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第四节　力的合成和分解
【要点归纳】
知识点一、共点力及力的合成
1．共点力的概念：如果几个力同时作用在物体的同一点或者它们的作用线相交于同一点，则这几个力叫做共点力。
2．力的合成：
(1)合力与分力：如果一个力作用在物体上，产生的效果跟几个力共同作用在物体上产生的效果相同，则这个力就叫那几个力的合力，那几个力叫这个力的分力．
(2)力的合成：求几个力的合力叫力的合成．
(3)两个力的合成
①遵循法则平行四边形定则。
②方法：以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线表示合力的大小和方向。
③两个以上的力的合成方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
④注意事项：力的合成是惟一的；只有同一个物体受到的力才能够进行力的合成；不同性质的力也可以进行力的合成，因为合力与分力只是作用效果上的等效替代．
知识点二、合力与分力的关系
1．(1)合力与几个分力间是等效替代关系，受力分析时，分力与合力不能同时作为物体所受的力．
(2)只有同一物体同时受到的力才能合成．
2．合力与分力间的大小关系
(1)两力同向时合力最大：F＝F1＋F2，方向与两力同向；
(2)两力方向相反时，合力最小：F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的力同向；
(3)两力成某一角度θ时，如图所示，三角形AOC的每一条边对应一个力，由几何知识可知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|F1－F2|＜F＜F1＋F2.因此合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
(4)两个力大小一定，它们的夹角越大，合力越小．
知识点三、用平行四边形定则求合力的方法
1．作图法：根据两个分力的大小和方向，用力的图示法，从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1、F2，再以F1、F2为邻边作出平行四边形，从而得到F1、F2之间的对角线，根据表示分力的标度去度量该对角线，对角线的长度就代表了合力的大小，对角线与某一分力的夹角就可以代表合力的方向．
2．计算法
可以根据平行四边形定则作出示意图，然后根据几何知识求解平行四边形的对角线，即为合力．以下为求合力的几种特殊情况：
(1)相互垂直的两个力的合成，如图甲所示：
由几何知识，合力大小F＝，方向tan θ＝.
(2)夹角为θ，大小相等的两个力的合成，如图乙所示：
由几何知识，作出的平行四边形为菱形，其对角线相互垂直且平分，则合力大小F＝2F1cos，方向与F1夹角为.
(3)夹角为120°的两等大的力的合成，如图丙所示：
由几何知识得出对角线将平行四边形分为两个等边三角形，故合力与分力大小相等．
知识点四、力的分解
1．力的分解概念：求一个已知力的分力叫力的分解。
2．分解依据：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则．
3．分解原则：把一个已知力作为平行四边形的对角线，则与已知力共点的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力．由于同一条对角线可以作出无数个不同的平行四边形，因此，如果没有限制，从理论上分析，一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力。
知识点五、力的分解的几个典型实例
实例 分析
地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2，F1＝mgsin α，F2＝mgcos α.
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝.
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝
A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1；二是使物体拉紧BO线的分力F2.F1＝F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝.
知识点六、力的正交分解法
1．正交分解法的原理：一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得．当物体受到多个力作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便．为此，我们建立一个直角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，分别求出两个不同方向上的合力Fx和Fy，然后由F＝求合力．
2．正交分解法的步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并在图上注明，用符号Fx和Fy表示，如图所示．
(3)在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出Fx、Fy的数学表达式，与两轴重合的力不需要分解．
(4)分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(5)求共点力的合力，合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝.
