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第二章 章末总结
【要点归纳】
知识点一、匀变速直线运动问题的求解方法
1．基本公式
2．推论式
3．注意问题
(1)要养成画物体运动示意图或利用v－t图象的习惯．特别是较复杂的运动，画图或利用v－t图象可使运动过程直观，物理情景清晰，便于分析研究．
(2)要注意分析研究对象的运动过程，弄清整个运动过程按运动性质可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系．
(3)由于本章公式较多，且各公式间有相互联系，因此，本章的题目可一题多解．解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案．解题时除采用常规的公式解析法外，对称法、比例法、极值法、逆向转换法(如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动)
知识点二、纸带问题的分析
1．判断物体的运动性质
(1)根据匀速直线运动特点x＝vt，若纸带上各相邻的点的间隔相等，则可判定物体做匀速直线运动．
(2)由匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，若所打的纸带上在任意两个相邻且相等的时间内物体的位移差相等，则说明物体做匀变速直线运动．
2．求加速度
(1)逐差法：
虽然用a＝可以根据纸带求加速度，但只利用一个Δx时，偶然误差太大，为此应采取逐差法．
图1
如图1所示，纸带上有六个连续相等的时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，由Δx＝aT2可得：
x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2
x5－x2＝(x5－x4)＋(x4－x3)＋(x3－x2)＝3aT2
x6－x3＝(x6－x5)＋(x5－x4)＋(x4－x3)＝3aT2
所以a＝
　＝
由此可以看出，各段位移都用上了，有效地减小了偶然误差．所以利用纸带计算加速度时，应使用逐差法．
(2)v－t图象法：
利用匀变速直线运动的一段时间内的平均速度等于中间时刻的速度的推论，求出各时刻的瞬时速度v1、v2、v3……vn，建立一个直角坐标系，横轴为t，纵轴为v，把求出的各时刻的速度值进行描点，然后画一条直线，并使该直线尽可能多的通过所描各点，或使各点均匀地分布在直线两侧．求出该v－t图线的斜率k，则k＝a.
这种方法的优点是可以舍掉一些偶然误差较大的测量值，因此它的偶然误差较小．
知识点三、两种图象的比较
由于图象能直观地表示出物理过程和各物理量之间的关系，所以在解题过程中被广泛应用．在运动学中，经常用到的有x－t图象和v－t图象．但提醒注意的是，两种图象都不是物体运动的轨迹．
1．x－t图象
用纵轴表示位移，横轴表示时间，根据描点作出的图线，描述的是做直线运动的物体位移随时间变化的规律．图象上某点的切线斜率表示该时刻物体的速度，斜率的大小，表示速度的大小；斜率为正值表示物体沿规定的正方向运动，斜率为负值，表示物体沿规定正方向的反方向运动．
2．v－t图象
描述做直线运动物体的速度随时间变化的规律．图线上某点的切线斜率表示该时刻物体的加速度；某段时间图线与时间轴围成图形的面积值表示该段时间内物体通过的位移的大小．
3．x－t图象与v－t图象的比较
形状一样的图线，在不同图象中所表示的物理规律不同，因此在应用时要特别注意看清楚图象的纵轴、横轴所表示的是什么物理量．
下表是形状一样的各图线在x－t图象与v－t图象中的物理意义的比较.
