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22.2.5 因式分解法解一元二次方程
黄圃镇中学 古洁花
教学任务分析
教学目标 知识技能 1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．
数学思考 1、通过因式分解法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索能力，在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的数学思想方法。
解决问题 因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A·B＝0A＝0或B＝0．
情感态度 通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想．
重点 用因式分解法解一元二次方程
难点 正确理解：若A·B＝0A＝0或B＝0．（A、B表示两个因式）
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1：复习活动2 ：探讨什么叫因式分解法及用因式分解法的条件和根据，步骤。活动3 ：结合因式分解法讲解例题活动4 ：结合练习，体会因式分解法与其他解一元二次方程方法区别。活动5 ：课堂小结和布置作业． 引入课题进一步提出问题总结归纳加深对因式分解法的理解培养学生应用数学知识的意识，及独立思思完成练习的能力。
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
[活动1] 复习解一元二次方程方法有哪几种？及什么叫因式分解？分别用配方法和公式法解 x2=3x。 老师提问：1．我们已经学过了几种解一元二次方程的方法 2．什么叫因式分解 3．解方程x2=4x。 创设问题情景，引导学生复习解一元二次方程方法有哪几种？及什么叫因式分解？解方程x2=4x。激发学生参与课堂学习的热情。
[活动2] 讨论还有其他的方法解x2=4x吗？试一试，并说说你的理论依据。 思考：还有其他的方法解x2=4x吗？试一试，并说说你的理论依据。教师在引导学生解一元二次方程的同时，应重点结合解题过程给出因式分解法的概念：1、当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法。教学中，教师可以针对学生用因式分解法解一元二次方程中常出现的问题引发学生思考：（1）用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;（2）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 根据引入部分内容的探讨，进一步理解解x2=3x还有另一种解法．在活动中让学生自己去类比和发现，经历过程、总结结论，实现学生主动参与探究新知的目的。使学生进一步因式分解的的定义和依据。
[活动3]（1）例1、用因式分解法解方程:(1)(x-1)2-3(x-1)=0 (2)x-2=x(x-2).结合用因式分解法解方程的探究解方程步骤有哪些？及简记歌诀。（2）你能用分解因式法解下列方程吗？（1）x2-4=0; （2）(x+1)2-25=0.例2：用分解因式法解（4）用因式分解法解方程：(1)(x－5)(3x－2)＝10： 例1、用因式分解法解方程: (1)(x-1)2-3(x-1)=0 (2)x-2=x(x-2).教师提出问题，学生小组讨论，左边采用提公因式法分解因式，右边为0。观察思考后进行分析、归纳，得到因式分解法解方程步骤：（1）右化零，（2）左分解（3）两因式，(4)各求解。教师提出问题，学生小组讨论，左边采用平方差公式分解因式右边为0。教师提出问题，学生小组讨论，左边采用平方差公式分解因式，右边为0。 教师引导学生小结：能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例(2)这样的，能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解.教师引导学生小结：用因式分解法解一元二次方程遇到类似例(3)这样的，移项后能利用完全平方公式来直接进行因式分解。 让学生通过用因式分解法解方程: (1)(x-1)2-3(x-1)=0 (2)x-2=x(x-2).观察、分析，总结出因式分解法解一元二次方程的步骤及简记口诀。使学生理解及掌握用因式分解法解一元二次方程步骤产生、形成的过程，逐渐培养学生分类讨论和数形结合的数学思想方法。
[活动4] 结合练习，体会因式分解法与其他解一元二次方程方法区别。 1、填空：(1)方程x2+x=0的根是_____；(2)x2-25=0的根是 ________。 2、下列解一元二次方程的方法对吗 若不对请改正。解方程：方程两边同时除以（x-2）移项，得合并同类项，得3、用因式分解法解下列一元二次方程(1)7x2＝21x；(2)(ｘ＋2)2＝2x＋4；(3)(7ｘ-1)2＝4x2；(4)x2＋8x=－16，(5)3(x-5)2 =2(5-x) 第一个问题：因式分解法解简单的一元一次方程的应用，摸清学生的本节课对知识点的掌握情况。 第二个问题：使学生理解类似于等的方程不能直接去公因式，要考虑到根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。第四个问题：第二个问题：理解运用因式分解法解一元二次方程的几种类型的运用。了解学生会不会灵活解题。