【真题演练】
1．(2020－2021学年福建省三明市一中高一(上)期中)下列关于合力与分力的说法中正确的是(　　)
A．合力与分力同时作用在物体上
B．分力同时作用于物体时共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的
C．合力一定大于分力
D．合力大小不变时，增大两等大分力间的夹角，则分力增大；当两分力大小不变时，增大两分力间的夹角，则合力增大。
【解析】 AB．合力与分力的作用效果相同，它们并不是同时作用在物体上，故A错误，B正确；
CD．当两个分力大小不变时，由平行四边形定则可知，分力间的夹角越大，合力越大，合力可能大于分力(如两分力间的夹角为锐角时)，也可能小于分力(如两分力间的夹角为钝角时)，故CD错误。故选B。
【答案】 B
2．(2020－2021学年山西省山西大学附属中学高一(上)期中)有两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为90°时合力的大小为F，则当它们的夹角为60°时，合力的大小为(　　)
A．2F B． C． D．
【解析】 当两个力的夹角90°时，合力为：
所以
当两个力的夹角为60°时，根据平行四边形定则，合力大小等于底角为30°的等腰三角形的底边：，
A．2F与计算结果不符，故A选项错误．
B．与计算结果相符，故B选项正确．
C．与计算结果不符，故C选项错误．
D．与计算结果不符，故D选项错误．
【答案】 B
3．(2020－2021学年辽宁省沈阳二中高一(上)期中)(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2N、2N、3N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A．物体所受静摩擦力可能为2N
B．物体所受静摩擦力可能为4N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
【解析】 2N和2N的合力范围为[0，4N]，3N在此范围内，故当两个2N合力为3N时，再与第三个力大小相等方向相反，则三个力的合力为0，故2N，2N，3N三个力的合力范围为[0，7N]；2N在三个力的合力范围内，故当三个力的合力为2N时，物体所受静摩擦力为2N，故A正确；4N在三个力的合力范围内，故当三个力的合力为4N时，物体所受静摩擦力为4N，故B正确；当三个力的合力小于最大静摩擦力5N时，物体仍保持静止状态，故C正确，D错误；故选ABC．
【答案】 ABC
4．(2020－2021学年天津市南开区南开中学高一(上)期中)有两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为90°时合力的大小为F，则当它们的夹角为60°时，合力的大小为(　　)
A．2F B． C． D．
【解析】 当两个力的夹角90°时，合力为：
所以
当两个力的夹角为60°时，根据平行四边形定则，合力大小等于底角为30°的等腰三角形的底边：，
A．2F与计算结果不符，故A选项错误．
B．与计算结果相符，故B选项正确．
C．与计算结果不符，故C选项错误．
D．与计算结果不符，故D选项错误．
【答案】 B
5．(2020－2021学年天津市南开区南开中学高一(上)期中)用斧头劈木柴的情景如图甲所示。劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，当在劈背加一个力F时的受力示意图如乙所示，若不计斧头的重力，则劈的侧面推压木柴的力F1为(　　)
A． B． C． D．
【解析】 根据对称性，两分力F1、F2大小相等，这样，以F1、F2为邻边的平行四边形就是一个菱形，因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以根据三角形相似
解得。故A正确，BCD错误。故选A。
【答案】 A
6．(2020－2021学年上海市徐汇区上海中学高一(上)期中)某飞机(见图a)起落架结构如简图b所示。当驱动杆甲转动时，通过杆上螺纹带动连杆乙，实现轮子的收放。忽略轮子所受的阻力。下述说法正确的是(　　)
A．飞机在跑道起飞阶段，轮子受到的合力为零
B．飞机沿直线匀速飞行时，连杆乙、丙对轮子的合力为零
C．飞机沿直线匀速飞行时，连杆乙、丙对轮子的合力方向竖直向上
D．飞机沿直线匀速飞行时，连杆乙、丙对轮子的合力方向竖直向下
【解析】 A．飞机在跑道起飞阶段加速度不为零，所以轮子受到的合力不为零，故A错误；
BCD．飞机沿直线匀速飞行时轮子受到的合力为零，连杆乙、丙对轮子的合力与轮子的重力等大反向，合力不为零，其合力方向竖直向上，故BD错误，C正确。故选C。
【答案】 C
7．(2020－2021学年河北省唐山一中高一(上)期中)如图所示，三角形ABC三边中点分别为D、E、F，在三角形中任取一点O，如果OE、OF、DO三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力是(　　)
A．OA B．OB C．OC D．DO
【解析】 由于OE、OF、DO均表示矢量，故
则
而根据三角形定则，有
由于，则
所以，故选A。
【答案】 A
8．(2020－2021学年河南省实验中学高一(上)期中)如图所示，AB是半圆的直径，O为圆心，P点是圆上的一点，在P点作用了三个共点力F1、F2、F3。若F2的大小已知，则这三个力的合力为(　　)
A．F2 B．2F2 C．3F2 D．4F2
【解析】 以F1、F3为邻边作平行四边形，由几何特征，可知平行四边形是矩形，则合力F13=2F2，故F1、F2、F3的合力F=3F2，所以C正确；故选C．
