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22.3 实际问题与一元二次方程（1）
黄圃镇中学 张万梅
教学任务分析
教学目标 知识技能 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
数学思考 经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
解决问题 通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重点 列一元二次方程解有关传播问题、增长率问题的应用题
难点 发现传播问题、增长率率问题中的等量关系
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1 复习回顾 复习列方程解应用题的一般步骤，引入话题
活动2 探究、引入传播问题 探究、解决传播问题，得出此类问题的关键
活动3 练习、小结传播问题 抓住特点，快速解答
活动4 探究、引入增长率问题 探究、解决增长（下降）率问题，得出基本模式
活动5 课堂小练 抓住问题关键，快速解答
活动6 小结与思考 再次找到实际问题与一元二次方程的关系，升华主题
活动7 作业布置 分层训练，让学生掌握重点、解决难点
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
活动1 复习回顾 同学们回忆一下运用一元一次方程解实际问题的步骤： 学生很容易忽略第一步：审题分析后，给出图表：审——设——列——解——验——答 学生会忽略审题和验证两步，在这既复习了基本步骤，又强调出学生解决问题应注意的地方。
（2） 活动2 探究、引入传播问题问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？ 分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。则：列方程 ，解得 即平均一个人传染了 个人。 学生分析、回答。学生自行解答。 从第一轮分析好，引导学生发现每次传染的传染源。再次强调找准传染源是解答此类问题的关键。
活动3 练习、小结传播问题Ex1:在震惊世界的“5.12”汶川大地震发生后，全国人民发起了抗震救灾献爱心的活动，我校初2009级某班班委发出主题为“爱心在行动”号召:从班长开始，将爱心传递给若干名同学，获得爱心的同学再将爱心传递给同样多的不同的同学，据统计两轮下来后，共有157人加入了该行动，请问在该行动中每人将爱心传递给了几名同学 Ex2:某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,问每个支干长出多少小分支 师生齐分析解:设每人将爱心传递给了x名同学.则1+x+x2 =157化简，得：x2+x-156=0解方程，得：x1=12，x2=-13 (舍去)答:每人将爱心传递给了12名同学。学生自行解答。 典型问题，初步应用。强化学生得知此类问题的解决关键：确定好每一次传播的传播（传染）源。
活动4 探究、引入增长率问题问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）Ex3:某农场的产量两年内从50万kg增加到60.5万kg，问：平均每年增产百分之几？可得出此类问题的基本模式： 分析：甲种药品成本的年平均下降额为（5000－3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000－3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．思考：能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢 下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为 元，两年后甲种药品成本为 元． 依题意，得 解得：x1≈ ，x2≈ 。根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 。②设乙种药品成本的平均下降率为y．则列方程： 解得： 答：两种药品成本的年平均下降率 ．学生分析、到黑板前板书老师重点小结注意： （1）1与x的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法（3）一般情况下，x>0时表示增长， x<0时表示下降 此题强化学生解题此类问题的基本思路把握，又可发现学生在解此类方程的各种方法及可指出最好的方法。
活动5 课堂小练快速抢答题（大屏幕） 学生抢答集体评价 Ex1和ex2强化这节课的两个问题。Ex3主要看学生是否分析题目中的字眼“提高了”，让学生意识到一字不漏看题，并看懂每一句话。
活动6 小结与思考列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1)“设”，即设___________，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中_______ 关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的________；(4)“验”，即验证是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。 再次找到实际问题与一元二次方程的关系，升华主题
活动7 作业布置 课本P43第9题 P48第4、6、7题， P53第9题 分层训练，让学生掌握重点、解决难点
教学反思：
传播问题和增长率（下降率）问题，是一元二次方程最简单的应用。但在引导学生列出方程式上并不是一件简单的事。传播问题一讲就懂，但一用就忘，特别是对于中层或偏下的学生而言，一轮又一轮的传播很复杂，不理解只靠记忆是很难再次应用。增长率问题在引入时比较困难，特别是把原量看做是“1”。当把基本模式给出后，学生还是比较容易应用的，但此类问题在解答所列方程时，很多学生不熟悉可用直接开平方法，计算基础差的同学很难得到最后解答。这节的设计还不够合理，传播问题在分析完例题后出了两道练习题，但都是属于没区别的两题，可以删掉一题或者时间上用少点。我在上这节课时在增长率问题上就不够时间巩固了，小结后的课堂小练没有时间进行，前面控制得时间不妥。
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义务教育课程标准实验教材数学 九年级上册
中山市黄圃镇中学 初三数学科组
中山市黄圃镇中学 张万梅
运用一元一次方程解实际问题的步骤：
审
设
列
解
验
答
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
分：析：
1
第一轮传染后
1+x
第二轮传染后
1+x+x(1+x)
开始有1人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,用代数式表示,第二轮后共有_________人患了流感.
设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
(x+1)
1+x+x(1+x)
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意得：
1+x+x(1+x)=121
解得：x1=10，x2=-12（不合题意，舍去）
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。
解得：x1=10，x2=-12（不合题意，舍去）
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。
此为传播问题，要特别注意每次的传播源是谁。
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意得：1+x+x(1+x)=121
解得：x1=10，
x2=-12（不合题意，舍去）
如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感
121+121×10=1331人
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
Ex1:在震惊世界的“5.12”汶川大地震发生后，全国人民发起了抗震救灾献爱心的活动，我校初2009级某班班委发出主题为“爱心在行动”号召:从班长开始，将爱心传递给若干名同学，获得爱心的同学再将爱心传递给同样多的不同的同学，据统计两轮下来后，共有157人加入了该行动，请问在该行动中每人将爱心传递给了几名同学
解:设每人将爱心传递给了x名同学.则
解方程，得：
答:每人将爱心传递给了12名同学。
x1=12，
x2=-13
(舍去)
1+x+x2
=157
化简，得：
x2+x-156=0
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
Ex2:某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,问每个支干长出多少小分支
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
解:设每个支干长出x个小分支,
则1+x+x●x=91
即x2+x-90=0
解得,
x1=9,
x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
1
x
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
分析:甲种药品成本的年平均下降额为
(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为
(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.
