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高一数学必修一专题讲解：函数的奇偶性周期性对称性
第一部分：函数的奇偶性推导周期性
一、函数的奇偶性推导周期性结论（原创结论），如下表所示：
结论 推导
结论一：已知：函数为偶函数，函数为偶函数。的正周期：。 推导：为偶函数①。 为偶函数。 用代替中的得：②。 联立①②得到：。 用代替得： 的周期为。
结论二：已知：函数为奇函数，函数为偶函数。的正周期：。 推导：为偶函数①。 为奇函数。 用代替中的得：②。 联立①②得：。 用代替得： ③。用代入中的得： ④。 把④代入③得： 的正周期：。
结论三：已知：函数为偶函数，函数为奇函数。的正周期：。 推导：为奇函数①。 为偶函数。 用代替中的得：②。 联立①②得：。 用代替得：③。用代入中的得： ④。 把④代入③得： 的正周期：。
结论四：已知：函数为奇函数，函数为奇函数。的正周期：。 推导：为奇函数①。 为奇函数。 用代替中的得：②。 联立①②得：。 用代替中的得： 的正周期：。
综合结论一：当与的奇偶性相同时：的正周期：。 综合结论二：当与的奇偶性不同时：的正周期：。
二、函数的奇偶性推导周期性例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：函数为偶函数，函数为偶函数。 推理：函数正周期。 解：为偶函数①。 为偶函数。 用代替中的得：②。 联立①②得到：。 用代替中的得： 的正周期为：。
例题二：已知：函数为奇函数，函数为偶函数。 推理：函数正周期。 解：为偶函数①。 为奇函数。 用代替中的得：②。 联立①②得：。 用代替得： ③。 用代替中的得： ④。 把④代入③得：。
例题三：已知：函数为偶函数，函数为奇函数。 推理：函数正周期。 解：为奇函数①。 为偶函数。 用代替中的得：②。 联立①②得：。 用代替中的得： ③。 用代替中的得到： ④。 把④代入③得： 函数的正周期：。
例题四：已知：函数为奇函数，函数为奇函数。 推理：函数正周期。 解：为奇函数①。 为奇函数。 用代替中的得：②。 联立①②得：。 用代替中的得： 函数的正周期为：。
三、函数的奇偶性推导周期性跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：函数为偶函数，函数为偶函数。 推理：函数的正周期。 解：
训练二：已知：函数为奇函数，函数为偶函数。 推理：函数的正周期。 解：
训练三：已知：函数为偶函数，函数为奇函数。 推理：函数正周期。 解：
训练四：已知：函数为奇函数，函数为奇函数。 推理：函数正周期。 解：
四、函数的奇偶性推导周期性跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：
训练三： 训练四：
第二部分：函数的奇偶性和周期性推导对称性
一、函数的奇偶性和周期性推导对称性结论（原创结论），如下表所示：
结论 推导
结论一：函数的周期为，函数为偶函数。 函数的对称轴： 。 推导：的正周期为①。 为偶函数②。联立①②得：。 用代替中的得： 函数的对称轴：。
结论二：函数的周期为，函数为奇函数。 函数的中心对称点的坐标。 推理：的正周期为①。 为奇函数②。联立①②得： 。用代替中的得： 函数的中心对称点的坐标。
综合结论一：函数的周期为，函数为偶函数函数的对称轴：。 综合结论二：函数的周期为，函数为奇函数函数的中心对称点的坐标。
二、函数的奇偶性和周期性推导对称性例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：函数的正周期为，函数为偶函数。 推理：函数的对称轴。 解：的正周期为①。 为偶函数②。联立①②得：。 用代替中的得： 函数的对称轴：。
结论二：函数的正周期为，函数为奇函数。 推理：函数的中心对称点的坐标。 推理：的正周期为①。 为奇函数②。联立①②得： 。用代替中的得： 函数的中心对称点的坐标。
三、函数的奇偶性和周期性推导对称性跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：函数的正周期为，函数为偶函数。 推理：函数的对称轴。 解：
训练二：函数的正周期为，函数为奇函数。 推理：函数的中心对称点的坐标。 解：
四、函数的奇偶性和周期性推导对称性跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：
第三部分：函数的周期性和对称性推导奇偶性
一、函数的周期性和对称性推导奇偶性结论（原创结论），如下表所示：
结论 推理
结论一：函数的周期为 ，函数的对称轴为 函数为偶函数。 推理：的对称轴为①。 的周期为。 用代替中的得： ②。 联立①②得：。 用代替中的得： 为偶函数。
结论二：函数的周期为 ，函数的中心对称点 函数为奇函数。 推理：的中心对称点 ①。 的周期为。 用代替中的得： ②。 联立①②得：。 用代替中的得： 为奇函数。