　　　 x－t图象 v－t图象
图象
图形所表运动性质 ①表示物体做匀加速直线运动 ①表示物体做匀速直线运动
②表示物体静止 ②表示物体做匀速直线运动
③表示物体静止 ③表示物体静止
④表示物体向反方向做匀速直线运动 ④表示物体做匀减速直线运动
交点 ⑤交点的纵坐标表示三个运动物体相遇时的位移 ⑤交点的纵坐标表示三个运动物体的共同速度
图上点 ⑥t1时间内物体通过位移为x1 ⑥t1时刻物体速度为v1
斜率 表示物体的速度 表示物体的加速度
截距 横 表示位移为零的时刻 表示速度为零的时刻
纵 ④表示开始运动位移x0 ④表示初速度v0
面积 表示位移
知识点四、追及和相遇问题
1．特征：两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时到达空间某位置．
2．追及和相遇问题的几种情况
(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体
肯定能追上，且只能相遇一次．两者在追上前相距最远的条件是v加＝v匀．
(2)匀减速直线运动的物体追匀速直线运动的物体
①若当v减＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离；
②若当v减＝v匀时，两者正在同一位置，则恰能追上，这种情况也是避免两者相撞的临界条件；
③若当两者到达同一位置时有v减>v匀，则有两次相遇的机会．
(3)匀速直线运动的物体追匀加速直线运动的物体
①若当v加＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离；
②若当v加＝v匀时，两者恰好到达同一位置，则只能相遇一次；
③若当两者到达同一位置时v加注意　同向运动的两物体追及即相遇，若两物体做相向运动，相遇的条件是两物体开始运动时的距离等于它们的位移大小之和．
3．解题思路
(1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图．
(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中．
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是解题关键．
(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析．
(5)解决方法
大致分为两种：一是物理分析法，即通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列方程求解；二是数学方法，因为在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解，有时也可借助v－t图象进行分析．
(6)追及问题中的“一个条件”、“两个关系”
①一个条件：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等．
②两个关系：时间关系和位移关系．
时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画运动示意图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意、启迪思维大有好处．
【题型考点分析】
【考点一】 平均速度公式的巧用
【典型例题1】 (2020－2021学年上海市上海师范大学附属中学高一(上)期中)如图，两光滑斜面在B处链接，小球由A处静止释放，经过B、C两点时速度大小分别为3m/s和4m/s,AB=BC．设球经过B点前后的速度大小不变，则球在AB、BC段的加速度大小之比为____，球由A运动到C的过程中平均速率为_____m/s．
【解析】 设AB=BC=x，AB段时间为t1，BC段时间为t2，根据知AB段:，BC段为，则t1:t2=7:3，根据知AB段加速度，BC段加速度，则球在AB、BC段的加速度大小之比为9:7；根据知AC的平均速度．故选C．
【答案】 (1)9:7 (2) 2.1
【考点二】 利用纸带分析物体的运动
【典型例题2】 如图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，从若干纸带中选中的一条纸带的一部分，他以每5个打点取一个计数点，图上注明了他对各个计数点间距离的测量结果．(单位：cm)
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行下列计算，填入表内．(单位：cm)
x2－x1 x3－x2 x4－x3 x5－x4 x6－x5
各位移差与平均值最多相差________cm，即各位移差与平均值最多相差________%.由此可得出结论：小车在________的位移之差，在________范围内相等，所以小车的运动是________．
(2)根据a＝，可以求出：a1＝＝______m/s2，a2＝＝________m/s2，a3＝＝________m/s2，所以a＝＝________m/s2.
【解析】　(1)x2－x1＝1.60 cm；x3－x2＝1.55 cm；x4－x3＝1.62 cm；x5－x4＝1.53 cm；x6－x5＝1.61 cm；Δx＝1.58 cm.各位移差与平均值最多相差0.05 cm，即各位移差与平均值最多相差3.3%.由此可得出结论：小车在任意两个连续相等的时间内的位移之差，在误差允许范围内相等，所以小车的运动是匀加速直线运动．
(2)采用逐差法，即a1＝＝1.59 m/s2，
a2＝≈1.57 m/s2，a3＝≈1.59 m/s2，
a＝＝≈1.58 m/s2.
