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6.2.2直线上向量的坐标及其运算
课程标准 数学学科核心素养
1.理解直线上向量的坐标的概念,会求直线上向量的坐标;(教学重点) 2.理解直线上向量坐标的运算,会求直线上向量的加、减、数乘的坐标运算; 3.会用数轴上两点间的距离公式和中点坐标公式解决实际问题.(教学难点) 1.通过本节例1、例2的学习提升数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养; 2.通过本节例3的学习培养学生的创新意识和应用意识.
自主预习
一、直线上向量的坐标
1.给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得　　　　,此时,x称为向量a的坐标.
2.怎样理解a=xe
提示:x既能刻画向量a的模,也能刻画a的方向.
(1)|a|=　　　　=　　　　;
(2)当x>0时,a的方向与e的方向　　　　;
当x=0时,a=　　　　;
当x<0时,a的方向与e的方向　　　　.
二、直线上向量的运算与坐标的关系
1.已知两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,则
(1)a+b的坐标为　　　　;
(2)ua+vb的坐标为　　　　;
(3)ua-vb的坐标为　　　　.
小试牛刀:已知直线上a的坐标为-2,b的坐标为5,求下列向量的坐标:
(1)a+b;(2)b;(3)-2a-3b.
2.数轴上两点间的距离公式:
设点A(x1),B(x2),则|AB|=　　　　.
3.中点坐标公式:
设M(x)是线段AB的中点,则x=　　　　.
小试牛刀:已知数轴上A,B两点的坐标分别为3,-7,求:
(1)向量的坐标及A,B两点之间的距离;
(2)线段AB中点的坐标.
课堂探究
探究一、概念的辨析问题
例1　下列命题正确的个数为(　　)
(1)向量的长度大于0;
(2)数轴上离原点越远的点表示的数越大;
(3)+=.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
变式训练1　以下结论错误的为(　　)
A.0在数轴上表示的点是原点
B.一千万分之一在数轴上的对应的点是不存在的
C.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴
D.在数轴上表示2和-2的点到原点的距离相等
探究二、直线上向量基本公式的应用
例2　已知数轴上有A,B两点,A,B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3.
(1)求向量,的坐标;
(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和.
变式训练2　(1)已知数轴上三点A,B,C的坐标分别是4,-2,-6.
求:,,的坐标长度.
(2)已知A,B,C是数轴上任意三点.
①若点A(4),B(-2),求AB中点的坐标;
②若的坐标为4,的坐标是2,求||.
探究三、直线上向量坐标运算的实际应用
例3　在平面直角坐标系中,已知点A(3,2),B(1,0),C(-2,0),试在x轴上确定点D的坐标,使SΔABC=SΔABD.
变式训练3　解关于x的方程:|x-2|+|x-3|=1.
课堂小结
1.构建思维脉络;
2.画知识网络图;
3.掌握两种数学思想.
课堂练习
1.已知数轴上A,B两点的坐标分别为3,-6,则|AB|=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.6 C.9 D.4
2.在数轴上,与点M(-1)的距离是4的点的坐标为　　　　.
3.在数轴上求一点P,使它到点A(-8)的距离是它到点B(-4)的距离的2倍.
4.已知|x-1|<1,求实数x的取值范围.
作业:P160练习A,B
核心素养专练
1.已知向量a,b在同一条直线上,|a|=2|b|,若b的坐标为2,则a的坐标为(　　)
A.4 B.-4 C.2或-2 D.4或-4
2.已知数轴上两点A,B的坐标分别为a,b,则向量的坐标为(　　)
A.a-b B.b-a C.-a-b D.a+b
3.已知数轴上两点A,B的坐标分别为-1和3,若P为数轴上一点,且||+||=6,则点P的坐标为(　　)
A.-3 B.-3或5 C.-2 D.-2或4
4.已知直线上向量a的坐标为m,若b=-a,则向量b的坐标为(　　)
A.m B.-m C.0 D.m或-m
5.已知数轴上两点M,N,且||=4,xM=-3,则xN=(　　)
A.1 B.2 C.-7 D.1或-7
6.已知直线上向量a的坐标为-2,b的坐标为5,则|2a+b|=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图,数轴上四点O,A,B,C,其中O为原点,且=2,||=||,若点C的坐标为a,则点B的坐标为 (　　)
A.-a-2 B.2-a C.a-2 D.a+2
8.数轴上点A,B的坐标分别为-4,2,点C是线段AB的中点,则向量的坐标为　　　　　　.
