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第15章第1课时 同底数幂的乘法 教学设计
学习目标 1、经历探索同底数幂相乘找出底数、指数的规律、由一般归纳得出同底数幂的乘法的表达式及语言表述。2、熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算。
学习重点 利用同底数幂的乘法法则进行计算。
学习难点 利用同底数幂的乘法法则进行计算及法则的逆向应用。
教学过程设计
教学过程 师生互动 设计意图
知识回顾求几个相同因数积的运算叫____.a其中a叫做____，n叫做____ ，a叫做____，a表示____。 学生回答：让学生完成填空，纠正完善答案。 让学生复习乘方的定义，同时为新课打基础。
(1)2表示_____________;(2)10×10×10×10可以写成____;(3) a的底数是__,指数是__;(4) 的底数是___,指数是__;(5)的底数是___,指数是__;(6) -的底数是___,指数是__. 让学生完成，上课时开展小组合作交流的学习方式，纠正完善答案，再全班交流。 通过复习乘方的定义的应用，为新课打基础。
二、情景导入(1)×＝( ) ×( )＝　　　＝2（ ）(2)×＝( ) ×( 　　) ＝　　 ＝（ ）(3) ×＝( ) ×( 　)＝　　　　　　　＝a( )(m、n都是正整数) 学生独立思考，讨论交流。教师深入小组参与活动，观察指导学生的探索方法，并倾听学生的讨论。让小组派一个代表发言，说出各组式子的共同之处，并归纳出同底数幂的乘法法则。 通过精心设计的几组的同底数幂乘法的计算，让学生观察并总结出同底数幂乘法法则，进一步培养学生的概括能力和合情推理能力。 为学生提供一种新的学习方式。
同底数幂的乘法法则：a · a= a (当m、n都是正整数)同底数幂相乘，底数　　，指数　　。条件：①乘法 ②同底数幂　结果：①底数不变 ②指数相加知识推广：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也有这种性质呢？a · a · a=a （m、n、p都是正整数） 教师要注意的问题：（1）对学生回答的问题时语言的准确性。（2）注意引导学生总结出同底数幂的乘法法则。（3）学生能否解决问题及方法如何。学生以组为单位进行整理，对所探究的问题给出结论。 引导发现法培养学生类比推理能力，尝试指导法逐步培养学生独立思考能力及语言表达能力。充分发挥学生的主体作用，使学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。
三、自我检测 学生课上独立完成。让学生在自我测试这个环节中，对所学知识加强巩固。 布置与所讲内容相对应的练习题，不仅有利于巩固知识，使学生感到学数学是课堂是一个延续过程。同时能提高学生用数学知识解决实际问题的能力。
四、例题讲解（1） － a· a ； （2） x · x·x（3）(-x)· (-x) (4) y · y（m为正整数）（5）(x+y) · (x+y) 老师分析思路，让学生板书过程，教师对学生出现的问题要进行指导。 获得学生反馈信息。作为后面教学和方法适当调整的依据。
五、小结1.同底数幂相乘，底数不变,指数相加.2.解题时,是什么运算就应用什么法则.3.－ a的底数是a,而不是-a.4.公式中的底数a可以是单项式,也可以是多项式.如果是多项式,要把它看成一个整体进行计算. 回顾本节所讲的内容，明确自己的收获或疑惑的地方，针对不足的地方，与教师同学交流自己的疑惑，寻求帮助解决疑惑。培养学生克服困难的自信心、意志力，并获得成功的体验。 学生回顾本节所讲的法则，不但能反馈学生对知识的理解掌握情况，同时也能培养学生的归纳能力，进而深化本节的法则。让学生在轻松愉悦的气氛中回顾本节课学习的知识和掌握的技能，体会收获的喜悦。
六、知识拓展1.口答:下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？（1）b· b= 2b（ ） （2）b + b = b （ ）（3）x ·x = x ( ) （4）y +2 y =3y ( )（5）c · c = c ( ) （6）m + m= m ( ) 2.填空：（1）x ·（ ）=　x （2）a ·（ ）=　a（3）x · x（ ）= x （4）x ·（　 ）＝ｘ3.填空：（1） 8 = 2，则 x = ；（2） 8× 4 = 2，则 x = ；（3） 3×27×9 = 3，则 x = .4.公式逆用:a =a · a (当m、n都是正整数)已知：a=2，a=3.求a解: a =a · a=2*3=6七、学习体会知识：a · a= a (当m、n都是正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加。方法：“特殊→一般→特殊” 学生反馈练习；教师布置课堂练习，先让学生独立完成。学生独立思考，教师个别辅导； 师生共同评价，规范格式，根据学生掌握的情况讨论、订正，并总结方法。学生自我总结，老师加以点评。 对不同层次学生提出不同的要求。 了解学生学习的效果，让学生经历解决问题的过程，给学生以获得成功体验的空间，激发学生的求知欲望。学生总结出经验和教训，有所收获。师生之间相互加以完善。培养学生克服困难的自信心、意志力，并获得成功的体验。
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21世纪教育网精品教学课件
云衢中学初二备课组
a
n
指数
幂
= a·a· … ·a
n个a
底数
求几个相同因数积的运算叫____.
