资源简介

导数应用常见错误例析与探究
重庆市江北中学校（400714） 冯霞 徐云军（13527593182）
新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用一直是高考试题的重点和热点之一。经课前准备和课后调查，发现学生在导数的应用中疑点较多，本文对几类常见问题进行剖析和探究，以期引起大家的注意。
问题⑴：若为函数f(x)的极值点，则= 0吗？
答：不一定,缺少一个条件(可导函数)。反例：函数在处有极小值，而不存在。
正确的命题是：若为可导函数f(x)的极值点，则= 0。
问题⑵：若= 0, 则函数f(x)在处一定有极值吗？
答：不一定。反例：函数有= 0，而f(x) 在处没有极值。 正确的命题是：若= 0,且函数f(x)在处两侧的导数值符号相反，则函数f(x)在处有极值。
问题⑶：在区间上的可导函数f(x)，>0是函数f(x)在该区间上为增函数的充要条件吗？
答：不一定。反例：函数 在上为增函数，而= 0。
正确的命题是：（函数单调性的充分条件） 在区间上，>0是f(x)在该区间上为增函数的充分而不必要条件。（函数单调性的必要条件）函数f(x)在某区间上可导，且单调递增，则在该区间内0。
另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学（数学分析）上函数单调性的概念不一致。数学分析上函数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。
问题⑷：单调区间应写成开区间还是写成闭区间？
答： 若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。
问题⑸：“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有区别吗？
例1（人教社高中数学第三册第123页例3）：已知曲线上一点P（2，）。 求点P处的切线方程。大多数学生能迅速找到解题思路，并得到正确结果：。
变式： 已知曲线上一点P（2，）。求过点P的切线方程。
解：设切点为Q,则切线的方程为又点P在切线上，所以 整理，得 。所以 于是 切线的方程为，。
小结：“曲线在点P处的切线”只有一条，且P为切点；“曲线过点P处的切线”有两条,P不一定是切点。在高三数学复习中，用好课本，尤其是课本例题更为重要，能总结出一些有规律性的东西，可使学生在复习时既有熟悉感又有新奇感，从而提高认识的深度。
问题⑹：过一点P作曲线的切线有几条？
探究1：过曲线上一点P作曲线的切线有几条？
解：设切点为Q, 则切线的方程为。又点P在切线上，所以 整理，得①，因为切线的条数等于关于t的方程① 的不同实根的个数，所以：过曲线上一点P引直线与曲线相切，当时，切线只有一条；当时，切线有两条。
探究2：过曲线外一点P作曲线的切线有几条？（）
解：设切点为Q,则切线的方程为又点P在切线上，得整理，得②。
下面讨论关于t的方程 ② 的不同实根的个数：
令= 则 ==，当时，0 ，则在R上单调递增，易知方程②有唯一实根。所以，过点P的切线只有一条。当时，令=0 得 t=0, t=，所以t=0与 t=是函数的两个极值点。下面讨论：
当时， 为极大值，为极小值。 从而由图象可得：当 或时，方程②有唯一实根，过点P的切线只有一条；当时，方程②有两个不同的实根，过点P的切线有两条；当 且时，方程②有三个不同的实根，过点P的切线有三条。
当时， 为极小值，为极大值。从而由图象可得：当 或时，方程②有唯一实根，过点P的切线只有一条；当时，方程②有两个不同的实根，过点P的切线有两条；当 且时，方程②有三个不同的实根，过点P的切线有三条。
小结：过曲线外一点P引直线与曲线相切。当时，过点P的切线只有一条；当时，过点P的切线可能有一条、两条和三条。
问题⑺：曲线和它的切线只有一个公共点吗？
解：设切点为Q,则切线的方程为，代入曲线消去y，得，整理得 ③，由于切线与曲线的交点的个数等于关于x的方程③的不同实根的个数。因此 当 t= 0时，切线与曲线有唯一交点；当 t0时，切线与曲线有两个不同的交点。
