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题型一 圆锥曲线的定义
【题型综述】（1）曲线方程；（2）轨迹；（3）充分必要条件；（4）最值
【例1】(1)若命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，a是常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是________．
【答案】(1)B　(2)－＝1(x≥3)
【解析】(1)若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a＞0)；反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0)，则点P的轨迹可能是线段，也可能不存在．
(2)|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10，根据双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，故b2＝16，故轨迹方程为－＝1(x≥3)．
【变式1】若点M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
【答案】8－
【解析】设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，
那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，|BM|＝＝，
所以(|AM|＋|AC|)min＝8－.
【变式2】【2021·全国Ⅰ卷】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=
A．2 B．3
C．6 D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选C．
【方法总结】圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．
题型二 圆锥曲线的标准方程
【题型综述】（1）圆锥曲线的方程；（2）圆锥曲线定义
【例2】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
（1）【答案】A　
【解析】因为2a＝18,2c＝×2a＝6，
所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
故所求方程为＋＝1.
（2）【答案】B　
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，可得，①
椭圆的焦点为，
可得，即，②
由①②可得，，则双曲线的方程为．
【变式3】（2021·天津高考）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．故选：．
【变式4】(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为 (　　)
A．y2＝4x B．y2＝8x
C．y2＝2x D．y2＝16x
【答案】AD
【解析】由已知得抛物线的焦点F设点M(x0，y0)，则，.由已知得，，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5，得 ＝5.又p>0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
【方法总结】求圆锥曲线标准方程的2法宝
(1)待定系数法：设出圆锥曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．写出圆锥曲线的方程.
(2)定义法：依圆锥曲线的定义得出等量关系式，求出a，b的值，写出圆锥曲线的方程．
题型三 圆锥曲线的性质
【题型综述】（1）离心率；（2）渐近线；（3）参数；（4）范围
【例3】(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
(2)如图，F，直线l的斜率为，
则直线方程为y＝，
联立，得12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝p，xB＝p，
由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
xB＝p＝，则|BF|＝＋1＝，
|BD|＝＝＝，∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD中点，
∴运算结论正确的是A、B、C.故选A、B、C.
【变式5】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中点为M，若2≥0，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
【答案】0＜e≤－1
【解析】因为A(－a,0)，B(0，b)，M，F(c,0)，
所以，，
＝(c，－b)，又2≥0，
所以2a2－2ac－c2≥0，即e2＋2e－2≤0，
结合0＜e＜1得0＜e≤－1.
【方法总结】利用圆锥曲线几何性质求值或范围的思路
（1）将所求问题用圆锥曲线上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
（2）将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
题型四 圆锥曲线中的最值问题
【题型综述】借助定义或性质求最值，变化丰富，题目灵动，要数形结合巧解。
【例4】已知P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为________．
【答案】9
【解析】抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，延长PQ交准线于点M，如图所示．根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝10－1＝9.
【变式6】已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【答案】9
【解析】设右焦点为F′，由题意可知F′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P、F′、A三点共线，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9.
【方法总结】“化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．
题型五 直线与圆锥曲线的弦长问题
【题型综述】借助方程组联立，利用根与系数的关系求解，注意设而不求，整体运算。
【例5】【2021·新高考全国Ⅰ卷】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
【变式7】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦长|CD|.
【解析】(1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，
所以b＝1，又
所以a2＝2，c＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
椭圆的左焦点F1(－1,0)，所以直线BF1的方程为＋＝1，
即y＝－2x－2，联立直线与椭圆方程得
整理得9x2＋16x＋6＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝＝，
所以|CD|＝·
＝× ＝.
【方法总结】弦长公式的运用技巧
弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”
题型六 定点、定值问题
【题型综述】圆锥曲线是高考的高频考点，知识综合性较强，重点考查方程思想、函数思想、转化与归纳思想的应用，定点问题与定值问题是这类题目的典型代表.
1.定点问题的常见解法：假设定点坐标→根据题意选择参数→建立一个直线系或曲线系方程→得到一个关于定点坐标的方程组→方程组的解为坐标的点即为所求定点；
2.定值问题的常见解法：从特殊入手→求出定值→再证明这个值与变量无关.
【例6】【2021·全国Ⅰ卷】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【解析】（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
则，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.
所以E的方程为+y2=1．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.
若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–3由于直线PA的方程为y=（x+3），所以y1=（x1+3）.
直线PB的方程为y=（x–3），所以y2=（x2–3）.
可得3y1（x2–3）=y2（x1+3）.
由于，故，可得，
即①
将代入得
所以，．
代入①式得
解得n=–3（含去），n=.
故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）．
若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（，0）.
综上，直线CD过定点（，0）.
【变式8】抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴正半轴上,准线l与圆x2+y2=4相切.
(1)求抛物线C的方程.
(2)已知直线m和抛物线C交于点A,B,命题p:“若直线m过定点(0,1),则 ·=-7”,请判断命题p的真假,并证明.
【解析】(1)依题意,可设抛物线C的方程为:x2=2py,p>0,其准线l的方程为:y=-,
因为准线l与圆x2+y2=4相切,所以=2,
解得:p=4,故抛物线C的方程为:x2=8y.
(2)命题p为真命题.
证明如下:直线m和抛物线C交于A,B且过定点(0,1),
故直线m的斜率一定存在,
设直线m:y=kx+1,交点A(x1,y1),B(x2,y2).
联立抛物线C的方程,得
整理得:x2-8kx-8=0,
Δ=64k2+64>0恒成立,
所以x1+x2=8k,x1·x2=-8,
y1·y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1·x2+k(x1+x2)+1=-8k2+8k2+1=1.
·=x1·x2+y1·y2=-8+1=-7,
所以命题p为真命题.
【方法总结】对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
题型七 圆锥曲线中存在探索型问题
【题型综述】圆锥曲线中的探索性问题是高考的常考题之一，它是在题设条件下证明或探索某个数学对象（点、线、数等）的等量关系或某个结论是否成立。由于题目多变，解法不一．
【例】直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线y＝2x对称？请说明理由．
【思路分析】先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
【解析】设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点坐标为.
依题设有＝2·，即y1＋y2＝2(x1＋x2)，①
又A，B在直线y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2，③
联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝，④
把④代入③，得(2－a)·＝2，
解得a＝，经检验符合题意，
∴kAB＝，而kl＝2，∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
【变式9】在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路分析】假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在．
【解析】(1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p) (p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，
∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|＝|OF|，
则有且m2＋n2≠0，
解得
故圆C上存在满足条件的点Q.
【变式10】试问是否能找到一条斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【思路分析】假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解．
【解析】设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.∵AP⊥MN，
∴＝－ (k≠0)，故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)·(1－k2)>0，得－1故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l.
【方法总结】存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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