知识回顾
乘方
回顾· 热身
(1)2 表示_____________;
5
(2)10×10×10×10可以写成____;
(3) a的底数是__,指数是__;
(4)(a+b) 的底数是___,指数是__;
3
(5)(-2) 的底数是___,指数是__;
4
(6) -2 的底数是___,指数是__.
4
2×2×2×2×2
10
4
a
1
a+b
3
-2
4
2
4
第15章 整式的乘除
第一课时
同底数 的乘法
mì
幂
思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？
(1) 25×22 ＝( 　 ) ×( 　　 )
＝　　　　　 　 　＝2( )
(2) 3× 2 ＝( 　 ) ×( 　　　　 )
＝　　 　　　　　＝ ( )
(3) ＝( 　 　 ) ×( 　　　　　 )
＝　　　　　　　＝a( 　　 )
2×2×2×2×2
2×2
2×2×2×2×2×2×2
7
5
情景导入
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
同底数幂相乘，
底数　　，指数　　。
不变
相加
同底数幂的乘法法则：
如 1014×103=
1014+3
=1017
条件：①乘法 ②同底数幂　
结果：①底数不变 ②指数相加
想一想：当三个或三个以上同底数 幂相乘时，是否也有这种性质呢？
am · an · ap
=am+n+p
（m、n、p都是正整数）
快速抢答：
口答：
1
=-8
例1.计算：
（1） － a2 · a6 ； （2） x · x 2·x 3
解：（1） 原式 = －a2+ 6
（4）原式 = y3m +2m—1
（3）(-x)· (-x)3 (4) y3m · y2m—1（m为正整数）
（2）原式 = x1 +2+3
（3）原式 = (-x)1+3
= y5m—1
= (-x)4
= x6
=－a8
= x4
想一想
(x+y)3 · (x+y)4
解:
(x+y)3 · (x+y)4 =
am · an = am+n
公式中的a可代表单项式,也可以代表多项式.
(x+y)3+4 =(x+y)7
点金帚
2.解题时,是什么运算就应用什么法则.
3.－ a2
的底数是a,而不是-a.
4.公式中的底数a可以是单项式,也可以是多项式.如果是多项式,要把它看成一个整体进行计算.
底数不变,指数相加.
如:
a
3
a
3
+
=2
a
3
a
3
a
3
·
=
a
6
1.同底数幂相乘，
口答:
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）b5 · b5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10 （ ）
（3）x5 ·x2 = x10 ( ) （4）y5 +2 y5 =3y10 ( )
（5）c · c3 = c3 ( ) （6）m + m3 = m4 ( )
m · m3 = m4
b5 · b5= b10
b5 + b5 = 2b5
x5 · x2 = x7
y5 + 2 y5 =3y5
c · c3 = c4
×
×
×
×
×
×
　填空：
（1）x6 ·（ ）=　x 9 （2）a ·（ ）=　a6
（3）x · x3（ ）= x7 （4）xm ·（　 ）＝ｘ3m
x3
a5
x3
ｘ2m
？？？
灵活应用
填空：
（1） 8 = 2x，则 x = ；
（2） 8× 4 = 2x，则 x = ；
（3） 3×27×9 = 3x，则 x = .
