资源简介

2021秋北师版九上数学1.2.2矩形的判定导学案
学习目标
1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其它相关结论；
2.学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；
3.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
学习策略
结合以前所学的菱形的性质与判定，体会证明过程中的思想方法；
牢记矩形的判定方法.
学习过程
一.复习回顾：
1、菱形的性质：
2、菱形的判定：
3、矩形的性质：
二.新课学习：
1.自学指导：阅读课本P14-16，完成下列问题.
1.对角线相等的平行四边形是矩形.
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
2. 知识探究
1.如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
问题:当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
命题：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图，在□ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC=BD.
求证：□ABCD是矩形.
解析：根据平行四边形的对边相等，再加上AC=BD，AB=AB得出△ABC≌△BAD,得出∠ABC=∠BAD；又AD∥BC,得出∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=∠BAD=90°.∴对角线相等的平行四边形是矩形.
2.李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
命题：有三个角是直角的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
解析：∠A=∠B=90°得出AD∥BC,∠B=∠C=90°得出AB∥DC，得出四边形ABCD是平行四边形，又有角是90°，所以是矩形
三.尝试应用：
1.能够判断一个四边形是矩形的条件是()
A.对角线相等B.对角线垂直
C.对角线互相平分且相等D.对角线垂直且相等
2.矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长cm.
3.如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的角平分线，
(1)AB和CD、BC和AD的位置关系？
(2)∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB各等于多少度？
(3)四边形ABCD是( )
A.菱形B.平行四边形C.矩形D.不能确定
(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？
4. 如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.
求□ABCD的面积.
自主总结：
矩形的判定方法:
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
五.达标测试
一、选择题
1.下列说法错误的是（ ）
A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形
B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有两个角是直角的四边形是矩形
2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CDB．AD=BCC．AB=BC D．AC=BD
3.在四边形ABCD中，AC和BD的交点为O，则不能判断四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC
D．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°
二、填空题
4.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是.（填上你认为正确的一个答案即可）
5.如图，直角内的任意一点到这个角的两边的距离之和为，则图中四边形的周长为　　　．
6.延长等腰△ABC的腰BA到D，CA到E，分别使AD=AB，AE=AC，则四边形BCDE是_______，其判定根据是________．
7.已知四个角都是直角的四边形叫做矩形．如图是小张剪出的一个四边形ABCD硬纸片，现他沿垂直于BC的线段AE剪下△ABE，然后放到△DCF处，使AB与CD重合，此时测得四边形AEFD是矩形．那么小张剪出的原四边形ABCD是形．判定的依据是 ．
8.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先解出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD，EF=GH；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ；
（3）将直角尺靠近窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图③④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： .
三、解答题
9.如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
答案：
尝试应用
1.C 2.5
3.(1)解：AB∥CD，BC∥AD.
(2)解：90°.
(3)C
(4)解：相等.因为矩形的对角线相等.
4.解：∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=AB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∴OA=OC=OB=OD.
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=90°.
∵OA=AB=4，AC=2OA=8，
∴由勾股定理得：BC=
∴□ABCD的面积是BC×AB==
达标测试
一、选择题
1.D2.D3.C
二、填空题
4.如∠A=90° 5.12
6.矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形
7.平行四边形有三个角是直角的四边形是矩形
8.（2）平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.
三、解答题
9.证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB．
∴∠CDE+∠DEB=180°.
∵∠DEB=90°,
∴∠CDE=90°．
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°．
∴四边形BFDE为矩形．

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