资源简介

2021秋北师版九上数学2.6.1几何型动点问题与图形面积导学案
学习目标
1. 经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型
2. 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力
学习策略
1.经历用一元二次方程解决实际问题的建模过程；
2.牢记用一元二次方程解决实际问题的一般步骤.
学习过程
一.复习回顾：
提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
1.在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
2.如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
分组讨论：
①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？
②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少。
二.新课学习：
自学课本52-53页例1思考下列问题：
（1）要求DE的长，需要如何设未知数？
（2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
（4）选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？
（5）找出问题中合适的相等关系，设适当的未知数列方程
三.尝试应用：
1.小明用一根长为30厘米的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为13厘米，则该三角形的面积等于（ ）
A．15厘米2 B．30厘米2 C．45厘米2 D．60厘米2
2.在一幢高125m的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度h（m） 与时间t（s）大致有如下关系： h＝125－5t2． 秒钟后苹果落到地面。
3.在宽20m，长为32m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为，道路宽应为多少？
四.自主总结：列方程解应用题的一般步骤：
(1) （审题）：了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系．
(2) （设未知数）：一般情况下求什么设什么为未知数．
(3) （列方程）：根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程．
(4) （解方程）：灵活运用一元二次方程的四种解法．
(5) （验根）：检验一元二次方程的根是否满足题意．
(6) （答）：作答．
五.达标测试
一、选择题
1. 一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离
（ ）
A 等于1米 B 大于1米 C 小于1米 D 不能确定
2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，
那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
3.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为1 cm／秒，点Q的速度为2 cm／秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动。下列时间中，能使△PBQ的面积为15cm2 的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C． 4秒钟 D． 5秒钟
二、填空题
4.某生活小区准备在每幢楼房之间，开辟面积为200平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长为_____米，宽为_______米;
5.用长为24厘米的铁丝围成一个斜边为10cm的直角三角形，则两直角边分别为_______;
6.在一幢高125m的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度h（m） 与时间t（s）大致有如下关系： h＝125－5t2． 秒钟后苹果落到地面。
三、解答题
7．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A 、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动。问几秒后，点P和点Q的距离是10 cm？
8．下图是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的2倍．这块休闲场所南北长18m，东西宽16m．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为168m2，请问主干道的宽度为多少米？
9．一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的对话，请你阅读完后再解答下列问题。
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：
小明：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为，次数变成了4次，用现有的知识无法解答。同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
小亮：老师，我发现方程中是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好，如果我们把看成一个整体，用y来表示，即=y，那么原方程就变成。
全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗？
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程的根是，
小丽：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根，，，，嗬，有这么根啊！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法。在这里，使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法。
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程
10．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：
⑴ 在第n个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一坚列共有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
⑵ 设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）；
⑶ 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
⑷ 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？
⑸ 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？
达标测试答案：
一、选择题
1． C．
2． B．
3. B．
二、填空题
4． 10．
5． 6cm和8cm．
6． 5．
三、解答题
7．解：设t秒后，点P和点Q的距离是10 cm，则AP=3t，CQ=2t
过点P作PE⊥CD于E
所以四边形APDE是矩形，所以AD=PE=6cm
EQ=16-2t-3t=16-5t
在直角三角形PQE中，PQ2=PE2+EQ2
100=62+（16-5t）2
解这个方程，得，
答：秒或秒后，点P和点Q的距离是10 cm
8．解：设主干道的宽度为2xm，则其余道路宽为xm
依题意得：（16-4x）(18-4x)=168
整理，得，
当时，16-4x<0，不符题意，故舍去
x=1时，2x=2
答：主干道的宽度为2米。
9．解：设，收原方程可化为，得，
当时，，得
当时，，得
经检验：，都是原方程的根。
10．解：（1）n+3，n+2 (2)y=(n+3)(n+2)，即y=n2+5n+6；（3）当y=506时，n2+5n+6=506
，解之得，n1=20，n2=-25（舍去）；（4）白瓷砖块数是420块，黑瓷砖块数为86块，共需1604元；（5）n(n+1)= (n+3)(n+2)- n(n+1),化简为n2-3n-6=0，解得n1=, n1=(舍去)，因为n的值不为正整数，所以不存在黑、白瓷砖块数相等的情形。
B
A
C
P
Q
A
B
C
D
P
Q
E
北
西
东

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