9.已知直线上向量a的坐标为-,b的坐标为1,c的坐标为-,则|2a+3b-6c|=　　　　　　.
10.已知数轴上两点A,B的坐标分别为x1,x2,求,的坐标及A,B两点间的距离.
(1)x1=2,x2=-5.3;
(2)x1=10,x2=20.5.
11.直线上向量a的坐标为5,b的坐标为-,求下列向量的坐标:
(1)-3b;(2)a-b;(3)2a+3b;(4)-a-6b.
12.数轴上点A,B,C的坐标分别为4,-6,x,线段AB的中点为D.
(1)求向量的坐标及点A,B的距离;
(2)求点D的坐标;
(3)若||=8,求x的值.
参考答案
　　自主预习
略
课堂探究
[例1]A　[变式训练1]B
[例2]解:(1)因为点A与原点O的距离为3,所以点A的坐标为A(3)或A(-3).①当A(3)时,A,B之间的距离为1.∴B(2)或B(4),这时的坐标为3,的坐标为-1或1;②当A(-3)时,∵A,B之间的距离为1,∴B(-4)或B(-2),此时的坐标为-3,的坐标为-1或1.(2)满足所有条件的点B到原点O的距离之和为2+4+4+2=12.
[变式训练2]
(1)解:=-2-4=-6;=-6-(-2)=-4;=4-(-6)=10.
(2)解:①AB中点的坐标为=1;
②因为=+=-=4-2=2,所以||=2.
[例3]
解:由题意知△ABC与△ABD有共同的高h=2,
所以使SΔABC=SΔABD,只要|BC|=|BD|.
设D(xD,0),则|1-(-2)|=|1-xD|.
解得xD=-5或7.
所以点D的坐标为(-5,0)或(7,0).
[变式训练3]
解:方法一　分类讨论思想
(1)当x<2时,原方程等价于-x+2-x+3=1,
即2x=4,所以x=2,不满足x<2,故舍去;
(2)当2≤x≤3时,原方程等价于x-2-x+3=1,
即1=1,恒成立,所以满足2≤x≤3的实数都是方程的根;
(3)当x>3时,原方程等价于x-2+x-3=1,
即2x=6,所以x=3,不满足x>3,故舍去;
综上,满足2≤x≤3的实数都是方程的根.
方法二　数形结合的思想
方程中的x表示数轴上与2和3的距离之和为1的点,
而数轴上2与3的距离恰恰为1,结合数轴可知
满足2≤x≤3的实数都是方程的根.
课堂练习
1.C
2.3或-5
3.解:设点P的坐标为P(x),则d(P,A)=2d(P,B),
即|x+8|=2|x+4|,即|x+8|=|2x+8|,即x+8=±(2x+8).解得x=0或-.
所以P的坐标为P(0)或P.
4.0核心素养专练
1.D　2.B　3.D　4.B　5.D　6.A　7.B　8.3　9.4
10.解:(1)=x2-x1=-5.3-2=-7.3,=x1-x2=2-(-5.3)=7.3,|AB|=7.3.
(2)=x2-x1=20.5-10=10.5,=x1-x2=10-(20.5)=-10.5,|AB|=10.5.
11.解:(1)1;(2);(3)9;(4)-3.
12.解:(1)=-6-4=-10,||=10.
(2)D(-1);(3)∵||=|x-4|=8,∴x=12或-4.

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