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有理数的混合运算
【教学目标】
学习内容 目标星级 是否掌握
有理数的加减混合运算 ★★★☆☆☆
有理数的乘除运算 ★★★☆☆☆
倒数的定义及计算 ★★☆☆☆☆
有理数的乘方 ★★★★☆☆
有理数的混合运算 ★★★★☆☆
科学计数法 ★★☆☆☆☆
一、有理数的加减混合运算
学习内容 目标星级 是否掌握
有理数的加减混合运算 ★★★☆☆☆
1.1有理数加法运算
【知识点】
1.加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数.
2.加法运算律：
（1）交换律：a+b=b+a ; （2）结合律：(a+b)+c=a+(b+c) ;
【例题讲解】
★☆☆例题1．计算：
(1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)；
(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0；
★☆☆练习1.计算：
★☆☆练习2.计算：（1） (+10)+(-11)；
（2）
（3）（-3.5）+12.5+（-3.26）+（-8.5）+9.34
★★☆例题2．★已知|a|＝5，|b|＝2，且a＞b，则a+b的值为（　　）
A．7或﹣3 B．﹣7或3 C．﹣7或﹣3 D．7或3
★★☆练习1．若|a|＝3，|b|＝2，且a﹣b＜0，则a+b＝　 　．
★★☆练习2．已知|a|＝8，|b|＝2；
（1）当a、b同号时，求a+b的值；
（2）当a、b异号时，求a+b的值．
★★☆例题3．计算：
（1）
（2）
★★☆练习1．（1）
（2）
★★☆练习2．计算：
（1）（﹣2）+3+1+3+（﹣3）+2+（﹣4）；
（2）
★★☆例题4．计算：（+1）+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+…+（+99）+（﹣100）
★★☆练习1．1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2009+（﹣2010）+2011+（﹣2012）
1.2有理数减法运算
【知识点】减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b)
【例题讲解】★☆☆例题1. 5-(-2).
★☆☆练习1．计算﹣6-1的结果为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7
★☆☆练习2．计算：;
★★☆例2.
★★☆练习1. （+0.36）-（+7.4）-（-0.3）+（-0.6）-（-0.64）
★★☆练习2.
1.3有理数加减混合运算
【知识点】
加减混合运算：通过减法法则，将减法化为加法，统一为加法运算。
步骤：（1）减法化加法
（2） 省略加号和括号
（3） 运用加法法则，加法运算律进行简便运算
【例题讲解】
★☆☆例1．用式子表示“引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算”，正确的是（　　）
A．a+b﹣c＝a+b+c B．a﹣b+c＝a+b﹣c
C．a+b﹣c＝a+（﹣b）+（﹣c） D．a+b﹣c＝a+b+（﹣c）
★☆☆练习1．在下列变形中，错误的是（　　）
A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5
B．
C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c
D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c
★☆☆练习2．把（﹣8）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）写成省略括号的代数和形式是（　　）
A．﹣8+3﹣5﹣7 B．﹣8﹣3+8﹣7 C．﹣8+3+5+7 D．﹣8+3+5﹣7
★☆☆例2．下列计算正确的是（　　）
A．5+（﹣6）＝﹣11 B．﹣1.3+（﹣1.7）＝﹣3
C．（﹣11）﹣7＝﹣4 D．（﹣7）﹣（﹣8）＝﹣1
★☆☆练习1．（1）计算：（+16）+（﹣29）﹣（+11）+（+9）
（2）（﹣5）+（﹣17）﹣（+3）．
★☆☆练习2. 计算：
（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13
（2）
【题型知识点总结】加减混合运算：通过减法法则，将减法化为加法，统一为加法运算。
二、有理数的乘除运算及乘方运算
学习内容 目标星级 是否掌握
有理数的乘除运算 ★★★☆☆☆
倒数的定义及计算 ★★☆☆☆☆
有理数的乘方 ★★★★☆☆
有理数的混合运算 ★★★★☆☆
1.1有理数乘法运算
【知识点】
乘法法则:
(1) 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.
(2) 任何数与相乘，积仍为.
乘法运算律:
（1）交换律：ab = ba
（2）结合律：(ab)c = a(bc)
（3）分配律：a(b+c) = ab+bc
【例题讲解】
★☆☆例题1．计算：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
★☆☆练习1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
★☆☆练习2．
（1）
（2）
（3）
★★☆例题2．（1）
（2） ．
★★☆练习1：计算：．
★★☆练习2：计算：
（1）；
（2）；
（2）；
（4）
★★☆例题3．(1) ．
(2)
★★☆练习1．
★★☆练习2．计算：．
★★☆练习3．
1.2倒数定义及计算
【知识点】两个乘积是1的有理数互为倒数，0没有倒数
【例题讲解】
★☆☆例题1．填表：
原　数 　　 　 　 　 　
相反数 　 　 3 　 　 　 　 　 　
倒　数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
绝对值 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
★☆☆练习1. 填表
5.5 0
的相反数 　2　 　　 　　 　　 　　 　　 　　
的绝对值 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　
的倒数 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　
★☆☆练习2. 的倒数是( )．
★☆☆例题2．若、是互为倒数，则　　．
★☆☆练习1．若，互为倒数，则　5　．
★☆☆练习2．已知与互为相反数，与互为倒数，求的值．
1.3有理数的除法运算
【知识点】
1.有理数除法法则一：
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0除以任何非0的数都得0.
2. 有理数除法法则二：
除以一个不等于0的数等于乘上这个数的倒数，即.a÷b=a×
【例题讲解】
★☆☆例题1． 计算的结果是　　
A． B．2 C．18 D．
★☆☆练习1. 计算的结果等于　　
A． B． C．15 D．4
★☆☆练习2. 的结果等于　　
A．3 B．-3 C．27 D．-27
★★☆例题2．（1） （2）
★★☆练习1. 计算：．
★★☆练习2. 计算：．
1.4乘方运算
【知识点】
乘方的概念
（1）求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，即
（2）在 中，a叫做底数，n叫做指数，叫做幂．
2．乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正;
（3）0的任何整数次幂都是0.
