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6.2.3平面向量的坐标及其运算
第2课时
学习目标
1.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式.
2.掌握向量平行的坐标表示.
3.通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式,培养学生的数学运算素养.
4.通过学习向量平行的坐标表示,培养学生的逻辑推理、数学运算,数形结合素养.
自主预习
1.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则-=　　　,+2=　　　.
2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量的坐标是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.(-8,1) D.(8,1)
3.共线向量基本定理:
课堂探究
思考:某中学的健美操队四名队员A,B,C,D在一个长10米,宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.
(1)若在某时刻t1,四名队员A,B,C,D保持如图1所示的平行四边形队形.队员A位于点F处,队员B在边FG上距F点3米处,队员D位于距EF边2米,距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗 能求AC长度吗 会求A和C中点坐标吗
图1
图2
(2)若在某时刻t2,四名队员A,B,C,D保持如图2所示的平行四边形队形.队员A位于距EF边2米,距FG边1米处,队员B在距EF边6米,距FG边3米处,队员D位于距EF边4米,距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗 能求AC长度吗 会求AC中点坐标吗
探究点一　平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
(一)回顾经验,明确思路
情境引入
如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2)是坐标系内的两点.
问题1　你能用什么方法求出AB
问题2　怎样求出AB中点C的坐标(x,y)
(二)理性认识,概括公式
设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,线段AB中点为M(x,y),则
(1)AB=||=　　　　　　　　　　.
(2)x=　　　　　,y=　　　　　.
探究点二　向量平行的坐标表示
a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示
问题1　设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),如果a∥b,那么x1y2-x2y1=0,请你写出证明过程.
问题2　设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,如果x1y2-x2y1=0,那么a∥b.请你写出证明过程.
问题3　若b=0时,前两个问题中的结论成立吗
公式形成
向量平行的坐标表示　对任意平面向量都成立
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 　　　　
练习
1.向量(1,2)与向量(4,8)共线.(　　)
2.向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.(　　)
3.已知a=(-6,2),b=(m,-3),且a∥b,则m= (　　)
A.-9 B.9 C.3 D.-3
例1　已知A(-2,1),B(1,3).
(1)求AB的中点M的坐标;
(2)求线段AB两个三等分点P,Q的坐标,并计算PQ.
跟踪训练1:已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1),B(2,2),C(3,6),而且A,B,C,D按逆时针方向排列,求:
(1)AB,AD的长;
(2)D点的坐标.
例2　已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断与是否共线 如果共线,它们的方向相同还是相反 (尝试用不同的方法处理)
方法提炼:
跟踪训练2　已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行 平行时它们是同向还是反向
核心素养专练
1.已知a=(-1,2),b=(2,y),若a∥b,则y的值是 (　　)
A.1 B.-1 C.4 D.-4
2.若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线,则使=λ成立的实数λ的值为(　　)
A.-2 B.0 C.1 D.2
3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是　　　　　.
4.给定两个向量a=(1,2),b=(λ,1),若a+2b与2a-2b共线,求λ的值.
参考答案
　　自主预习
略
课堂探究
思考:略
探究点一
问题1　可用AB=||,再用向量求模公式.
问题2　可用=,化为向量坐标相等,列实数方程组求出(x,y).
(1)　(2)　
探究点二
问题1:当a∥b时,如果b≠0,由平面向量基本定理可知存在λ,使得a=λb,即
(x1,y1)=λ(x2,y2)=(λx2,λy2).
因此从而所以x1y2-x2y1=0.
问题2:
当x1y2-x2y1=0时,
如果x2≠0且y2≠0,则有=,设这个比值为λ,则有从而(x1,y1)=(λx2,λy2)=λ(x2,y2),即a=λb,因此a∥b.
如果x2=0且y2≠0,则有x1=0,设λ=,同样有(x1,y1)=λ(x2,y2),即a=λb,因此a∥b.
类似地,如果x2≠0且y2=0,λ=,同样有a=λb,因此a∥b.
从而,不管哪种情况都有a∥b
问题3:成立
x1y2=x2y1
练习　1.√　2.√　3.B　解析:由a∥b,得-6×(-3)=2m,∴m=9.
例1　解:(1)显然=(+)=[(-2,1)+(1,3)]=,
即AB中点M的坐标为.
(2)因为=-=(1,3)-(-2,1)=(3,2),
又因为=,所以-=,因此=+=(-2,1)+(3,2)=.
类似地,有
=+=(-2,1)+(3,2)=.
即P,Q的坐标分别为,,
故=-=,
∴PQ=||==,
或者PQ=
=.
(也可利用PQ=AB来计算)
跟踪训练1　解:(1)由两点间距离公式,得
AB==.
又因为AD=BC,所以
AD=BC==.
(2)由题意知=,所以-=-.
因此=+-=(-2,1)+(3,6)-(2,2)=(-1,5),从而D(-1,5).
例2　解:=(0,4)-(2,1)=(-2,3).
=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
方法一　∵(-2)×(-6)=3×4,且(-2)×4<0,
∴与共线且方向相反.
方法二　∵=-2,∴与共线且方向相反.
跟踪训练2　解:方法一　ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数λ,
使ka+b=λ(a-3b),即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
∴解得k=λ=-.
∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-(a-3b).
∵λ=-<0,∴ka+b与a-3b反向.
方法二　由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4).
∵ka+b与a-3b平行,∴(k-3)×(-4)=10(2k+2),
解得k=-.
此时ka+b===-(a-3b).
∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
核心素养专练
1.解析:∵a∥b,∴(-1)×y-2×2=0,∴y=-4.
答案:D
2.解析:=(2,4),=(x-1,2),
∵A,B,C三点共线,∴与共线,
∴2×2-4(x-1)=0,∴x=2,∴=(1,2).
∴=2,∴λ=2.故选D.
答案:D
3.解析:∵BC中点为D,∴=,
∴||=.
答案:
4.解:∵a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),
2a-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2),
又a+2b与2a-2b共线,
∴2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,∴λ=.

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