但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为 5000(1-x)2 元,依题意得
解方程,得
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少
22.5%
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
Ex3:某农场的产量两年内从50万kg增加到60.5万kg，问：平均每年增产百分之几？
解：设平均每年的增长率为x，根据题意，
得 50(1+x)2=60.5
∴(1+x)2=1.21
解之得x1=0.1=10%,
x2=-2.1(不合题意，舍去)
答：平均每年增产10%。
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
1、平均增长（降低）率公式
2、注意：
（1）1与x的位置不要调换
（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法
（3）一般情况下，x>0时表示增长，
x<0时表示下降
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
Ex1:（08福建南平）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
Ex2:（2010甘肃兰州） 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
Ex3:（2010 甘肃）近年来，全国房价不断上涨，某县
201 0年4月份的房价平均每平方米为3600元， 比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为，则关于的方程为( )
A． B．
C． D．
Ex4: （2010辽宁丹东市）某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是____
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 实际问题与一元二次方程（1）
Ex5:（2010山东临沂）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；
（2）从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？
实际问题(审)
数学问题
ax2+bx+c=0 (a≠0)
设未知数、列方程
实际问题的答案
检验
解方程
数学问题的解
x=
2a
-b±√b2-4ac
课本P43第9题
P48第4、6、7题，
P53第9题登陆21世纪教育 助您教考全无忧
九年级上册第22章《一元二次方程》教材分析
黄圃镇中学 初三数学科组
1、 教学目标：
1、 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型。
2、 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力。
3、 了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法，公式法，分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数），并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。
4、 经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力。
二、知识结构框图
三、内容及课时安排
22.1 一元二次方程 1课时
22.2.1 解一元二次方程—配方法（1） 1课时
22.2.1 解一元二次方程—配方法（2） 1课时
22.2.2（1）解一元二次方程—公式法 1课时
22.2.2（2）一元二次方程的根的判别式 1课时
22.2.3 解一元二次方程—因式分解法 1课时
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1课时
22.3 实际问题与一元二次方程 2课时
小结与复习 2课时
单元测评 1课时
评测验卷 1课时
四、学法教法建议
22.1 一元二次方程 注意：
1、强调一元二次方程是整式方程，不能是分式方程。
2、一般形式： 指出a为什么不能等于0，如果有缺项，其系数等于0，如： 则一次项系数b=0。
3、求二次项系数，一次项系数和常数项时，要把方程化简成一元二次方程的一般形式后，才能求。
22.2.1 解一元二次方程—配方法 注意学生会出现的问题：
1、在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。
2、在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。
3、当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。
因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。
22.2.2（1）解一元二次方程—公式法 注意：
1、会用公式法的前提是会求出判别式的值，只有非负值时，方程才有实数解
2、用公式法前，一定要注意将方程准确地化成一般形式
3、二次根式的化简没有过关的话，在化简方程的解时会碰到很大困难，要适时复习
4、此法适用于二次项系数不为1的方程。
22.2.2（2）一元二次方程的根的判别式 注意：
1、已知方程的根的情况，求字母系数的取值范围，要求不等式要过关
2、用根的判别式解题，一定要保证二次项系数不为0。
3、在证明方程根的情况时，切忌一下笔就写等，一定要教会学生逆向思维思考问题。
22.2.3 解一元二次方程—因式分解法 注意：
1、并不是每个方程都适用因式分解法，要教会集中基本题型，一看题就知道方法
2、复习好因式分解很重要
3、要强调好用因式分解，左边是积的形式，右边一定是零。
4、谨防漏根，这种方法学生最易错误“约分”
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 注意：
1、要教会学生判断什么时候适用根与系数的关系
2、要教会学生几种两根和与积的变形，比如平方和、倒数和等
3、逆向思维要训练好，已知有关两根的关系，得出字母系数的相关值，注意保证好二次项系数不能为零，这个陷阱很容易忽略
22.3 实际问题与一元二次方程 注意：
1、课本例题教难时，可以自行换例题，等学生熟练此类题型后再加深
2、教学时重分析、重列方程，解方程不要在课堂上花太多时间
3、单循环、双循环问题，基本图形的面积问题，数字问题，书中没有提供例题，我们要补充好再让学生进行习题的训练
《一元二次方程》教学模式
1、 课前复习（上节课的重点内容或与本节课有关系的预备知识回顾）
2、 引入与探索（学生为主，得出结论后老师总结）
3、 例题讲解（学生先思考，老师规范解题过程）
4、 课堂巩固（学生练习，展示，讨论）
5、 小结与作业（知识点与方法小结，配套练习有本节巩固、挑战练、循环练）
实际问题
数学问题
设未知数，列方程
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
解 方 程
降
次
实际问题的答案
检验
数学问题的解
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22.3 实际问题与一元二次方程（1）
配套练习：
1、某班42名学生互赠贺卡，共需______张。
2、庆“五一”,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）,共进行了45场比赛,这次有____-队参加比赛.
3、某商品原来单价96元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降低的百分数相同，现单价为54元，求平均每次降价的百分数？
4、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【挑战】
5、随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
【循环练】
6、不解方程，判断下列方程根的情况：
（1） （2）
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