【答案】　见解析
【考点三】 v－t图象的理解及应用
【典型例题3】 (2020－2021学年山西省山西大学附属中学高一(上)期中)(多选)甲、乙两辆玩具汽车在平直的互相平行的两条轨道上同向行驶，其v－t图像如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则(　　)
A．在t=0时，甲车在乙车前1.5m
B．在t=1s时，甲车在乙车后
C．两车另一次并排行驶的时刻是t=2s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间的距离为8m
【解析】 A．由于在v－t图像中，图线与坐标轴围成的面积表示位移，两车在t=3s时并排行驶，此时，，所以t=0时甲车在前，距乙车的距离为，选项A正确；
BC．当t=1s时，，，此时，所以另一次并排行驶的时刻为t=1s，选项BC项错误；
D．两次并排行驶的位置沿公路方向相距，选项D项正确。故选AD。
【答案】 AD
【考点四】 追及和相遇问题
【典型例题4】 (2020－2021学年西藏拉萨市拉萨中学高一(上)期中)一小汽车从静止开始以3m/s2的匀加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从汽车边匀速驶过，求
(1)汽车什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？
(2)汽车从开始起动后到追上自行车之前经多少时间后两者相距最远？此时距离是多少？
【解析】 (1)设经时间汽车追上自行车，则有：，解得：
此时汽车速度
故汽车经过4s追上自行车，此时汽车的速度为12m/s．
(2)汽车速度等于6m/s时两者距离最远，则有：，解得：
汽车的位移为
自行车的位移为
两车距离．
故经过2s两者相距最远，此时的距离为6m．
【答案】 (1)12m/s(2)2s，6m
【归纳总结】 “速度相等”是追及、相遇问题的重要条件，此时常伴有距离“最大”、“最小”，或恰好“追上”、“追不上”等临界用语．
【考点五】 通过图像判断相遇次数
【典型例题5】 (2020－2021学年辽宁省沈阳二中高一(上)期中)(多选)甲、乙两车在平直公路上沿同一方向行驶，其v－t图象如图所示，在t＝0时刻，乙车在甲车前方x0处，在t＝t1时间内甲车的位移为x．下列判断正确的是( )
A．若甲、乙在t1时刻相遇，则
B．若甲、乙在时刻相遇，则下次相遇时刻为
C．若，则甲、乙一定相遇两次
D．若，则甲、乙一定相遇两次
【解析】 A．由图可知，甲车的初速度等于2v，在t1时间内，甲车的位移为x，则乙车的位移为．若甲乙在t1时刻相遇，则，故A正确；
BD．若甲乙在时刻相遇，由图象可知，x为阴影部分对应的距离，
即：，由图象中的对称关系，下次相遇的时刻为：，故BD正确；
C．若，相遇时，之后不能再次相遇，故C错误；故选ABD。
【答案】 ABD
【考点六】 延时问题
【典型例题6】 (2020－2021学年上海市徐汇区上海中学高一(上)期中)在正常情况下，火车以54km/h的速度匀速开过一个小站，现因需要，必须在这个小站停留。火车将要到达该小站时，以0.5m/s2加速度作匀减速运动，停留2min后，又以0.3m/s2的加速度开出小站，一直到恢复原来的速度，则因列车停靠小站而延误的时间为(　　)
A．40s B．120s C．160s D．200s
【解析】 根据题意可知
火车匀减速驶入小站
位移
火车在站内停留，
火车匀加速开出小站
位移，
若火车匀速驶过小站
列车停靠小站而延误的时间△
故C正确、ABD错误。故选C。
【答案】 C
【考点七】 对ETC通道过程的研究
【典型例题7】 (2020－2021学年天津市南开区南开中学高一(上)期中)(多选)ETC是“电子不停车收费系统”的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以v1=15m/s朝收费站正常沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在收费站中心线前d=10m处正好匀减速至v2=5m/s，匀速通过“匀速行驶区间”后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过20s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶。设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1m/s2，则下列说法正确的有(　　)
A．汽车走人工收费通道时，开始减速的位置距离收费站中心线是112.5m
B．汽车走ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小为210m
C．汽车采用ETC通道比通过人工收费通道节约的时间为27s
D．汽车采用ETC通道比通过人工收费通道节约的是间为28s
【解析】 A．汽车走人工收费通道时，开始减速的位置距离收费站中心线为，A正确；
B．汽车走ETC通道减速运动的位移为，汽车走ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小为，B正确；
CD．人工通道的总时间和总距离分别为，，ETC通道的时间和位移，，，ETC通道的总时间为，汽车采用ETC通道比通过人工收费通道节约的时间为，C正确，D错误。故选ABC。
【答案】 ABC
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第二章 章末总结
【要点归纳】
知识点一、匀变速直线运动问题的求解方法
1．基本公式
2．推论式
3．注意问题
