资源简介

(共74张PPT)
计数的基本原理
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
组合数的
两个性质
应用
本章知识结构
1.分类加法计数原理
完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=① 种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
N=② 种不同的方法.
m1+m2+m3＋…+mn
m1·m2·…·mn
一、两个原理
3.分类和分步的区别
分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可，只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．
N=m1×m2×m3=90．
N=3×5＋3×6＋5×6=63．
一、两个原理
练习2： 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：
第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；
第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；
第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是 N=4×5×5=100．
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法数
例1
（1）现要排一份５天的值班表，每天有一人值班，共有５人，每人可以多天值班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有 种不同排法.
1280
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步完成.第一天有5人可选，有5种排法，第二天不能用第一天的人，有4种排法，同理，第三天、第四天、第五天也有4种，故由分步计数原理排值班表共有5×4×4×4×4=1280种，应填1280.
一、两个原理
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11
(x、y∈Z)，构成三角形，则x+y≥12，当y取11时，x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有1个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故选C.
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边长为11,则这样的三角形的个数有( )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
C
（1）是分步问题，用分步计数原理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
一、两个原理
从n个不同的元素中，任取M个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出M个元素的一个 排列 。
二、排列与排列数
所有排列的个数叫做 排列数 ，用
表示。
(3)排列数计算公式.
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤ (其中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为全排列，记
=1·2·3·…·(n-1)·n=n!(称为n的阶乘)；
(ⅱ)规定0!＝1.
二、 排列与排列数
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个不同元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
所有组合的个数叫做组合数,用符号 表示.
组合与组合数
(3)组合数计数公式.
=⑥ =⑦ .
=⑧ .
规定 =1.
(4)组合数的两个性质.
(ⅰ) = ;
(ⅱ) = + .
组合与组合数
排列与组合的共同点是“从n个不同元素中，任取m个不同元素”；而不同点是排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“只需组成一组（与顺序无关）”.因此，“有序”与“无序”是排列与组合的重要标志.⑨“ ”为排列问题,⑩“ ”为组合问题.
有序
无序
排列与组合的区别
题型二 排列、组合数方程问题
例2
解下列方程：
(1) =140 ;
(2) = + + .
(1)根据排列的意义及公式得
4≤2x+1
3≤x
(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
x≥３
(4x-23)(x-3)=0,
解之并检验得x=3.
则有
(2)由组合数的性质可得
+ + = + +
= + .
又 = ,
所以 = + ,
即 + = + ,
所以 = ，
所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
凡遇到解排列、组合的方程,不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的计算公式进行变形与化简，并注意有关解排列、组合的方程、不等式问题，最后结果都需要检验.
题型三 结合两个计数原理求排列、组合问题的方法数
例3
用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数：
(1)比21034大的偶数；
(2)左起第二位、第四位是奇数的偶数.
(1)（方法一）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2, + =6(个);
当末位数字是0,而首位数字是3或4,有 =12(个);
当末位数字是2,而首位数字是3或4,有 =12(个);
当末位数字是４,而首位数字是2,有 + =3(个);
当末位数字是4,而首位数字是3，有 =6(个).
故有6+12+12+3+6=39(个).
(方法二)不大于21034的偶数可分为三类：
1为万位数字的偶数，有 =18(个);
2为万位数字，而千位数字是0的偶数，有
=2(个);
还有21034本身.
而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有
+ =60(个).
故满足条件的五位偶数共有
60- - -1=39(个).
(2)（方法一）可分两类:
0是末位数，有 =4（个）；
２或４是末位数，有 =4(个).
故共有4+4=8(个).
(方法二)第二位、第四位从奇数1，3中取，有 个;首位从２,４中取，有 个；余下排在剩下的两位，有 个,故共有
=8(个).
不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，常见的附加条件有：奇偶数、位数关系及大小关系等，也可有相邻问题、不相邻问题等，解决这类问题的关键是搞清受限条件，然后按特殊元素（位置）的性质分类.这类问题有0参与时，不可忽视它不能排在首位的隐含条件.
