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§12.3 等腰三角形（二）
教学目标
（一）教学知识点
探索等腰三角形的判定定理．
（二）能力训练要求
探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．
（三）情感与价值观要求
通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．
教学重点
等腰三角形的判定定理及其应用．
教学难点
探索等腰三角形的判定定理．
教学方法
讲练结合法．
教具准备
多媒体课件、投影仪．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？
[生甲]等腰三角形的两底角相等．
[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
[师]同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们看下面的问题并讨论：
思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
[生甲]应该能同时赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB，所以两船能同时赶到出事地点．
[生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要，也就是∠A如果不等于∠B，那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点．
[师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
[生丙]我想它们所对的边应该相等．
[师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明．
[生丁]我是运用三角形全等来证明的．
（投影仪演示了同学证明过程）
[例1]已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．
求证：AB=AC．
证明：作∠BAC的平分线AD．
在△BAD和△CAD中
∴△BAD≌△CAD（AAS）．
∴AB=AC．
[师]太好了．从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形．这个结论也回答了我们一开始提出的问题．也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形．
（演示课件）
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
[师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用．
（演示课件）
[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
[师]这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．
求证：AB=AC．
[师]同学们先思考，再分析．
[生]要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C．
[师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好!
[生]接下来，可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系．
[师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据．
（演示课件，括号内部分由学生来填）
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
[师]看大屏幕，同学们试着完成这个题．
（课件演示）
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．
求证：AB=AD．
（投影仪演示学生证明过程）
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD（等角对等边）．
[师]下面来看另一个例题．
（演示课件）
[例3]如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？
[师]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．
解：选取比例尺为1：100（即为1cm代表1m）．
（1）作线段DE=4cm；
（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；
（3）在MN上截取BC=2.5cm；
（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长．
[师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P143 1、2、3．
1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
答案：∠1=72°，∠2=36°．
等腰三角形有：△ABC、△ABD、△BCD．
2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
答案：是等腰三角形．因为，如图可证∠1=∠2．
3．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD．
答案：
证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B．
又∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，∠B=∠D．
∴∠C=∠D．
∴OC=OD（等角对等边）．
（二）补充练习：
如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．
（1）求证：△ABD是等腰三角形．
（2）求∠BAD的度数．
答案：
（1）证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠ACD=90°．
又∵AC=AC，BC=CD，
∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等腰三角形．
（2）解：由（1）可知AB=AD，
∴∠B=∠D．
又∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
AC=CD．
∴∠D=∠DAC（等边对等角）．
在△ABD中，∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°，
∴2（∠BAC+∠DAC）=180°．
∴∠BAC+∠DAC=90°，
即∠BAD=90°．
（鼓励学生思考其他解法）
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了一定的了解．在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P147─2、4、5、9、13题．
（二）预习P144～P145．
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21世纪教育网精品教学课件
中山市沙溪中学
初二备课组
12.3.1等腰三角形（二）
顶角平分线
等腰三角形的性质1：
复习：
三线合一
等边对等角
等腰三角形的性质2：
1、等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角分别为 ；
2、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角分别为 ；
75°, 30°
55°, 55°
或70°, 40°
①等腰三角形，
②底边上的高，
底边上的中线
如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接
到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．
如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，
能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪)？
书本P51：思考
A
B
O
SOS!
一、新课：
即：若△ABC中,∠B=∠C,则AB与AC有什么关系
请用数学符号表示出这句话
在三角形中，如果有两个角相等，那么
它们所对的边有什么关系？
问题
C
B
A
如果一个三角形有两个角相等，那么这
两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
判定方法:
C
B
A
已知△ ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC
证明：
作AD⊥BC，垂足为D，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD
AB=AC
∴
D
AD=AD
∠ADB=∠ADC=90°
∠B=∠C
学生口述
在△ABC中∵∠B=∠C
∴AB=AC
二、练习:P53#1
如图，∠A=36 °，∠DBC=36°，∠C=72°，
分别计算∠1、∠2的度数？并说出图中
有哪些等腰三角形？
2
1
D
C
B
A
（先写答案，有能力的写过程）
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，求证：AB=AC。
证明：（练习本）
例2、求证：如果三角形一个外角的平分线
平行于三角形的一边，那么这个三角形是
等腰三角形。
E
D
C
B
A
2
1
（先提问学生怎么写成数学语言）
三、练习2:P53#2、#3
3、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，
OA=OB，求证：OC=OD。
2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
O
C
D
B
A
C
D
B
A
D′
（1、多种方法；2、提问学生）
如图，△ABC中，BC=BA，∠A=60°,BD是AC边
的中线，延长BC到E，使CE=CD，求证：DE=DB
若DB是AC边上的高，上述结论仍成立吗？
E
D
C
A
B
拓展提高：
（学生讲台写）
C
D
B
A
E
例3、标杆AB高5m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点 B 距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得点D、B、E在一条直线上，量得DE=4m，绳子CD和CE要多长？
（1、简图建模；2、已知底和高的尺规作图）
高2.5cm
底4cm
1、等腰三角形的判定方法：等角对等边
小结
2、等腰三角形的尺规作图：
D
C
B
A
（2）作底边的垂直平分线；
（3）量取高的长度；
（1）量取底边的长度；
作业：1、《学习辅导》
2、P56#5、#6
附加：P58#11　登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《12.3.1等腰三角形（二）》练习
1、如右图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，
△ABD的周长为16cm，求△ABC的周长是 ；
2、如图2，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，图中全等三角形有 （ ）
A、1对 B、2对
C、3对 D、4对
3、等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是 （ ）
A、50° B、80°
C、50°或80° D、20°或80°
4、如图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，AB=7cm，
AC的长度为 ；
5、如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D，
求证：∠ECD=∠EDC。
6、如图，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，求证：AC+CD=AB。
E
A
B
D
C
A
B
C
B
E
D
A
C
O
A
C
B
D
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