评注：从而加深了对切线新概念（切线是割线的极限位置）的理解，也纠正了对切线的一些偏面认识。
问题⑻：忽视函数的定义域，容易致错，也给解题带来很大困难。
例2：求函数的单调递增区间。
错解： ， ，所以 ， 所以单调递增区间是和。
正解：因定义域为 ，所以是正数。于是 所以 单调递增区间是。
评注：这种类型的题目在高三总复习中常常见到，也是学生常犯的错误之一。函数的单调性是函数性质的核心，是高考必考内容，强调求函数的单调区间时，不忘求定义域，还要先求定义域，从而达到化繁为简，事半功倍的效果。
问题⑼：用导数解含参数的函数在某区间上的单调性问题。
例3：若函数 在内单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D. .
错解： 因为 在内单调递减，所以 在上恒成立，即 恒成立。因此 ，选C。
正解： 因为 在内单调递减，所以 在上恒成立 ，即 恒成立。因此 ，选A。
评注：这种类型的题目是高考试题的重点和热点，也是学生常见的错误之一。出错的原因在于没有搞清楚函数单调性的充分条件与必要条件之间的关系；没有正确理解“教科书第三册第139页[1]中函数单调性的充分条件”的含义。其实这一节教科书也没有讲清楚。
经探讨得到以下结论：一般地，设函数 在某个区间内可导，则，且方程的解是离散的是f(x)在该区间上为增函数的充要条件; ，且方程的解是离散的是f(x)在该区间上为减函数的充要条件。
对上述“方程的解是离散的”, 笔者认为：部分教师讲 不恒等于零; 有的教辅资料著函数在个别点的导数等于零，这些讲法都欠妥，换言之，方程的解是离散的才恰到好处。 另外，一般的，在高考试题中考查含参数的函数在某区间上的单调性问题，不会存在使方程在某个区间内有连续解的情况。
问题（10）：对导数的定义理解不清致错。
例4：已知函数，则
Ａ.－１ B. 0 C. D. 2
错解：，从而选Ａ；或。
正解：,从而应选Ｃ。
评注：=,函数在某一点x0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是－2，等。在导数定义中应特别注意“”与“”的对应形式的多样性，但不论哪种形式都应突现“”与“”的一致性。
问题（11）：对“连续”与“可导”定义理解不清致错。
例5：函数y=f(x)在x=x0处可导是函数y=f(x)在x=x0处连续的（　 ）
Ａ.充分不必要条件 B.必要不充分条件　Ｃ.充要条件　Ｄ.既不充分也不必要条件
错解： 认为“连续”与“可导”是同一个概念而错选Ｃ。或者对充分、必要条件的概念不清而导致错选Ｂ。
评注：防错关键是（１）理清充分、必要条件的概念；（２）函数y=f(x)在x=x0处可导必在x=x0处连续，函数y=f(x)在x=x0处连续不一定在x=x0处可导。如函数在x=０处连续但在x=０处不可导。在x=０处连续，当时，的左右极限不相等，所以其极限不相等，因此函数在x=０处不可导。从而本题应选Ａ。
问题（12）：没有考虑函数在某点不可导致错。
例6：求f(x)=在[－1，3]上的最大值和最小值。
错解：由题意得= ，令=0得x=1。当x=－1和3时，函数的最大值是，当x=1时，函数的最小值是1。
评注：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得.所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为：x1=0,x2=2 ，f(0)=0 ,f(2)=0，当x=－1和3时，函数的最大值是，当x=0或2时，函数的最小值是0。事实上只要作出函数f(x)的图象就不难发现当x=0或2时，函数的最小值是0。当x=－1和3时，函数的最大值是。
高三数学总复习中，内容多，范围广，题量大，善于总结和反思对学生的学和老师的教都颇有益处。以上总结，仅为笔者教学之心得，诚请各位同仁赐教。

展开更多......

收起↑