为了参加学校的元旦文艺会演，某班决定从爱好唱歌的４名男同学和５名女同学中选派４名参加小合唱节目，如果要求男女同学至少各选派１名，那么不同的选派方法有多少种？
(方法一)按选派的男同学的人数分三类：
①选派一名男同学，三名女同学有 · ＝40种方法；
②选派两名男同学，两名女同学有 · ＝60种方法；
③选派三名男同学，一名女同学有 · ＝20种方法；
由分类计数原理，共有不同的选派方法有40+60+20=120种.
(方法二)在这九名同学中任选四名，有
=126种方法.其中四人都是男同学的有 =1种方法；四人都是女同学的有 =5种方法，因此符合要求的选派方法有126-1-5=120种.
有限制条件的组合应用题的限制条件主要表现在被选出的元素“含”或“不含”某些元素，或是“至少”“至多”等类型的组合问题，对于这类组合应用题解题的总体思路为：
(1)用直接法.
一般是从整体分类，然后再局部分步.对于较复杂的从若干个集合里选元素的问题，首先应以其中一个集合为基准进行分类（当然，为了使类别尽量少，这个集合里的元素较少为好），
分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是全集，任意两类的交集是空集，在合理正确分类的前提下，在每一类中，依据题目的要求进行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互独立.
(２)用间接法.
当正面求解较为困难时，也可采用正难则反的思想，用“间接法”求解，但要注意找准对立面.
球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分.欲将此１0个球中的4个球击入袋中，但总分不低于5分，则击球方法有几种？
能力提高
设击入黄球x个,红球y个符合要求,
x+y=4
2x+y≥5
x,y∈N*,
x=1 x=2 x=3 x=4
y=3, y=2 , y=1 , y=0.
故共有不同击球方法数为
+ + + =195.
则有
解得
本题需运用不等式的知识，确定击入黄球与红球的个数，有时则需利用集合的运算等知识，确定相关元素的个数，再利用排列或组合的知识解决方法种数问题.
1.解决应用题时，应分析：①要完成做一件什么事；②这件事怎样做才可以做好；③需要分类还是分步.运用分类计数原理和分步计数原理，关键在于①②两方面，认真分析题意，设计合理的求解程序是求解问题的关键.
1.解决应用题时，应分析：①要完成做一件什么事；②这件事怎样做才可以做好；③需要分类还是分步.运用分类计数原理和分步计数原理，关键在于①②两方面，认真分析题意，设计合理的求解程序是求解问题的关键.
2.如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，即类与类之间是相互独立的，即分类完成，则选用分类计数原理；如果完成一件事要经历几个步骤（即几步），且只有当这些步骤都做完，这件事才能完成，即步与步之间是相互依存、相互连续的，即分步完成，则选用分步计数原理.
3.排列与组合的本质区别在于排列不仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取出一组即可，与顺序无关.
4.注意排列数公式、组合数公式有连乘形式与阶乘形式两种，
公式 =n(n-1)·…·(n-m+1),
= 常用于计算,
而公式 = , = 常用于证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置
先排末位共有___
然后排首位共有___
最后排其它位置共有___
由分步计数原理得
=288
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
一.特殊元素和特殊位置优先策略
7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
练习题
解一：分两步完成；
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置
第二步排其余的位置：
解二：第一步由葵花去占位：
第二步由其余元素占位：
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要
求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再
按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法.
甲
乙
丙
丁
由分步计数原理可得共有
种不同的排法
=480
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时
要注意合并元素内部也必须排列.
某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ）
练习题
20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
有 种，
第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 不同的方法
由分步计数原理,节目的
不同顺序共有 种
相
相
独
独
独
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）
30
练习题
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多
少不同的排法
解:
(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列
问题,可先把这几个元素与其他元素一起
进行排列,然后用总排列数除以这几个元
素之间的全排列数,则共有不同排法种数
是：
（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外
的四人就坐共有 种方法，其余的三个
位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种
方法
1
思考:可以先让甲乙丙就坐吗
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有
多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配
到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究
对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排
各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限
制地安排在m个位置上的排列数为 种
n
m
六.环排问题线排策略
例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成
圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从
此位置把圆形展成直线其余4人共有____
种排法即
A
B
C
E
D
D
A
A
B
C
E
（5-1)！
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在
前排,丁在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以
把椅子排成一排.
