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第8讲　函数与方程
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
(3)存在性定理
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点 x1，x2 x1 无
常用结论
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
常见误区
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
[诊断自测]
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选B．易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)f(3)＜0.故选B．
2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个．
解析：依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
答案：3
3．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若 x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意可得f(－1)f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
函数零点所在区间的判断(师生共研)
(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】　方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B．
【答案】　B
eq \a\vs4\al()
判断函数零点所在区间的方法
方法 解读 适合题型
定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断 能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法 画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 容易画出函数的图象
1．已知实数a>1，0A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选B．因为a>1，00，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：选D．令f(x)＝0得x＝ln x.
作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．
函数零点个数的判断(师生共研)
(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】　方法一(方程法)：由f(x)＝0，
得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
【答案】　B
eq \a\vs4\al()
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　
1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象．如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C项．
2．已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋m的零点个数的判断，正确的是(　　)
A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个零点
B．当a>0，m≤－1时，有3个零点
C．当a<0，m<－1时，有4个零点
D．当a<0，－1解析：选B．令t＝f(x)，则f(f(x))＋m＝0，即f(t)＋m＝0，即f(t)＝－m.对于选项A，当a＝0，m∈R时，取m＝0，则f(t)＝0，此时图①中的t＝1，而t＝f(x)＝1对应图②中的x有无穷个解，故函数y＝f(f(x))＋m有无穷个零点，选项A错误．
对于选项B，当a>0，m≤－1时，f(t)＝－m≥1，此时在图③中y＝f(t)的图象与y＝－m的图象有2个交点，横坐标分别记为t1，t2；在图④中t＝t1的图象与t＝f(x)的图象只有一个交点，横坐标记为x1，而t＝t2的图象与t＝f(x)的图象有2个交点，横坐标分别记为x2，x3，故函数y＝f(f(x))＋m有3个零点，选项B正确．
对于选项C，a<0，m<－1，f(t)＝－m>1，在图⑤中y＝f(t)的图象与y＝－m的图象只有一个交点，横坐标记为t3；在图⑥中t＝t3的图象与t＝f(x)的图象只有一个交点，故函数y＝f(f(x))＋m只有1个零点，选项C错误．
对于选项D，当a<0，－1综上，选B．
函数零点的应用(师生共研)
(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C． D．
(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______．
【解析】　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
【答案】　(1)D　(2)[－1，＋∞)
eq \a\vs4\al()
根据函数零点的情况求参数有3种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．　
1．若函数f(x)＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为(　　)
A．(0，4) B．(0，＋∞)
C．(3，4) D．(3，＋∞)
解析：选C．令g(x)＝|2x－4|，其图象如图所示，若f(x)＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a∈(3，4)．
2．若函数f(x)＝|ln x|－ax＋1－2ln 2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(0，)
C．(0，) D．(0，)
解析：选C．构造函数y＝|ln x|，y＝ax＋2ln 2－1，在同一坐标系中分别作出两个函数的图象如图所示，直线y＝ax＋2ln 2－1过点(0，2ln 2－1)，结合函数图象可知，当a≤0时，不符合题意，故a>0.当直线y＝ax＋2ln 2－1与曲线y＝ln x相切时，设切点坐标为(x0，ln x0)，因为y′＝，所以切线的斜率为，则＝，解得x0＝4，所以切线斜率为.结合图象可知，当0思想方法系列5　跳出嵌套函数的零点问题
函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
类型1　嵌套函数零点个数的判断
已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则函数g(x)＝f2(x)－f(x)的零点个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】　因为x∈(0，2]时，f(x)＝(x－1)2，x>2时，f(x)＝f(x－2)＋1，
所以将f(x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f(x)在(2，4]上的图象．同理可得到f(x)在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f(x)在其定义域内的图象，如图所示：
令g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f(x)的图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点．故选C．
【答案】　C
eq \a\vs4\al()
破解此类问题的主要步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．　
类型2　求嵌套函数零点中的参数
函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
【答案】　[－1，＋∞)
eq \a\vs4\al()
(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数．
(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．　
　已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(a<0)，若函数y＝f(f(x))有三个零点，则a＝________．
解析： 令t＝f(x)＝(x＋1)2＋a－1，则可知f(t)＝0有两个不同的解t1，t2，不妨设t1答案：

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