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2.1.2两条直线平行和垂直的判定
【知识要点】
要点一　两直线平行的判定
1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有_ k1＝k2_ l1∥l2.
2．若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2 _ l1∥l2._或l1与l2重合．
3．若直线l1和l2的斜率都不存在，且不重合时，得到_ l1∥l2._．
【方法技巧】
l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与l2不重合．
要点二　两直线垂直的判定
1．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于___-1__；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们垂直__，即__ l1⊥l2 k1·k2＝－1_．
2．若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为___0_时，它们互相垂直．
【方法技巧】　
l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k1≠0且k2≠0.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.(　　)
(2)若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.(　　)
(3)若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴．(　　)
(4)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．(　　)
【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√
2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)
A．－3 B．3 C．－ D.
【答案】B
【解析】kAB＝＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.故选B.
3．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　　)
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况
【答案】B
【解析】∵k1·k2＝2×(－)＝－1，∴l1⊥l2.故选B.
4．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.
【答案】0
【解析】∵kl2＝＝－1，l1∥l2，∴kl1＝＝－1，∴m＝0.
题型一　两条直线平行的判定及应用
1．(多选)下列直线l1与直线l2平行的有(　　)
A．l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)．
B．l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)．
C．l1的倾斜角为30°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)．
D．l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5)．
【答案】AD
【解析】A中，kAB＝＝－，kCD＝＝－∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.
B中，k2＝＝1≠k1＝2∴l1不平行l2.
C中，k1＝tan 30°＝，k2＝＝.∴k1≠k2，∴l1不平行l2.
D中，l1的斜率不存在，l2的斜率也不存在，∴l1∥l2.故选AD.
2．使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行，则m＝________.
【答案】－2
【解析】由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
【方法技巧】判断两直线是否平行的方法
题型二　两条直线垂直的判定及应用
例1　(1)判断下列各题中l1与l2是否垂直．
①l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；
②l1的斜率为－10；l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
③l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．
【解析】(1)①k1＝＝2，k2＝＝，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．
②k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
③由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
(2)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l2的斜率存在．
当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．
当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，
由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－6.综上可知，a的值为5或－6.
【方法技巧】利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
1．一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
2．二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
3．三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
【变式训练】
1.直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝，若l1与l2互相垂直，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．1或－ C．±1 D．－
【答案】D
【解析】由题意，得k1k2＝×＝－1，解得a＝－或a＝1(舍去)．
题型三　两条直线平行与垂直的综合应用
例2　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
【分析】
画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状.
【解析】由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如题图所示，
由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
【方法技巧】利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
【变式训练】
1.已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
【解析】
设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝，kCD＝，
由于AD⊥AB，∴·3＝－1.①又AB∥CD，∴＝3.②解①②两式可得此时AD与BC不平行．
若DC为直角梯形的直角腰，则DC⊥BC，且AD∥BC.
∵kBC＝0，∴DC的斜率不存在．故x＝3，又AD∥BC，则y＝3.
故D点坐标为(3,3)．综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或(，).
【易错辨析】忽视直线斜率不存在的情况致错
【例3】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，P(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________．
【答案】0或5
【解析】当直线l1的斜率存在时，则由l1⊥l2知k1·k2＝－1即·＝－1，解得a＝0
当直线l1的斜率不存在时，则a－2＝3，得a＝5，此时k2＝0，故l1⊥l2.综上a的值为0或5.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题容易由k1·k2＝－1得a＝0而出错，误认为直线l1的斜率存在. 已知点的坐标中有参数的，首先判断直线的斜率是否存在，本题中直线l1的斜率就要分存在与不存在两种情况解答.
1．（多选）（2021·江苏省苏州实验中学高一月考）下列说法中正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角；
B．若两条不重合的直线的斜率相等，则这两条直线平行；
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；
D．平行的两条直线的倾斜角一定相等.
【答案】ABD　
【解析】所有直线都有倾斜角，A正确；若两条不重合的直线的斜率相等，则这两条直线平行，B正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有两直线垂直，C错误；平行的两条直线的倾斜角一定相等，D正确．故选ABD．
2．（2021·四川省绵阳南山中学高二月考）若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　)
A．1 B．3
C．0或1 D．1或3
【答案】D　
【解析】∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
3．（2021·江西师大附中高二月考）若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有(　　)
A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°
C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180°
【答案】C　
【解析】由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°.
4．(多选（2021·运城市景胜中学高二期中）)以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　)
A．kAB＝－
B．kBC＝－
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
【答案】AC　
【解析】kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝，
∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形．
故A、C正确，B、D错误．
5．（2021·宜宾市叙州区第二中学校高二开学考试（文））在平面直角坐标系内有两个点，，若在轴上存在点，使，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D　
【解析】设，则，
，则
则：，解得：或
点坐标为或
本题正确选项
6．（2021·四川省成都市郫都区第四中学高二期中）若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
【答案】　
【解析】由题意可知kl＝，
又因为kl＝，所以＝，
解得m＝.
7．若不同两点P、Q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
【解析】由两点的斜率公式可得：kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.
【答案】-1
8．（2021·安徽池州一中高二期中）直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.
【答案】－2　2
【解析】由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，
若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.
若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
9．（2021·天津四中高二）当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
【解析】(1)由kAB＝＝－1，得2m2＋m－3＝0，
解得m＝－或1.
(2)由＝3及垂直关系，得＝－，
解得m＝或－3.
(3)由＝＝－2，解得m＝或－1.
10．（2021·广西桂林十八中高二已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．
【解析】由斜率公式可得kAB＝＝，kBC＝＝0，kAC＝＝5.
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．
设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，
由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
即k1·＝－1，k2·5＝－1，
解得k1＝－，k2＝－.
∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为－；
AC边上的高所在直线的斜率为－.
11．（2021·四川成都七中高二月考）已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是(　　)
A．1 B.
C. D．1或
【答案】D
【解析】由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得或又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或.
12.（2021·广东实验中学高二期中）设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是( )
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】C　
【解析】直线的斜率为，直线的斜率为，
△ABC中，由正弦定理得＝2R，R为三角形的外接圆半径，
∴斜率之积等于，故两直线垂直，
故选：C．
13．（2021·吉林长春外国语学校高二期中）已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
【答案】-6　
【解析】由题意得l1∥l2，∴kAB＝kMN.
∵kAB＝＝－，kMN＝＝3，
∴－＝3，∴a＝－6.
14．（2021·黑龙江伊春二中高二月考）已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
【解析】设所求点D的坐标为(x，y)，
如图，由于kAB＝＝3，kBC＝0，
所以kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD.
因为kBC＝0，所以CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，所以＝0，即y＝3.
此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)．
②若AD是直角梯形的直角腰，
则AD⊥AB，AD⊥CD.
因为kAD＝，kCD＝，
由于AD⊥AB，所以·3＝－1.①
又AB∥CD，所以＝3.②
由①②解得x＝，y＝.此时AD与BC不平行．
故所求点D的坐标为.
综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或.
15．（2021·重庆复旦中学高二月考）直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，试求m的值．
【解析】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝，∴线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝.∵l1与l2平行，∴k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.
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