3
5
6
23
23
3
25
36
22
×
=
33
32
×
×
=
解:am+n = am·an
公式逆用:
已知：am=2， an=3.
求am+n.
逆向转换
=2×3
=6
1.已知:a5=7;a3=16.则a8=（ ）
2.已知2m=a，2n=b,(m,n都是正整数).则2m+n=( )
112
ab
逆向转换
a8=
a5+3
=a5.a3
=7×16
=112
7个金蛋每组可以任选一个,如果出现“恭喜你”的字样，你将直接过关，得5分;否则将有考验你的数学问题,如果答对得10分，答错扣5分。
二（5）班同学们, 大家好!
快乐之旅
1
2
3
4
5
6
7
恭喜你，过关了！
1
恭喜你，过关了！
2
3
2×24×23=____.
2
8
4
xm·x3m+1=________.
x
4m+1
我能行
5
(x-y) (x-y)
2
3
=_________
(x-y)
5
我能行
6
-x ·(-x) =________
2
5
x
7
我能行
7
判断:
(1)x3·x5=x15 ( ) (2) x·x3=x3 ( )
(3) x3+x5=x8 ( ) (3)x2·x2=2x4 ( )
×
×
×
×
同底数幂相乘，　
底数　　 指数　
am · an = am+n (m、n正整数)
小结
我的收获
知识　
　　方法　
　“特殊→一般→特殊”
　 例子 公式 应用
不变，
相加.
拓展性
广泛性
可逆性
灵活性
谢谢大家
作业:P142练习
2.计算: (-2)2006 - 22007
=22006 – (2×22006) =22006(1-2) =22006(-1) =-22006
自我挑战
解:原式登陆21世纪教育 助您教考全无忧
云衢中学师生共用讲学稿
第15章第1课时同底数幂的乘法
年级：八年级 科目：数学 执笔：丹丹 初审： 李容好
内容：同底数幂的乘法 课时 第1课 课型：新授 终审：
讨论时间：2010年 12 月19 日 使用时间： 年 月 日
学习目标：
1、经历探索同底数幂相乘找出底数、指数的规律、由一般归纳得出同底数幂的乘法的表达式及语言表述。
2、熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算。
学习重点：
利用同底数幂的乘法法则进行计算。
学习难点：
利用同底数幂的乘法法则进行计算及法则的逆向应用。
1、 知识回顾
求几个相同因数积的运算叫____.a其中a叫做____，n叫做____ ，a叫做____，a表示____。
(1)2表示_____________; (2)10×10×10×10可以写成____;
(3) a的底数是__,指数是__; (4) 的底数是___,指数是__;
(5)的底数是___,指数是__; (6) -的底数是___,指数是__.
二、情景导入
(1)×＝( ) ×( )＝　　　＝2（ ）
(2)×＝( ) ×( 　　)＝　　 ＝（ ）
(3) ×＝( ) ×( 　)＝　　　　　＝a( ) (m、n都是正整数)
同底数幂的乘法法则：
a · a= a (当m、n都是正整数)
同底数幂相乘，底数　　，指数　　。
条件：①乘法 ②同底数幂　
结果：①底数不变 ②指数相加
知识推广：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也有这种性质呢？
a · a · a=a （m、n、p都是正整数）
三、自我检测
四、例题讲解
（1） － a· a ；
（2） x · x·x
（3）(-x)· (-x)
(4) y · y（m为正整数）
（5）(x+y) · (x+y)
五、小结
1.同底数幂相乘，底数不变,指数相加.
2.解题时,是什么运算就应用什么法则.
3.－ a的底数是a,而不是-a.
4.公式中的底数a可以是单项式,也可以是多项式.如果是多项式,要把它看成一个整体进行计算.