【答案】 C
9．(2020－2021学年海南省海口市海南中学高一(上)期中)(多选)两人在小溪的岸上拉小船向东前进，甲在北岸，水平拉力200N，方向沿东偏北30°，乙在南岸，水平拉力方向向南。要使两人的合力向东，则以下判断正确的是(　　)
A．乙的拉力为100N
B．甲乙两人的合力为100N
C．乙的拉力为173N
D．甲乙两人的合力为173N
【解析】 甲在北岸，水平拉力200N，方向沿东偏北30°，乙在南岸，水平拉力方向向南，要使两人的合力向东，则有
合力为，故选AD。
【答案】 AD
10．(2020－2021学年北京市西城区四中高一(上)期中)两个共点力作用于一个物体上，力的方向可以任意调节，其中一个力为20N，另一个力是F，它们的合力是50N，则F的大小不可能的是(　　)
A．20N B．30N C．40N D．50N
【解析】 如两个力方向相同，则
如果两个力方向相反，则
因此F的大小可能是30N到70N。故选A。
【答案】 A
11．(2020-2021学年重庆市沙坪坝区第八中学高一(上)期末)将一个大小为的力进行分解，以下四组可能正确的是(　　)
A．，
B．，
C．，
D．，
【解析】 A．两个分力的合理范围为，A项两力的合力范围为，选项A错误；
B．B项中两力的合力范围为，选项B正确；
C．C项中两力的合力范围为，选项C错误；
D．D项中两力的合力范围为，选项D错误。故选B。
【答案】 B
12．(2020-2021学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高一(上)期末)作用在一个物体上的两个共点力的合力的大小随两力之间的角度变化的关系如图所示，则说法错误的有(　　)
A．这两个力的合力的最大值为30N
B．这两个力的合力的最小值为10N
C．由该图像可确定两个分力大小值
D．只能确定两分力值的范围，不能确定具体值
【解析】 A．由图可知，当二力的方向的夹角为0或2π时，二力在同一直线上且方向相同，此时二力的合力最大，为30N，A正确；
B．有图可知，当二力的方向的夹角为π时，二力在同一条直线上且方向相反，此时二力的合力最小，为10N，B正确；
CD．二力合力的大小范围是
所以有，
解得，，D错误C正确。故选D。
【答案】 D
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第四节　力的合成和分解
【要点归纳】
知识点一、共点力及力的合成
1．共点力的概念：如果几个力同时作用在物体的 或者它们的作用线 ，则这几个力叫做共点力。
2．力的合成：
(1)合力与分力：如果一个力作用在物体上，产生的效果跟几个力共同作用在物体上产生的效果 ，则这个力就叫那几个力的 ，那几个力叫这个力的 ．
(2)力的合成：求几个力的合力叫力的合成．
(3)两个力的合成
①遵循法则 定则。
②方法：以表示这两个力的线段为邻边作 ，这两个邻边之间的对角线表示 。
③两个以上的力的合成方法：先求出任意 ，再求出这个合力与第三个力的 ，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些 。
④注意事项：力的合成是 的；只有 受到的力才能够进行力的合成；不同性质的力也可以进行力的合成，因为合力与分力只是作用效果上的等效替代．
知识点二、合力与分力的关系
1．(1)合力与几个分力间是 ，受力分析时，分力与合力不能同时作为物体所受的力．
(2)只有同一物体同时受到的力才能合成．
2．合力与分力间的大小关系
(1)两力同向时合力最大：F＝ ，方向与两力 ；
(2)两力方向 时，合力最小：F＝ ，方向与两力中 ；
(3)两力成某一角度θ时，如图所示，三角形AOC的每一条边对应一个力，由几何知识可知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即 ＜F＜ 。因此合力大小的范围是： .
(4)两个力大小一定，它们的夹角越大，合力 ．
知识点三、用平行四边形定则求合力的方法
1．作图法：根据两个分力的大小和方向，用力的图示法，从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1、F2，再以F1、F2为邻边作出平行四边形，从而得到F1、F2之间的对角线，根据表示分力的标度去度量该对角线，对角线的长度就代表了 ，对角线与某一分力的夹角就可以代表 ．
2．计算法
可以根据平行四边形定则作出示意图，然后根据几何知识求解平行四边形的对角线，即为合力．以下为求合力的几种特殊情况：
(1)相互垂直的两个力的合成，如图甲所示：
由几何知识，合力大小F＝ ，方向tan θ＝ .
(2)夹角为θ，大小相等的两个力的合成，如图乙所示：
由几何知识，作出的平行四边形为菱形，其对角线相互垂直且平分，则合力大小F＝ ，方向与F1夹角为 .
(3)夹角为120°的两等大的力的合成，如图丙所示：
由几何知识得出对角线将平行四边形分为两个等边三角形，故合力与分力大小 ．
知识点四、力的分解
1．力的分解概念：求一个已知力的分力叫力的分解。
2．分解依据：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循 定则．
3．分解原则：把一个已知力作为平行四边形的对角线，则与已知力共点的平行四边形的两条邻边就表示已知力的 ．由于同一条对角线可以作出无数个不同的平行四边形，因此，如果没有限制，从理论上分析，一个力可以分解为 大小、方向不同的分力。
知识点五、力的分解的几个典型实例
实例 分析
地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2，F1＝mgsin α，F2＝mgcos α.