(1)要养成画物体运动示意图或利用v－t图象的习惯．特别是较复杂的运动，画图或利用v－t图象可使运动过程直观，物理情景清晰，便于分析研究．
(2)要注意分析研究对象的运动过程，弄清整个运动过程按运动性质可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系．
(3)由于本章公式较多，且各公式间有相互联系，因此，本章的题目可一题多解．解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案．解题时除采用常规的公式解析法外，对称法、比例法、极值法、逆向转换法(如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动)
知识点二、纸带问题的分析
1．判断物体的运动性质
(1)根据匀速直线运动特点x＝ ，若纸带上各相邻的点的间隔相等，则可判定物体做匀速直线运动．
(2)由匀变速直线运动的推论Δx＝ ，若所打的纸带上在任意两个相邻且相等的时间内物体的位移差相等，则说明物体做匀变速直线运动．
2．求加速度
(1)逐差法：
虽然用a＝ 可以根据纸带求加速度，但只利用一个Δx时，偶然误差太大，为此应采取逐差法．
图1
如图1所示，纸带上有六个连续相等的时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，由Δx＝aT2可得：
x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2
x5－x2＝(x5－x4)＋(x4－x3)＋(x3－x2)＝3aT2
x6－x3＝(x6－x5)＋(x5－x4)＋(x4－x3)＝3aT2
所以a＝
　＝
由此可以看出，各段位移都用上了，有效地减小了偶然误差．所以利用纸带计算加速度时，应使用逐差法．
(2)v－t图象法：
利用匀变速直线运动的一段时间内的平均速度等于中间时刻的速度的推论，求出各时刻的瞬时速度v1、v2、v3……vn，建立一个直角坐标系，横轴为t，纵轴为v，把求出的各时刻的速度值进行描点，然后画一条直线，并使该直线尽可能多的通过所描各点，或使各点均匀地分布在直线两侧．求出该v－t图线的斜率k，则k＝a.
这种方法的优点是可以舍掉一些偶然误差较大的测量值，因此它的偶然误差较小．
知识点三、两种图象的比较
由于图象能直观地表示出物理过程和各物理量之间的关系，所以在解题过程中被广泛应用．在运动学中，经常用到的有x－t图象和v－t图象．但提醒注意的是，两种图象都不是物体运动的轨迹．
1．x－t图象
用纵轴表示位移，横轴表示时间，根据描点作出的图线，描述的是做直线运动的物体位移随时间变化的规律．图象上某点的切线斜率表示该时刻物体的速度，斜率的大小，表示速度的大小；斜率为正值表示物体沿规定的正方向运动，斜率为负值，表示物体沿规定正方向的反方向运动．
2．v－t图象
描述做直线运动物体的速度随时间变化的规律．图线上某点的切线斜率表示 ；某段时间图线与时间轴围成图形的面积值表示 ．
3．x－t图象与v－t图象的比较
形状一样的图线，在不同图象中所表示的物理规律不同，因此在应用时要特别注意看清楚图象的纵轴、横轴所表示的是什么物理量．
下表是形状一样的各图线在x－t图象与v－t图象中的物理意义的比较.
　　　 x－t图象 v－t图象
图象
图形所表运动性质 ①表示物体做 ①表示物体做
②表示物体 ②表示物体做
③表示物体 ③表示物体
④表示物体向 ④表示物体做
交点 ⑤交点的纵坐标表示 ⑤交点的纵坐标表示
图上点 ⑥t1时间内物体通过位移为x1 ⑥t1时刻物体速度为v1
斜率 表示物体的 表示物体的
截距 横 表示位移为 表示速度为
纵 ④表示开始运动位移x0 ④表示初速度v0
面积 表示位移
知识点四、追及和相遇问题
1．特征：两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时到达空间某位置．
2．追及和相遇问题的几种情况
(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体
肯定能追上，且只能相遇一次．两者在追上前相距最远的条件是 ．
(2)匀减速直线运动的物体追匀速直线运动的物体
①若当v减＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有 ；
②若当v减＝v匀时，两者正在同一位置，则恰能追上，这种情况也是避免两者相撞的 ；
③若当两者到达同一位置时有v减>v匀，则有 相遇的机会．
(3)匀速直线运动的物体追匀加速直线运动的物体
①若当v加＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离；
②若当v加＝v匀时，两者恰好到达同一位置，则只能 ；
③若当两者到达同一位置时v加注意　同向运动的两物体追及即相遇，若两物体做相向运动，相遇的条件是两物体开始运动时的距离等于它们的位移大小之和．
3．解题思路
(1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图．
(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中．
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是解题关键．
(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析．
(5)解决方法
大致分为两种：一是物理分析法，即通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列方程求解；二是数学方法，因为在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解，有时也可借助v－t图象进行分析．