六、知识拓展
1.口答:
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）b· b= 2b（ ）
（2）b + b = b （ ）
（3）x ·x = x ( )
（4）y +2 y =3y ( )
（5）c · c = c ( )
（6）m + m= m ( )
2.填空：
（1）x ·（ ）=　x
（2）a ·（ ）=　a
（3）x · x（ ）= x
（4）x ·（　 ）＝ｘ
3.填空：
（1） 8 = 2，则 x = ；
（2） 8× 4 = 2，则 x = ；
（3） 3×27×9 = 3，则 x = .
4.公式逆用:
a =a · a (当m、n都是正整数)
已知：a=2，a=3. 求a
解: a =a · a=2*3=6
七、学习体会
知识：
a · a= a (当m、n都是正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
方法：“特殊→一般→特殊”
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第15章第1课时 同底数幂的乘法 反思与建议
本节课的重点是让学生经历探索同底数幂的乘法这一规律（性质）的过程，然后理解其运算性质，并能利用这一性质解决一些与同底数幂的乘法有关的实际问题。从课堂发言和练习来看，学生在探究其性质时，推理能力和有条理的符号表达能力得到了一定发展。
本节课采取了探究性教学，很好的运用这种教学模式的教学程序，即“知识回顾 、情景导入 、拓展应用”。并对每一个过程都进行了深入研究，教师课前精心设计探究计划，选择和组织恰当的教学材料；在指导教学过程中，把注意力集中在学生身上，不停地做出各种判断，激发和鼓励学生的学习探究；提问不仅有序、有提示、有鼓励、有启发、问在有疑之处.
学生在自主、合作探究例1的第（3）小题时，出现了多种算法，我都及时地给予了肯定。数学练习中x3＋x3=x6计算是否正确？还是有少部分学生认为正确，对于出现这种错误的原因，我进行了较全面的剖析。不少学生将幂的意义（几个相同数的乘法）与乘法的意义（几个相同数的加法）混淆，时常会出现类似的错误，这一结论就是提醒我要经常让学生自己不断回顾幂的意义，以达到纠正其错误的能力。
为了满足不同层次的学生，我设计了一道智力大冲浪：已知am=2，an=3，求am＋n。其实这道题是逆用同底数幂的乘法这一性质，也就是本题是培养学生逆向思维的数学素材，在教学中我抓住这一有利契机。对于少部分学生应采用渗透后强化，这样做是承认学生的个性差异。
本节课学生应注意以下几点：（1）指数相加而不是相乘 （2）负数、分数乘方加括号（3）法则逆用要灵活（4）指数不写是1。
总之，一节课45分钟不能求全、求难，而是要关注所有学生对基础知识掌握情况，这样的教学才扎实，学生学的才牢靠。
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第十五章　“整式的乘除与因式分解”整体规划
本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识。
　　本章共安排了4个小节，教学时间需13课时
　15．1 整式的乘法 4课时
　15．2 乘法公式 2课时
　15．3 整式的除法 2课时
15．4 因式分解 3课时
　数学活动
　小结 2课时
　　一、教科书内容和课程学习目标
　　（一）本章知识结构框图

　　（二）内容
　　本章共包括4节
一：整式的乘法
　　整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
　　在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。
二： 乘法公式
　　本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。
　　乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。接着，在第一小节安排了平方差公式的教学，教科书首先安排了下一个“探究”栏目，安排了3个题目，让学生通过计算，总结三个题目结果的共同点，发现其中的规律。接着，教科书推证了平方差公式，并进一步借助于几何图形对公式作了直观解释，让学生能更好地理解此公式。最后，举例说明运用平方差公式进行有关的计算。第二小节教科书设计了与第一小节类似的教学过程，引进了乘法的完全平方公式。
　　为了满足整式运算的需要，在本小节引进了添括号法则，这也是很重要的整式运算知识。
三： 整式的除法
　　整式的除法也是整式四则运算的重要组成部分。本节也分为两个小节。同底数幂的除法是学习整式除法的基础和关键，因此教科书在第一小节中首先介绍同底数幂除法的性质。对于同底数幂除法，这里只先讨论所得商仍是整式的情形，对于所得商是分式的情形将在后续内容引入负整数指数幂的概念以后再讨论。

