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2.5.1 直线与圆的位置关系
要点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d>r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
【方法技巧】
“几何法”与“代数法”判断直线与圆
的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
【基础自测】
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交　B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
【解析】圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B.
2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．1 B. C. D．2
【答案】D
【解析】直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2，故选D.
3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
【答案】4
【解析】由已知圆心C(3,1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4.
题型一　直线与圆位置关系的判断
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
【答案】B
【解析】圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0<<1，故直线与圆相交但直线不过圆心，故选B.
2．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)
A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
【答案】A
【解析】将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．故选A.
3．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.
若直线与圆相切，则m＝________；
若直线与圆相离，则m的范围是________．
【答案】0或－，(－，0)
【解析】已知圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝.
若直线与圆相切，则d＝＝r＝2
解得m＝0或m＝－.
若直线与圆相离，则d>2，即－【方法技巧】
判断直线与圆位置关系的三种方法
1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
2．代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
题型二　有关圆的切线问题
【例1】过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
【解析】因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
【方法技巧】
圆的切线的求法
1．点在圆上时：
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.
2．点在圆外时：
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
【变式训练】
1. 直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　)
A．0或2 B．2 C. D．无解
【答案】B
【解析】由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0(舍去)或m＝2.故选B.
2.过点A(2,1)，作圆的(x－3)2＋(y－1)2＝1切线，则切线方程为________．
【答案】(2)y＝1　
【解析】(2)因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，所以点A(2,1)在圆上，从而A是切点，又过圆心(3,1)与点A的直线斜率为0，故所求切线的方程为y＝1.
3. (多填题)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝______，r＝________.
【答案】(3)－2，
【解析】法一：由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝r，又r＝|AC|＝，所以＝，解得m＝－2，所以r＝.
法二：根据题意画出图形，可知
A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，
则|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，
|BC|＝|m－3|.
∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，
∴∠BAC＝90°，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，
解得m＝－2.
∴r＝|AC|＝＝.
题型三　有关圆的弦长问题
【例2】求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
【分析】弦心距、半弦长与直径构成的直角三角形求解
【解析】法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0
可化为x2＋(y－1)2＝5，
其圆心坐标为(0,1)，半径r＝.
点(0,1)到直线l的距离为d＝＝，
l＝2＝，所以截得的弦长为.
法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
由得交点A(1,3)，B(2,0)，
所以弦AB的长为|AB|＝＝.
【变式探究】若本例改为“过点(2,0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？
【解析】由例题知，圆心C(0,1)，半径r＝，又弦长为，所以圆心到直线的距离
d＝＝＝.
又直线过点(2,0)，知直线斜率一定存在，
可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，
所以d＝＝，解得k＝－3或k＝，
所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)，
即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0.
【方法技巧】
求弦长常用的三种方法
1．利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系(l)2＋d2＝r2解题．
2．利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
3．利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长
l＝|x1－x2|＝.
【变式训练】
1.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
【答案】(1)2　
【解析】(1)设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝＝，∴半弦长＝＝＝，∴最短弦的长为2.
2.已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．
【答案】(2)x2＋(y＋1)2＝18
【解析】(2)设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，
则由
故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离
d＝＝3，
所以圆C的半径的平方r2＝d2＋＝18.
故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.
题型四　直线与圆的方程的实际应用
【例3】为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
【分析】建系→求圆O与直线BC的方程→利用直线与圆的位置关系求解．
【解析】以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.
因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为－1＝(4－1) km.
即DE的最短距离为(4－1) km.
【方法技巧】
求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
1．认真审题，明确题意．
2．建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际问题中建立直线与圆的方程．
3．利用直线与圆的方程的有关知识求解问题．
4．把代数结果还原为实际问题的解释．
【变式训练】
1.台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(　　)
A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时
【答案】(1)B
【解析】(1)以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，
则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40,0)到y＝x的距离为d＝20，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝＝1小时．故选B.
2.如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m.
【答案】(1)B　(2)2
【解析】(2)如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将点A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，
∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2(m)．
【易错辨析】忽略了圆的一个隐含条件
【例4】已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点A(1,2)，要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条，则a的取值范围为________．
【解析】圆的标准方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝，圆心C坐标为(－，－1)，半径r＝＝，则4－3a2>0，解得－又过点A(1,2)作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即>.
