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2.4.2 圆的一般方程
要点　圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念：
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为
【方法技巧】　
①圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2的系数相等且不为0；没有xy项．
②对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－)
D2＋E2－4F＞0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆．(　　)
(2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　)
【答案】（1）×（2）√
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
【答案】D
【解析】－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．故选D.
3．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　)
A．k≤ B．k＝ C．k≥ D．k＜
【答案】D
【解析】方程表示圆 1＋1－4k＞0 k＜.故选D.
4．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．
【答案】x－y＋1＝0
【解析】由题意知圆心坐标是(－1,0)，所以所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
题型一　圆的一般方程的概念
1．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
【答案】B
【解析】由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k＞0，解得k＜1.故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B.
2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
【答案】(－2，－4)，5
【解析】由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．
【方法技巧】
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
题型二　求圆的一般方程
【例1】已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
【解析】方法一　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
方法二　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
【方法技巧】
待定系数法求圆的方程的解题策略
1．如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
【变式训练】求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
【解析】设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为(－，－).
∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B，∴·(－)＝－1，
即E－3D－36＝0①.
∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0②，
8D＋6E＋F＋100＝0③.
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，
故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
题型三　与圆有关的轨迹方程问题
【例2】已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程．
【分析】(1)设出C点坐标，利用垂直关系直接由斜率之积为－1列出方程，注意A、B、C三点不能共线；
(2)设出M点坐标，利用中点关系，建立M点与C点坐标之间的关系，求出轨迹方程．
【解析】(1)方法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
方法二　同法一得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法三　设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．
(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，
因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
由中点坐标公式得x＝(x≠3，且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3，且x≠1)．
【方法技巧】
用代入法求轨迹方程的一般步骤
【变式训练】点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为P(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
【易错辨析】忽视圆的条件致错
【例3】已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．
【答案】(2，)
【解析】由题意知解得即2＜a＜.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
忽视了二元二次方程表示圆的条件D2＋E2－4F＞0，从而得到错误答案：a＞2. 对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F＞0的前提下才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D2＋E2－4F＞0
1．（2021·上海市松江二中高二期中）将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(　　)
A．x＋y－1＝0　　　　 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
【答案】C
【解析】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.
2．（多选）（2021·山东莱州一中高二单元测试）已知直线l与圆相交于两点，弦的中点为，则实数的取值可为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】圆的标准方程为：，故.
又因为弦的中点为，
故点在圆内，所以即.
综上，.故选：AB.
3．（2021·安徽省明光中学高二开学考试）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有(　　)
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
【答案】A
【解析】由D2＋E2－4F＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心在直线y＝x上，故D＝E.
4．（2021·盐城市大丰区新丰中学高二期中）已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)
A．π B．4π
C．8π D．9π
【答案】B
【解析】设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知 ＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.
5.（2021·江苏省苏州中学园区校高二开学考试）当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
【答案】C
【解析】直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1,2)．
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
6．（2021·武汉市钢城第四中学高二月考）设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．
【答案】 (x－1)2＋y2＝2
【解析】设P(x，y)是轨迹上任一点，
圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，
则|PA|2＋1＝|PB|2，∴(x－1)2＋y2＝2.
7．（2021·忻州市第二中学校高二月考）已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
【答案】(2，－3)
【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)．
8．（2021·永昌县第四中学高二期末）圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
【答案】3
【解析】圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为，即(1,2)，故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝3.
9．（2021·福建省武平县第一中学高二月考）当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？
【解析】要使方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m2＋m－1＝m2－m＋2，得m2＋2m－3＝0，
所以m＝－3或m＝1.
①当m＝1时，方程为x2＋y2＝－，不合题意，舍去；
②当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝，表示以原点为圆心，以为半径的圆．
综上，m＝－3时满足题意．
10．（2021·江苏省响水中学高二期中）点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．
【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为P(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
11．（2021 郫县校级月考）圆x2+y2﹣4x+2y+c＝0与直线x＝0交于A，B两点，圆心P，若△PAB是正三角形，则c的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆x2+y2﹣4x+2y+c＝0化成标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣c，
∴圆心为P（2，﹣1），半径r＝，
∵圆P与直线x＝0交于A，B两点，△PAB是正三角形，
∴P到x＝0的距离等于半径的倍，
可得2＝ ，解之得c＝﹣故选B．
12.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O顺时针旋转30°后，构成一个斜坐标平面xOy．在此斜坐标平面xOy中，点P（x，y）的坐标定义如下：过点P作两坐标轴的平行线，分别交两轴于M、N两点，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y．那么以原点O为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为（　　）
A．x2+y2+xy﹣1＝0 B．x2+y2+xy+1＝0
C．x2+y2﹣xy﹣1＝0 D．x2+y2﹣xy+1＝0
【答案】A
【解析】过P作PA⊥x，PB⊥y，
设P（x，y）在直角坐标系下的坐标为P′（x0，y0），
∵∠BON＝30°，ON＝y，∴OB＝y，BN＝，
即y0＝y，x0＝x+，
∵P′（x0，y0）在单位圆x2+y2＝1上，∴x02+y02＝1，
即（y）2+（x+）2＝1，
整理得x2+y2+xy﹣1＝0，故选：A．
13.（2021·重庆市育才中学高二月考）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，，且满足，则点的运动轨迹方程为____________，点到直线的最小距离为__________.
【答案】
【解析】（1），
化简为；
（2）点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，
即.
故答案为：；.
14．（2021·江苏启东中学高二期中）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
【解析】圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
15．（2021·全国高二单元测试）在平面直坐标系xOy中有曲线Γ：x2+y2＝1（y＞0）．
（1）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求线段AB的中点的轨迹方程；
（2）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标；
（3）如图2，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC，求线段OC长度的最大值．
【解析】（1）设点B的坐标为（x0，y0），则y0＞0，设线段AB的中点为点M（x，y），
由于点B在曲线Γ上，则 x02+y02＝1，①
因为点M为线段AB的中点，则2x＝x0+2，2y＝y0，得 x0＝2x﹣2，y0＝2y，
代入①式得（2x﹣2）2+y2＝1，化简得（x﹣1）2+y2＝，其中y＞0；
（2）设B（x0，y0），0＜y0≤1，三角形OAB的面积为 2y0＝y0，可得面积的最大值为1，且B（0，1）；
（3）如图所示，易知点D（2，2），
结合图形可知，点C在右半圆D：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上运动，
问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，
连接OD并延长交右半圆D于点C'，当点C与点C'重合时，|OC|取最大值，且|OC|max＝|OD|+1＝2+1．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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