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2.F1＝ ，F2＝ .
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝ ，F2＝
A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1；二是使物体拉紧BO线的分力F2.F1＝F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2.F1＝ ，F2＝ .
知识点六、力的正交分解法
1．正交分解法的原理：一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得．当物体受到多个力作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便．为此，我们建立一个直角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，分别求出两个不同方向上的合力Fx和Fy，然后由F＝求合力．
2．正交分解法的步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并在图上注明，用符号Fx和Fy表示，如图所示．
(3)在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出Fx、Fy的数学表达式，与两轴重合的力不需要分解．
(4)分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(5)求共点力的合力，合力大小F＝ ，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝ .
【真题演练】
1．(2020－2021学年福建省三明市一中高一(上)期中)下列关于合力与分力的说法中正确的是(　　)
A．合力与分力同时作用在物体上
B．分力同时作用于物体时共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的
C．合力一定大于分力
D．合力大小不变时，增大两等大分力间的夹角，则分力增大；当两分力大小不变时，增大两分力间的夹角，则合力增大。
2．(2020－2021学年山西省山西大学附属中学高一(上)期中)有两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为90°时合力的大小为F，则当它们的夹角为60°时，合力的大小为(　　)
A．2F B． C． D．
3．(2020－2021学年辽宁省沈阳二中高一(上)期中)(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2N、2N、3N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A．物体所受静摩擦力可能为2N
B．物体所受静摩擦力可能为4N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
4．(2020－2021学年天津市南开区南开中学高一(上)期中)有两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为90°时合力的大小为F，则当它们的夹角为60°时，合力的大小为(　　)
A．2F B． C． D．
5．(2020－2021学年天津市南开区南开中学高一(上)期中)用斧头劈木柴的情景如图甲所示。劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，当在劈背加一个力F时的受力示意图如乙所示，若不计斧头的重力，则劈的侧面推压木柴的力F1为(　　)
A． B． C． D．
6．(2020－2021学年上海市徐汇区上海中学高一(上)期中)某飞机(见图a)起落架结构如简图b所示。当驱动杆甲转动时，通过杆上螺纹带动连杆乙，实现轮子的收放。忽略轮子所受的阻力。下述说法正确的是(　　)
A．飞机在跑道起飞阶段，轮子受到的合力为零
B．飞机沿直线匀速飞行时，连杆乙、丙对轮子的合力为零
C．飞机沿直线匀速飞行时，连杆乙、丙对轮子的合力方向竖直向上
D．飞机沿直线匀速飞行时，连杆乙、丙对轮子的合力方向竖直向下
7．(2020－2021学年河北省唐山一中高一(上)期中)如图所示，三角形ABC三边中点分别为D、E、F，在三角形中任取一点O，如果OE、OF、DO三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力是(　　)
A．OA B．OB C．OC D．DO
8．(2020－2021学年河南省实验中学高一(上)期中)如图所示，AB是半圆的直径，O为圆心，P点是圆上的一点，在P点作用了三个共点力F1、F2、F3。若F2的大小已知，则这三个力的合力为(　　)
A．F2 B．2F2 C．3F2 D．4F2
9．(2020－2021学年海南省海口市海南中学高一(上)期中)(多选)两人在小溪的岸上拉小船向东前进，甲在北岸，水平拉力200N，方向沿东偏北30°，乙在南岸，水平拉力方向向南。要使两人的合力向东，则以下判断正确的是(　　)
A．乙的拉力为100N
B．甲乙两人的合力为100N
C．乙的拉力为173N
D．甲乙两人的合力为173N
10．(2020－2021学年北京市西城区四中高一(上)期中)两个共点力作用于一个物体上，力的方向可以任意调节，其中一个力为20N，另一个力是F，它们的合力是50N，则F的大小不可能的是(　　)
A．20N B．30N C．40N D．50N
11．(2020-2021学年重庆市沙坪坝区第八中学高一(上)期末)将一个大小为的力进行分解，以下四组可能正确的是(　　)
A．，
B．，
C．，
D．，
12．(2020-2021学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高一(上)期末)作用在一个物体上的两个共点力的合力的大小随两力之间的角度变化的关系如图所示，则说法错误的有(　　)
A．这两个力的合力的最大值为30N
B．这两个力的合力的最小值为10N
C．由该图像可确定两个分力大小值
D．只能确定两分力值的范围，不能确定具体值
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