先在前4个位置排甲乙两
个特殊元素有____种,再排后4个位置上的
特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置
上任意排列有____种,则共有_________种.
前排
后排
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,
每盒至少装一个球,共有多少不同的装
法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有__种方法.再把4个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.
根据分步计数原理装球的方法共有_____
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本
的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似
吗
练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人
现从中选4人完成四种不同的任务,每人
完成一种任务,且正副班长有且只有1人
参加,则不同的选法有________ 种
192
解排列组合问题的基本思路：
（1）分类计数原理与分步计数原理的运用；
（2）将实际问题抽象为排列问题或组合问题或排列组合综合问题;
（3）对于带限制条件的排列问题，通常考虑元素分析法、位置分析法、间接法;
（4）对于组合问题应注意：①对组合问题恰当分类；②“直接法”与“间接法”的运用；③合理设计分组方案。
解排列组合问题应遵循的三大原则：
先特殊后一般，
先组后排，
先分类后分步
解排列组合问题的常用策略：
（1）相邻问题－－“捆绑法”
（2）不相邻问题－－“插空法；”
（3）某些元素顺序一定，应用除法处理策略；
（4）分排问题直排处理；
（5）构造模型策略；
（6）穷举法，即将所有满足条件的排列一一列举；
（7）等价转换，即将陌生复杂问题转换为熟习简单的问题。
考点1：组合、二项式公式的变形、推导
D
高考真题再现
1或3
【点评】本题的关键在于不要遗漏情况，根据组合数的性质！
高考真题再现
D
适当时可以试着使用特殊值法
高考真题再现
B
高考真题再现
高考真题再现
【点评】本题看似是捆绑问题，需要注意的是位置捆绑没有排列数，另外捆绑后结合插入法会使问题简化。
二项式定理
1． 知识梳理
（1）二项式定理：
其通项是
知4求1，如：
特别地：
（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，
其中，
是二项式系数。而系数是字母前的常数。
即：
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即。
③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于
即
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即
（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式,如证明：
取
的展开式中的四项即可。
2．重点难点: 二项式定理和二项展开式的性质。
3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用
。
4．特别注意: ①二项式的展开式共有n+1项，
是第r+1项。
②通项是 （r=0,1,2,……,n）中含有 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。
③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求 的近似值。
一、求通项-高考真题再现
【点评】
知4求1，如：
一、求通项-高考真题再现
二项式系数公式牢固掌握
一、求通项-高考真题再现
【点评】本题的问题在于求解第七项的通项写准确，解简单的指数方程，再求数列的前N项和的极限。
一、求通项-高考真题再现
1
【点评】本题的陷阱你躲开了吗？注意：按照二项展开式应该是x的降幂排列，而题目中给定的系数是升幂的，所以系数应该是倒向排列的，或者直接干差顺序a3对应的应该是x3项，进而求解得到a的取值，赋值x=1，得到结果。
二、求二项系数和系数的关系-高考真题再现
2或14
【点评】结合等差数列做解，你排除2的情况了吗？注意这里求得是参数a，而不是n的范围。
二、求二项系数和系数的关系-高考真题再现
6
二、求二项系数和系数的关系-高考真题再现
【点评】本题考查二项式系数的 增减性与最值，并结合等比数列倍数来考查，注意可用列举法解答。
三、二项系数的单调性和最值-高考真题再现
【点评】本题考查二项式系数的 增减性与最值，奇数次应该有偶数项，中间两项绝对值最大。
三、二项系数的单调性和最值-高考真题再现
2004
四、赋值法求和-高考真题再现
B
【点评】本题用赋值法求解，注意符号的变化，小心不要漏项，这是做这类题的关键！
四、赋值法求和-高考真题再现

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