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6.3平面向量线性运算的应用（第2课时）
学习目标
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.
2.会用向量方法解决某些简单的物理问题,及其他一些实际问题,体现了数学建模的核心素养.
自主预习
一、复习回顾
1.用向量方法解决平面几何问题的步骤及方法.
2.用向量方法解决物理问题的步骤.
二、自我检测
1.已知向量a=(-2,m)与向量b=(1-m,1)平行,则实数m的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.1 C.2 D.-1或2
2.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为　　　　　.
3.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为　　　　　N;若用坐标表示合力F,则F=　　　　　.
课堂探究
合作探究一:向量在平面几何中的应用
例1　如图,已知在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,
用向量的方法证明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三点共线.
变式训练1　如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BE与DF的交点.若=a,=b.
(1)试以a,b为基底表示,;
(2)求证:A,G,C三点共线.
合作探究二:向量在物理中的应用
例2　一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°方向上,并且A,C两地相距2 000 km,求飞机从B地到C地的位移.
变式训练2　如图,一物体受到两个大小均为60 N的力的作用,两力的夹角为60°且有一力方向水平,求合力的大小及方向.
核心素养专练
1.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.
2.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)
A.(9,1) B.(1,9)
C.(9,0) D.(0,9)
3.在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=(　　)
A. B. C. D.
4.如图,在直角梯形ABCD中,=,=2,且=r+s,则2r+3s=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间为　　　　　.
6.某物体做斜抛运动,初速度|v0|=10 m/s,与水平方向成60°角,不计空气阻力,则该物体在水平方向上的速度是　　　　　m/s.
7.已知点A(,1),B(0,0),C(,0),∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,则=λ,其中λ等于　　　　　.
8.如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN的值.
参考答案
　　自主预习
略
课堂探究
例1　证明:以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.
令||=1,则||=1,||=2.∵CE⊥AB,AD=DC,∴四边形AECD为正方形.
∴各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
(1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
∴=,∴∥,即DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点,∴M,
∴=(-1,1)-=,
=(1,0)-=.
∵=-,∴∥.
又∵与有公共点M,∴D,M,B三点共线.
变式训练1　解:(1)=-=b-a,=-=a-b.
(2)证明:因为D,G,F三点共线,则=λ,即=+λ=λa+(1-λ)b.
因为B,G,E三点共线,则=μ,即=+μ=(1-μ)a+μb,
由平面向量基本定理知解得λ=μ=,
　　所以=(a+b)=,所以A,G,C三点共线.
例2　
解:如图所示,设A地在东西基线和南北基线的交点处,则A(0,0),B(-1 000cos 30°,1 000sin 30°),即(-500,500),
C(-2 000cos 30°,-2 000sin 30°),
即(-1 000,-1 000),∴=(-500,-1 500),
∴||==1 000(km).
∴飞机从B地到C地的位移大小是1 000 km,方向是南偏西30°.
变式训练2　【解】　
以,为邻边作平行四边形OACB,则即为合力.由已知可得△OAC为等腰三角形,且∠COA=30°,过A作AD⊥OC于点D,则在Rt△OAD中,||=||·cos 30°=60×=30,故||=2||=60,即合力的大小为60 N,方向与水平方向成30°角.
核心素养专练
1.B　2.A　3.D　4.C　5.3　6.5　7.-3
8.解:设=a,=b,∴=+=-3b-a,=2a+b.
∵A,P,M三点共线,∴存在实数x,使=x=-xa-3xb,
∵B,P,N三点共线,∴存在实数y,使=y=2ya+yb,
∴=-=(x+2y)a+(3x+y)b,
∵=+=2a+3b,
∴∴x=,y=.
∴=,=.
∴AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.

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