[活动5]课堂小结，布置作业。 教师布置作业，学生课后完成． 首先回顾一下本节课所学内容，进行及时复习巩固．其次通过独立完成作业达到对知识的深入理解．最后再针对本节课的知识点进行自我评价学习效果及反思。
教学反思：
一元二次方程是整个初中阶段所有方程的核心。它与二次函数有密切的联系，在以后将应用于解分式方程、无理方程及有关应用性问题中。一元二次方程的解法——因式分解法，是建立在一元二次方程解法及因式分解的基础上， 因此我采取引导学生复习完解一元二次方程的方法后，让学生讨论x2=3x除了公式法及配方法外还有没有其他的解法，寻找因式分解法解一元二次方程的形式特征，即等号右边必须为零，左边必须为两个一次因式的乘积（不能是加减运算），利用零的特性，将求一元二次方程的解，通过因式分解法，转化为求两个一元一次方程的解。将未知领域转化为已知领域，并根据题目的难度让班上不同层次的学生先上黑板解题，将暴露出来的问题，在全班及时纠正。本节课较好地完成了教学目标，取得较好的教学效果。
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义务教育课程标准实验教材数学 九年级上册
中山市黄圃镇中学 初三数学科组
中山市黄圃镇中学 古洁花
了解分解因式法解一元二次
方程的概念,并会用分解因式法
解某些一元二次方程.
（1）直接开平方法
x2=a (a≥0)
（2）配方法
(x+m)2=n (n≥0)
（3）公式法
2.什么叫分解因式
把一个多项式分解成几个整式乘积
的形式叫做分解因式.
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
3. 解方程：
x2=4x
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
还有其他的方法解x2=4x吗？试一试，并说说你的理论依据。
若A·B=0,则A=0或B=0
分解因式法
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
温馨提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2.根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
(1)(X-1)2-3(X-1)=0 （2)x-2=x(x-2).
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2. 左分解;
3. 两因式
4. 各求解
1.移项，右为零
用分解因式法解方程:
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
（1）x2-4=0; （2）(x+1)2-25=0.
(x+2)(x-2)=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x1=-2, x2=2.
你能用分解因式法解下列方程吗？
[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法
你是否还有其它方法来解
(x+1)2-52=0,
解：x2-22=0,
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
解 移项，得
∴x1=x2=2
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
例3、用因式分解法解下列一元二次方程
(1)(x－5)(3x－2)＝10
(2)
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
解下列方程：
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零, 理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
（1）移项，右边为零；（2）左分解；
（3）两因式； （4）各求解。
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
1、填空：
（1）方程x2+x=0的根是 ；
（2）x2－25=0的根是 。
X1=0, x2=-1
X1=5, x2=-5
　　九年级 上册 　数学　　第二十二章　一元二次方程　　
—— 解一元二次方程—分解因式法
解方程:
解:方程两边都除以 得:
移项得:
合并同类项得:
2、下列解一元二次方程的方法对吗 若不对请改正。
解:移项得:
方程左边因式分解得:
即:
3、用因式分解法解下列一元二次方程
(1)7x2＝21x；
(2)(ｘ＋2)2＝2x＋4；
(3)(7ｘ-1)2＝4x2；
(4)x2＋8x=－16，
(5)3(x-5)2 =2(5-x)
P43 第6题登陆21世纪教育 助您教考全无忧
九年级上册第22章《一元二次方程》教材分析
黄圃镇中学 初三数学科组
1、 教学目标：
1、 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型。
2、 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力。