(6)追及问题中的“一个条件”、“两个关系”
①一个条件：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等．
②两个关系：时间关系和位移关系．
时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画运动示意图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意、启迪思维大有好处．
【题型考点分析】
【考点一】 平均速度公式的巧用
【典型例题1】 (2020－2021学年上海市上海师范大学附属中学高一(上)期中)如图，两光滑斜面在B处链接，小球由A处静止释放，经过B、C两点时速度大小分别为3m/s和4m/s,AB=BC．设球经过B点前后的速度大小不变，则球在AB、BC段的加速度大小之比为____，球由A运动到C的过程中平均速率为_____m/s．
【考点二】 利用纸带分析物体的运动
【典型例题2】 如图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，从若干纸带中选中的一条纸带的一部分，他以每5个打点取一个计数点，图上注明了他对各个计数点间距离的测量结果．(单位：cm)
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行下列计算，填入表内．(单位：cm)
x2－x1 x3－x2 x4－x3 x5－x4 x6－x5
各位移差与平均值最多相差________cm，即各位移差与平均值最多相差________%.由此可得出结论：小车在________的位移之差，在________范围内相等，所以小车的运动是________．
(2)根据a＝，可以求出：a1＝＝______m/s2，a2＝＝________m/s2，a3＝＝________m/s2，所以a＝＝________m/s2.
【考点三】 v－t图象的理解及应用
【典型例题3】 (2020－2021学年山西省山西大学附属中学高一(上)期中)(多选)甲、乙两辆玩具汽车在平直的互相平行的两条轨道上同向行驶，其v－t图像如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则(　　)
A．在t=0时，甲车在乙车前1.5m
B．在t=1s时，甲车在乙车后
C．两车另一次并排行驶的时刻是t=2s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间的距离为8m
【考点四】 追及和相遇问题
【典型例题4】 (2020－2021学年西藏拉萨市拉萨中学高一(上)期中)一小汽车从静止开始以3m/s2的匀加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从汽车边匀速驶过，求
(1)汽车什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？
(2)汽车从开始起动后到追上自行车之前经多少时间后两者相距最远？此时距离是多少？
【考点五】 通过图像判断相遇次数
【典型例题5】 (2020－2021学年辽宁省沈阳二中高一(上)期中)(多选)甲、乙两车在平直公路上沿同一方向行驶，其v－t图象如图所示，在t＝0时刻，乙车在甲车前方x0处，在t＝t1时间内甲车的位移为x．下列判断正确的是( )
A．若甲、乙在t1时刻相遇，则
B．若甲、乙在时刻相遇，则下次相遇时刻为
C．若，则甲、乙一定相遇两次
D．若，则甲、乙一定相遇两次
【考点六】 延时问题
【典型例题6】 (2020－2021学年上海市徐汇区上海中学高一(上)期中)在正常情况下，火车以54km/h的速度匀速开过一个小站，现因需要，必须在这个小站停留。火车将要到达该小站时，以0.5m/s2加速度作匀减速运动，停留2min后，又以0.3m/s2的加速度开出小站，一直到恢复原来的速度，则因列车停靠小站而延误的时间为(　　)
A．40s B．120s C．160s D．200s
【考点七】 对ETC通道过程的研究
【典型例题7】 (2020－2021学年天津市南开区南开中学高一(上)期中)(多选)ETC是“电子不停车收费系统”的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以v1=15m/s朝收费站正常沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在收费站中心线前d=10m处正好匀减速至v2=5m/s，匀速通过“匀速行驶区间”后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过20s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶。设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1m/s2，则下列说法正确的有(　　)
A．汽车走人工收费通道时，开始减速的位置距离收费站中心线是112.5m
B．汽车走ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小为210m
C．汽车采用ETC通道比通过人工收费通道节约的时间为27s
D．汽车采用ETC通道比通过人工收费通道节约的是间为28s
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