化简得a2＋a＋9>0，不等式a2＋a＋9>0恒成立，
故a的取值范围是(－，)
【易错警示】
易错原因 纠错心得
忽视了圆的方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0中有一个隐含条件，即D2＋E2－4F>0 同学们在解答含有参数的问题时，要多一些严谨，以免遗漏某些条件，导致结果出错.
1．（2021·大埔县虎山中学高二期中）直线l: y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的关系是(　　)
A．相离　　　　　　　 B．相切或相交
C．相交 D．相切
【答案】C
【解析】l过定点A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，∴l与圆一定相交，故选C.
2．（2021·天津一中高二期末）若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A．0或4 B．0或3
C．－2或6 D．－1或
【答案】A
【解析】由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故选A.
3．（2021·江西南昌二中高二月考）由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 B．2
C. D．3
【答案】C
【解析】因为切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝2，圆的半径为1，所以切线长的最小值为＝＝，故选C.
4．(多选) （2021·山东潍坊第一中学高二月考）与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为(　　)
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＝0 D．x＋y＝4
【答案】ABD
【解析】圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．
5．（2021·山东省郓城第一中学高二月考）一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(　　)
A．1.4米 B．3.5米
C．3.6米 D．2米
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为： x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝4≈3.5(米)．
6．（2021·五莲县教学研究室高二期中）若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
【答案】x＋2y－5＝0
【解析】设切线斜率为k，则由已知得： k·kOP＝－1.
∴k＝－.∴切线方程为x＋2y－5＝0.
7．（2021·重庆市万州沙河中学高二月考）已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．　
【答案】 (x＋1)2＋y2＝2
【解析】令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即r＝＝，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
8．（2021·江苏省南通中学高二期中）点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y＋4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是________．
【答案】1
【解析】由题知，直线x－y＋1＝0过圆心，
即－＋1＋1＝0，∴k＝4.∴r＝＝1.
9.（2021·苏州市相城区陆慕高级中学高二月考）已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【解析】法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0，即－法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝ .
(1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2，即－10. （2021·安徽铜陵一中高二期中）如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
【解析】(1)设圆A的半径为r.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，
易得|MN|＝2，符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1，
∴＝1，得k＝，
∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
11. （2021·运城市景胜中学高二期中）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】设的垂直平分线为，
的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，
，①
由，，重心为，
代入欧拉线方程，得，②
由 ①②可得或 .故选:AD
12. （2021·宜宾市叙州区第一中学校高二月考）设有一组圆：（）.下列四个命题中真命题的是（ ）
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【答案】BD
【解析】圆心为，半径为，
，，，，，圆与圆是内含关系，因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A错误；
易知圆心在直线上，此直线与所有圆都相交，B正确；
若取无穷大，则所有直线都与圆相交，C错；
将代入圆方程得，即，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程无整数解，即原点不在任一圆上，D正确．故选：BD．
13．（2021·四川邻水实验学校高二期中）过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．
【答案】4
【解析】圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，示意图如图所示．则圆心为O′(3,4)，r＝.切线长|OP|＝＝2.
∴|PQ|＝2·＝2×＝4.
14. （2021·福建厦门双十中学高二月考）已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设圆心C(a,0)，则＝2 a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C：x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN ＋＝0 ＋＝0 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 －＋2t＝0 t＝4，
所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
15.（2021·湖北高二期中）在①圆经过，②圆心在直线上，③圆截轴所得弦长为8且圆心的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.
已知圆经过点，且______；
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程.
【答案】B
【解析】选条件①，
（1）设圆的方程为，
依题意有，
解得，，，
所以圆的方程为，
即圆的标准方程为：.
（2）设圆心到直线的距离为，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或.
选条件②，
（1）设圆的方程为，
因为圆经过点，，且圆心在直线上
依题意有，
解得，，，
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或.
选条件③，
设圆的方程为，
由圆经过点，，故，
又因为圆截轴所得弦长为8，
故方程的两个实数根的差的绝对值为.
所以，即
解方程组，
得，，或，，，
由于圆心的坐标为整数，
故圆的方程为
（2）设圆心到直线的距离为，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或.
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