　　能熟练地进行单项式除以单项式的除法是进行多项式除以单项式等一般的整式除法的前提。在第二小节，教科书根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由计算具体的实例得到单项式除以单项式的除法法则。同样地，对于单项式除以单项式的除法，讨论的问题也都在被除式中字母的指数大于或等于除式中字母的指数的限制条件范围内。
　　对于多项式除以单项式，教科书是从计算来导出运算法则的，根据是乘除法互为逆运算以及分配律。可以看出，法则的基本点是把多项式除以单项式转化为单项式的除法，而单项式除法是已经学习并掌握了的。
四：因式分解
因式分解是解析式的一种恒等变形，因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用，是重要的数学基础知识。因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法等。本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法。两种方法分别安排在第1和第2小节。
（三）课程学习目标
　　通过本章教学要求达到以下的教学目标：
　　1．使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。
　　2．使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。
　　3．使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
　　4．使学生理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解
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15.1．1 同底数幂的乘法（P140-142）--随堂练习
班级 姓名 日期
A［基础训练］
1.同底数幂的运算法则--填空：
25·22=2（ ） a3·a2=a（ ） 5m·5n=5（ ）
2.你能说一说同底数幂的运算法则吗？
同底数幂相乘,底数 ,指数 。am · an = a（ ） (m、n都是正整数)
3. .计算：
①b5·b； ②105×106 =
③（x-y）2·（x-y）5= ④(a－b)2 (a－b)=
⑤23×24×25 = ⑥y · y2 · y3=
4. .计算：
①m3· (-m)6; ②m5· (-m)3; ③(-m)5 · (-m)4
B［能力提高］
5.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
①b5 · b5= 2b5 （ ） ②b5 + b5 = b10 （ ）
③x5 ·x5 = x25 ( ) ④y5 · y5 = 2y10 ( )
⑤c · c3 = c3 ( ) ⑥m + m3 = m4 ( )
6.变式训练--填空：
①x5 ·（ ）=　x 8 ②a ·（ ）=　a6
7. 变式训练--填空：
① 8 = 2x，则 x = ；② 8 × 4 = 2x，则 x = ；
8. 计算：
① 25(—2)3(—2)2 ②—x(—x)4(—x)3
③ (x—y)2(y—x)5 ④（m-n）3×(m-n)4×(n-m)7
C［能力拓展］
9. ①计算（4×106）×（8×103），结果用科学计数法表示 。
②光的速度为3×105km/s，太阳光照射到地球大约需要5×102 s，地球距离太阳大约有多远？
15.1．1 同底数幂的乘法—课后作业
A［基础训练］
1. 填空：①x2·x8 = ②a·a10=
③-a2·a6= ④（-y）7·（-y2）==
⑤(x+y)3 · (x+y)4= ⑥10·104·103 =
2.下列计算正确的是：
A. a2·a3=a6 B.b4·b4=2b4 C. x5+x5=x10 D.x7·x=x8
3.一个长方形的上、宽、高分别是a、a2、a3，那么长方体的体积是 。
4.计算:
①x3n·x3m+1 ② x n · xn+1
③x5 ·x ·x3 ④y4·y3·y2·y
B［能力提高］
5.下列计算正确的是（ ）
A. x5+x5=2x5 B.x2+x5=x7 C. x5·x5=x25 D.x2·x5=x10
6..计算:
①（x-y）5·（x-y）n-5 ②（y-x）5·（x-y）n-5
③33(—3)3(—3)2 ④—a(—a)2(—a)3
7.、填空：
①a12=a3· ， ② a12=(-a)3·
③xn-1·（ ）=x3·（ ）2=x2n+3
④3×27×9 = 3x，则 x =
C［能力拓展］
8. ①已知:a5=7;a3=16.则a8=（ ）
②已知2m=a，2n=b,(m,n都是正整数).则2m+n=( )
9.一种电子计算机每秒可运行1012次运算，它运行5×102秒可进行多少次运算？
D［新课预习］P142-143
幂的乘方运算法则：(am)n = 底数　　，指数　　。
计算:（1）（a3）2= （2）a2·a4=
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