结论三：函数的周期为 ，函数的对称轴为 函数为奇函数。 推理：的对称轴为①。 的周期为。 用代替中的得： ②。 联立①②得：。 用代替中的得： 函数为奇函数。
结论四：函数的周期为 ，函数的中心对称点 函数为偶函数。 推理：的中心对称点 ①。 的周期为。 用替换中的得： ②。 联立①②得：。 用代替中的得： 为偶函数。
综合结论一：①对称轴为和周期为；②中心对称点为和周期为为偶函数。 综合结论二：①对称轴为和周期为；②中心对称点为和周期为为奇函数。
二、函数的周期性和对称性推导奇偶性例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：的周期为，对称轴为。 推理：的奇偶性。 解：的对称轴为①。 的周期为。用代替中的得：②。 联立①②得：。用代替中的得：。 所以：为偶函数。
例题二：已知：的周期为，对称轴为。 推理：的奇偶性。 解：的对称轴为①。 的周期为。用代替 中的得：②。 联立①②得到：。 用代替中的得： 。 所以：为奇函数。
例题三：已知：的周期为，中心对称点为。 推理：的奇偶性。 解：的中心对称点为 ①。 的周期为。用代替中的得：②。 联立①②得：。 用代替中的得： 。 所以：为奇函数。
例题四：已知：的周期为，中心对称点为。 推理：的奇偶性。 解：的中心对称点为 ①。 的周期为。用代替中的得：②。 联立①②得：。 用代替中的得： 。 所以：为偶函数。
三、函数的周期性和对称性推导奇偶性跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：的周期为，对称轴为。 推理：的奇偶性。 解：
训练二：已知：的周期为，对称轴为。 推理：的奇偶性。 解：
训练三：已知：的周期为，中心对称点为。 推理：的奇偶性。 解：
训练四：已知：的周期为，中心对称点为。 推理：的奇偶性。 解：
四、函数的周期性和对称性推导奇偶性跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：偶函数 训练二：奇函数
训练三：奇函数 训练四：偶函数
第四部分：函数的奇偶性和对称性推导周期性
一、函数的奇偶性和对称性推导周期性结论（原创结论），如下表所示：
结论 推导
结论一：为偶函数，关于对称。 的正周期：。 推理：关于对称①。 为偶函数。 用代替中的得： ②。 ①②联立得：。 用代替中的得： 。 所以：的正周期：。
结论二：为奇函数，关于对称。 的正周期：。 推理：关于对称①。 为奇函数。 用代替中的得： ②。 ①②联立得：。 用代替中的得： ③。 用代替中的得： ④。 把④代入③得：。 所以：的正周期：。
结论三：为偶函数，关于点对称。 的正周期：。 推理：关于点对称 ①。 为偶函数。 用代替中的得： ②。 ①②联立得：。 用代替中的得： ③。 用代替中的得： ④。 把④代入③得：。 所以：的正周期：。
结论四：为奇函数，关于点对称。 的正周期：。 推理：关于点对称 ①。 为奇函数。 用代替中的得： ②。 ①②联立得：。 用代替中的得： 。 所以：的正周期：。
综合结论一：①为偶函数，关于对称； ②为奇函数，关于点对称 的正周期：。 综合结论二：①为奇函数，关于对称；②为偶函数，关于点对称的正周期：。
二、函数的奇偶性和对称性推导周期性例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：为偶函数，关于对称。 判断：的正周期。 解：关于对称①。 为偶函数。 用代替中的得： ②。 ①②联立得：。 用代替中的得： 。 所以：的正周期：。
例题二：已知：为奇函数，关于对称。 判断：的正周期。 解：关于对称①。 为奇函数。 用代替中的得： ②。 ①②联立得：。 用代替中的得： ③。 用代替中的得： ④。 把④代入③得：。 所以：的正周期：。
例题三：已知：为偶函数，关于点对称。 判断：的正周期。 解：关于点对称 ①。 为偶函数。 用代替中的得： ②。 ①②联立得：。 用代替中的得： ③。 用代替中的得： ④。 把④代入③得：。 所以：的正周期：。
例题四：已知：为奇函数，关于点对称。 判断：的正周期。 解：关于点对称 ①。 为奇函数。 用代替中的得： ②。 ①②联立得：。 用代替中的得： 。 所以：的正周期：。
三、函数的奇偶性和对称性推导周期性跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 答题区域
训练一：已知：为偶函数，关于对称。 判断：的正周期。 解：
训练二：已知：为奇函数，关于对称。 判断：的正周期。 解：
训练三：已知：为偶函数，关于点对称。 判断：的正周期。 解：
训练四：已知：为奇函数，关于点对称。 判断：的正周期。 解：
四、函数的奇偶性和对称性推导周期性跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：
训练三： 训练四：

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