度CD约为264米．
24.慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D，B，F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos 62.3°≈0.46，tan 62.3°≈1.9)
(1)求小亮与塔底中心的距离BD(用含a的式子表示)；
解：由题意，得四边形CDBG，HBFE为矩形，
∴GB＝CD＝1.7米，BD＝CG，
HB＝EF＝1.5米，HE＝BF＝a米，
∴GH＝0.2米，
在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，
则AH＝HE·tan∠AEH≈1.9a米，
∴AG＝AH－GH≈(1.9a－0.2)米．
在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，
∴CG＝AG≈(1.9a－0.2)米，
∴BD≈(1.9a－0.2)米．
答：小亮与塔底中心的距离BD约为(1.9a－0.2)米．
(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB.
解：由题意，得1.9a－0.2＋a≈52，解得a≈18，
则AG≈1.9a－0.2≈1.9×18－0.2＝34(米)，
∴AB＝AG＋GB≈34＋1.7＝35.7(米)．
答：慈氏塔的高度AB约为35.7米．
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