3、 了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法，公式法，分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数），并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。
4、 经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力。
二、知识结构框图
三、内容及课时安排
22.1 一元二次方程 1课时
22.2.1 解一元二次方程—配方法（1） 1课时
22.2.1 解一元二次方程—配方法（2） 1课时
22.2.2（1）解一元二次方程—公式法 1课时
22.2.2（2）一元二次方程的根的判别式 1课时
22.2.3 解一元二次方程—因式分解法 1课时
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1课时
22.3 实际问题与一元二次方程 2课时
小结与复习 2课时
单元测评 1课时
评测验卷 1课时
四、学法教法建议
22.1 一元二次方程 注意：
1、强调一元二次方程是整式方程，不能是分式方程。
2、一般形式： 指出a为什么不能等于0，如果有缺项，其系数等于0，如： 则一次项系数b=0。
3、求二次项系数，一次项系数和常数项时，要把方程化简成一元二次方程的一般形式后，才能求。
22.2.1 解一元二次方程—配方法 注意学生会出现的问题：
1、在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。
2、在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。
3、当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。
因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。
22.2.2（1）解一元二次方程—公式法 注意：
1、会用公式法的前提是会求出判别式的值，只有非负值时，方程才有实数解
2、用公式法前，一定要注意将方程准确地化成一般形式
3、二次根式的化简没有过关的话，在化简方程的解时会碰到很大困难，要适时复习
4、此法适用于二次项系数不为1的方程。
22.2.2（2）一元二次方程的根的判别式 注意：
1、已知方程的根的情况，求字母系数的取值范围，要求不等式要过关
2、用根的判别式解题，一定要保证二次项系数不为0。
3、在证明方程根的情况时，切忌一下笔就写等，一定要教会学生逆向思维思考问题。
22.2.3 解一元二次方程—因式分解法 注意：
1、并不是每个方程都适用因式分解法，要教会集中基本题型，一看题就知道方法
2、复习好因式分解很重要
3、要强调好用因式分解，左边是积的形式，右边一定是零。
4、谨防漏根，这种方法学生最易错误“约分”
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 注意：
1、要教会学生判断什么时候适用根与系数的关系
2、要教会学生几种两根和与积的变形，比如平方和、倒数和等
3、逆向思维要训练好，已知有关两根的关系，得出字母系数的相关值，注意保证好二次项系数不能为零，这个陷阱很容易忽略
22.3 实际问题与一元二次方程 注意：
1、课本例题教难时，可以自行换例题，等学生熟练此类题型后再加深
2、教学时重分析、重列方程，解方程不要在课堂上花太多时间
3、单循环、双循环问题，基本图形的面积问题，数字问题，书中没有提供例题，我们要补充好再让学生进行习题的训练
《一元二次方程》教学模式
1、 课前复习（上节课的重点内容或与本节课有关系的预备知识回顾）
2、 引入与探索（学生为主，得出结论后老师总结）
3、 例题讲解（学生先思考，老师规范解题过程）
4、 课堂巩固（学生练习，展示，讨论）
5、 小结与作业（知识点与方法小结，配套练习有本节巩固、挑战练、循环练）
实际问题
数学问题
设未知数，列方程
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
解 方 程
降
次
实际问题的答案
检验
数学问题的解
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22.2.5 因式分解法解一元二次方程
配套练习
1、用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 ____________和__________求解。
2、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c=____，该方程的另一根为_____， 该方程可化为（x -1）（x____）=0
3、用因式分解法解下列方程：
（1）x2－5x ＝0 (2)（3x+2）2-4x2=0；
(3)（x+2）2=3x+6； （4）（2x-1）2=（3-x）2
（5）（2x－3）（3x＋1）－65＝0
【挑战】
4．已知关于的方程。
（1）当为何值时，方程有一根为0？并求出这时方程的另一个根。
（2）当为何值时，方程的两根互为相反数？并求出这时方程的解。
【循环练】
5、解方程：
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