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2.4.1 圆的标准方程
要点一　圆的标准方程
1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
【方法技巧】
圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．
要点二　点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 |MA|＝r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 |MA|＜r 点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外 |MA|＞r 点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(a，b，r∈R)表示一个圆．(　　)
(2)弦的垂直平分线必过圆心．(　　)
(3)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(　　)
(4)圆心与切点的连线长是半径长．(　　)
【答案】（1）×（2）√（3）√（4）√
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3 C．(－2,3)， D．(2，－3)，
【答案】D
【解析】由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为.故选D.
3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝
【答案】B
【解析】以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.故选B
4．点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．
【答案】(x＋2)2＋y2＝10.
【解析】因为点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.
题型一　求圆的标准方程
例1　(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
【答案】(1)D　
【解析】(1)∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，半径为|AB|＝＝5，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D.
(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
【答案】(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25　
【解析】(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________.
【答案】 (3)(x－1)2＋(y－1)＝4
【解析】(3)方法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二　设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴＝，解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法三　由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，
∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，
即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得
即圆心为(1,1)，圆的半径为＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
【方法技巧】
(1)直接法
根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程．
(2)待定系数法
①根据题意，设出标准方程；
②根据条件，列关于a，b，r的方程组；
③解出a，b，r，代入标准方程．
(3)常见的几何条件与可以转化成的方程
①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程．
②圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径．
③圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心．
④弦的垂直平分线经过圆心．
【变式训练】
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)的圆的标准方程是________________．
【答案】(1)x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25
【解析】(1)设圆心(0，b)，则＝5，得b＝0或－8，所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)与直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)且经过点(9,6)的圆的标准方程是________________．
【答案】(2)(x－3)2＋(y－5)2＝37
【解析】(2)因为圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6.
其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.
又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－(x－)，即5x＋7y－50＝0上，
所以由解得圆心坐标为(3,5)，
所以半径为＝，
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
(3)过A(5,1)，B(1,3)两点圆心在x轴上的圆的标准方程是________________．
【答案】(3)(x－2)2＋y2＝10
【解析】(3)线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，令y＝0，则x＝2，∴圆心坐标为(2,0)，半径r＝＝，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
题型二　点与圆的位置关系的判断及应用
1．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
【答案】A
【解析】∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．故选A.
2．已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为________．
【答案】[－，0)∪(0，＋∞)
【解析】由题意，点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－.∵a≠0，
∴a的取值范围为[－，0)∪(0，＋∞)．
【方法技巧】
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
题型三　与圆有关的最值问题
【例2】已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，求x2＋y2的最值．
【分析】首先观察x，y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值.
【解析】由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
【变式探究1】本例条件不变，求的取值范围．
【解析】设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x，y)与点(0,0)连线的斜率，
由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得－≤k≤.
即的取值范围是[－，].
【变式探究2】本例条件不变，求x+y的取值范围．
【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有＝，解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1.
【方法技巧】
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
1．形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
2．形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
【变式训练】
1.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
【解析】设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.
即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.
【易错辨析】利用函数的思想处理问题时忽略了函数的定义域
【例3】已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为________．
【答案】88
【解析】设P(a，b)
则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(a＋2)2＋(b＋2)2＋(a＋2)2＋(b－6)2＋(a－4)2＋(b＋2)2＝3a2＋3b2－4b＋68.
∵点P在圆x2＋y2＝4上运动
∴a2＋b2＝4
∴a2＝4－b2≥0，∴－2≤b≤2
∴3a2＋3b2－4b＋68＝12－3b2＋3b2－4b＋68＝－4b＋80，
因为y＝－4b＋80是[－2,2]上的减函数．
所以函数的最大值为88.
∴|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以在利用函数的思想处理时，容易忽略求b的范围出错. 本题自变量b的范围，可以像解析中的进行推导，也可以直接观察圆的图象，发现b的取值范围是[－2,2].
1．（2921·上海市七宝中学高二月考）点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　)
A．在圆内　　　　　　　 B．在圆上
C．在圆外 D．不确定
【答案】C　
【解析】∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．
2．（2921·浙江省宁波市鄞州中学高二期中）方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
【答案】D　
【解析】由题意，得即或
故原方程表示两个半圆．
3．（2921·上海华师大二附中高二月考）若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
【答案】A　
【解析】由中点坐标公式得直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4．（2921·四川省南充高级中学高二月考）若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D　
【解析】由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
5．（2921·江苏南通一中高二期中）设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6 B．4
C．3 D．2
【答案】B
【解析】画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
6．（2921·辽宁本溪高中高二期中）圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
【答案】 (x－2)2＋(y－4)2＝20
【解析】由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
7．（（2921 濉溪县期末）已知圆（x﹣1）2+y2＝4上一动点Q，则点P（﹣2，﹣3）到点Q的距离的最小值为　 　．
【答案】﹣2
【解析】由题意，圆心与P的距离为＝3，
∴点P（﹣2，﹣3）到点Q的距离的最小值为﹣2
8．（2921·上海市杨浦高级中学高二月考）若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________________．
【答案】 (x－2)2＋(y＋1)2＝1
【解析】圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：
9．（2921·安徽马鞍山二中高二开学考试）已知圆心在点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
【解析】因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，
所以圆的半径r＝＝5，
所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为|P1C|＝＝＝2<5，所以P1(－1,0)在圆内；
因为|P2C|＝＝5，
所以P2(1，－1)在圆上；
因为|P3C|＝＝6>5，
所以P3(3，－4)在圆外．
10．（2921·甘肃武威十八中高二课时练习）已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
【解析】(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0,1)，半径r＝|AB|＝.
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，
即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，
即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
11．（2921·平凉市庄浪县第一中学高二期中）阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为(，且)，则点的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点，点为圆：上的点，若存在轴上的定点和常数，对满足已知条件的点均有，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B　
【解析】如下图所示，由于圆上的任意一点均有，所以A,B两点也满足该关系式. ，，，，
，解得，
故选：B.
12（2921·山东高二期中）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的可能取值是（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】BCD　
【解析】在中，令，得，令，得，
所以，，
所以，
由知，圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离，
所以面积的范围为.
所以三角形的面积可以为2,4,6
故选：BCD
13．（2921·浙江高二期末）已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．
【答案】1　
【解析】由题意可得，圆C的圆心坐标为(2,4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝－1的最小值，当m＝4时，d最小，dmin＝1.
14．（2921·山东莱州一中高二单元测试）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．
【解析】(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
(2)由解得点A的坐标为(0，－2)，
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又r＝|AM|＝＝2，
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
15．已知圆，点与，为圆上动点，当取最大值时点坐标是．
【解析】设，则，
的几何意义是到原点的距离，
由已知，圆心，半径为1，到的距离，
的最大值是，
的最大值为，
由直线与圆，可得，
或，
当取最大值时点坐标是，．
故答案为：，．
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