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第二章 直线和圆章末复习
题型一 直线的方程
【题型综述】（1）倾斜角；（2）斜率；（3）直线方程；（4）截距.
【例1】若直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．
【答案】x－y＋6＝0
【解析】由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.
【变式1】过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为____________________．
【答案】x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
【解析】由题意可设直线方程为＋＝1.
则解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
【方法总结】(1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．
在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．
题型二 距离问题
【题型综述】（1）两点间的距离；（2）点到直线的距离（3）两平行线间的距离
【例2】(1)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1,2)　　　　　　 B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则直线l1的方程为________________．
【答案】(1)C (2) 2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0或2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0
【解析】(1)设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．
(2)∵l1∥l2，∴＝≠，∴或
①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴＝，解得n＝－22或n＝18.
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，
∴＝，解得n＝－18或n＝22.
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
【变式2】若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
【答案】
【解析】因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
【方法总结】利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
题型三 圆的方程
【题型综述】（1）确定圆心与半径；（2）求圆的方程.注意运用几何法数形结合，方程的思想求解
【例3】(1)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
(2)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________________．
【答案】(1)B (2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
【解析】(1)设圆心为(0，b)，半径为R，则R＝|b|，
所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，
因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.
所以圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
将P，Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝
－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
【变式3】(2021·合肥模拟)已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，则圆的方程为__________．
【答案】(x－2)2＋y2＝5
【解析】根据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝5(a>0)，则圆心到直线x＋2y＝0的距离d＝＝a.又该圆截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，所以可得12＋＝5，解得a＝2.故圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
【方法总结】(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
题型四 两条直线的垂直与平行
【题型综述】（1）位置关系的判定；（2）求参数；（3）与简易逻辑交汇
【例4】已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)
A．－ B．0
C．－或0 D．2
【答案】C
【解析】若a≠0，则由l1∥l2 ＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C.
【变式4】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则a＝________.
【答案】
【解析】由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0，解得a＝.
【方法总结】(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
题型五 直线与圆、圆与圆的位置关系
【题型综述】（1）位置关系的判定；（2）求参数；（3）相交弦；（4）公切线
【例5】(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为 (　　)
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
(2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】(1)C　(2)C
【解析】(1)由C1(m，－2)，r1＝3；C2(－1，m)，r2＝2；
则两圆心之间的距离为|C1C2|＝＝2＋3＝5，
解得m＝2或－5.故选C.
(2)因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
【变式5】已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【解析】两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值．
故有－＝5，解得m＝25－10.
因为kMN＝＝，所以两圆公切线的斜率是－.
设切线方程为y＝－x＋b，则有＝.
解得b＝±.
容易验证，当b＝＋时，直线与圆x2＋y2－10x－12y＋m＝0相交，舍去．
故所求公切线方程为y＝－x＋－，
即4x＋3y＋5－13＝0.
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×=2.
【方法总结】1.处理直线与圆的位置关系的三思路
(1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
2.圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
题型六 弦长与切线问题
【题型综述】高考以客观题为主，涉及求弦长，切线长，根据相切或相交求参数。
【例6】（2021·安徽安庆市·安庆一中高二期中）已知圆C：，直线l：，圆C上恰有两个点到直线l的距离为1.则m的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】圆C：的半径为2，圆心坐标为：
设圆心到直线l：的距离为，
要想圆C上恰有两个点到直线l的距离为1，只需，
即，而 ，所以.
（2）（2021·福建龙岩市·高二期中）若直线与曲线恰有一个公共点，则的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】BC
【解析】曲线可化为，即该曲线表示圆的右半部分
当直线过点时，求得，当直线过点时，求得
当直线与半圆相切于点时，由圆心到直线的距离等于半径
可得，解得或（舍）
由图可知，直线与曲线恰有一个公共点，则或
即只有BC满足题意，故选BC.
【变式6】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l过定点A(1,0)．
(1)若l与圆C相切，求l的方程；
(2)若l与圆C相交于P，Q两点，且|PQ|＝2，求此时直线l的方程．
【解析】(1)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
即kx－y－k＝0.
由题意知，圆心(3,4)到直线l的距离等于2，即＝2，解得k＝，此时直线l的方程为3x－4y－3＝0.
综上可得，所求直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
【方法总结】1.弦长问题的2种求法
几何法 直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝＋d2
代数法 联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝·|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝
2.求过圆外一点的圆的切线方程的2种方法
几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
题型七 与圆有关的最值问题
【题型综述】借助圆的几何性质求最值，变化丰富，题目灵动，要数形结合巧解。
【例7】P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 (　　)
A. B．2
C. D．2
【解析】(1)圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1,1)，半径r＝1.根据对称性可知四边形PACB的面积等于2S△APC＝2××|PA|×r＝|PA|＝＝.要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2，所以四边形PACB面积的最小值为＝.
【答案】C
【变式7】已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________，________．
【答案】，－
【解析】设＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．
由＝1，解得k＝±.
【方法总结】借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
1.形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
2.形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
3.形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
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