【例题讲解】
★☆☆例题1．下列各组数中，数值相等的是　　
A．和 B．和
C．和 D．和
★☆☆练习1．计算：　　
A．2 B． C．1 D．
★☆☆练习2. 下列各组数中，相等的一组是　　
A．与 B．与 C．与 D．与
1.5掌握有理数四则运算与乘方的综合运算
【知识点】
（1）加减运算：同级运算从左向右依次进行
（2）乘除运算：同级运算从左向右依次进行
（3）加减乘除、乘方以及绝对值的混合运算：
①乘法法则
②有理数的混合运算的运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里面的。
③去括号法则：
i.括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不发生变化；
ii．括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要发生变化。
④添括号法则：
添括号时，括号前是“”号时，括号里面各项都不发生变化；
【例题讲解】
★☆☆例题1．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
★☆☆练习1．计算：．
★☆☆练习2. ．
★★☆例题1． ．
★★☆练习1．计算：
（1）；
（2）．
★★☆练习2. 计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【题型知识点总结】
有理数的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里面的。
三、科学计数法
学习内容 目标星级 是否掌握
科学计数法 ★★☆☆☆☆
【知识点】
定义：
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000 000=4.2×107.
2.表示方法：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如-3 000=-3×103；
（2）把一个数写成a×10n形式时,若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【例题讲解】
★☆☆例题1．用科学记数法表示：(1)；（2）亿；
★☆☆练习1．中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（　　） A．0.675×105 B． 6.75×104 C． 67.5×103 D． 675×102
★☆☆练习2．德国《时代》周报网站列举了数据来评价中国改革开放40年的成就，在2017年我国申报了8330项国际专利，目前在年度国际专利申请量排名中位居第五，8330用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
★☆☆练习3．用科学计数法表示：（1）42000000 （2）760.57万
★☆☆例题2.人体内一种细胞的直径约为，数据0.00000156用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
★☆☆练习1．肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.00000071 米，数字 0.00000071 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
★☆☆练习2. PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）　 A． B． C． D．
【题型知识点总结】
把一个数写成a×10n形式时,若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1
【课后练习】
【巩固练习】
★☆☆1．计算：　　
A． B． C． D．
★☆☆2．把算式：写成省略括号的形式，结果正确的是　　
A． B． C． D．
★☆☆3．为计算简便，把写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是　　
A． B．
C． D．
★☆☆4．下列各组数中，数值相等的是　　
A．和 B．和
C．和 D．和
★★☆5．小刚做了以下四道题：请你帮他检查一下，他一共做对了　　
①
②
③
④，
A．1题 B．2题 C．3题 D．4题
★★☆6．下列各式化简结果在与0之间的是　　
A． B． C． D．
★★☆7．近年来，在市委、市政府的正确领导下，我市全面实施以“减贫摘帽、精准扶贫”为主线的“第一民生工程”．截止2016年底，全市已累计脱贫72.98万农村贫困人口，位居全省前列．将72.98万用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
★★☆8．2020年5月22日，第十三届全国人民代表大会第三次会议顺利召开，李克强总理在政府工作报告中指出，2019年国内生产总值达到99.1万亿，增长，将99.1万亿用科学记数法表示是　　
A． B． C． D．
★★☆9. 截至北京时间5月14日6时30分，全球累计确诊新冠肺炎病例超过433万例．用科学记数法表示433万是　　
A． B． C． D．
★★☆10．某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金136000000元，其中数字136000000用科学记数法可表示为　　
A． B． C． D．
★★☆11．对有理数、，定义运算★如下，★，则★　　．
★★☆12．计算：　　；　　．
★★☆13．规定是一种新运算规则：，例如：，则　　．
★★☆14．若、互为相反数，、互为倒数，则　　．
★★☆15．若与互为相反数，与互为倒数，则的值为　　．
★★☆16．定义一种新运算：※，则2※※3的值　　．
★★☆17．用适当的方法计算（能用简便运算的就用简便运算）
（1）；
（2）；
（3）．
★★☆18．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
★★☆19．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
★★☆20．怎样简便怎样算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
★★☆21．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
★★☆22．计算下面各题，能简算的要简算．
★★☆23．计算题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
★★☆24．小李靠勤工俭学的收入支付上大学的费用，下面是小李某周的收支情况表，记收入为正，支出为负（单位：元）．
星期 一 二 三 四 五 六 七
收入
支出
（1）到这个周末，小李有多少节余？
（2）按以上的支出水平，估计小李一个月（按30天计算）至少有多少收入才能维持正常开支？
★★☆25．先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算：．
（2）认真阅读材料，解决问题：
计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
．
故原式．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
【拔高练习】
★★☆1．已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为1，是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，则的值为　　
A．3 B．2 C．1 D．0
★★☆2．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
★★☆3．观察下列各式：①②③
探索以上式子的规律：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）试写出第个等式，并说明第个等式成立；
（3）计算．
★★☆4．计算的结果是　　
A．999999 B．999000 C．99999 D．99900
★★☆5．发现：小明经过计算总结出两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一．
例1．计算：．
方法：32头尾拉开，中间相加，即，计算结果为352；
例2．计算：．
方法：57头尾拉开，中间相加，即，满十进一，计算结果为627．
尝试：（1）　　；
（2）　　；
（3）　　．
探究：一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，这个两位数乘11．
（1）若，计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是什么？请通过计算加以验证．
（2）若，直接写出计算结果中十位上的数字．

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