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2021~2022学年第一学期必修一数学基础练习
3.4函数的应用（一）
一.选择题(本题共10道小题，每题6分，满分60分)
1.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)
A.y＝0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N) B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N) D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N)
2.某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(　　)
A．7　　B．8 C．9 D．10
3.面积为S的长方形的某边长度为x，则该长方形的周长L与x的函数关系为(　　)
A．L＝x＋(x>0) B．L＝x＋(00) D．L＝2x＋(04.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(单位：小时)大致服从的关系为(t0、N0为常数)．已知
第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为(　　)
A．16小时 B．11小时 C．9小时 D．8小时
6.(多选)如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的有(　　)
A．这几年人民生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是2018年
C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2019年
D．虽然2020年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善
7.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元
8.一新型气枪发射子弹的速度v(cm/s)与枪管的半径r(cm)的四次方成正比，已知枪管直径为3cm时，子弹速度为400m/s.某人买了一支管道半径为5cm的气枪，若用该气枪瞄准高空中一水平飞行的小鸟，子弹发出5秒打中，则子弹发射走过的路程为(　　)
A．15430cm B．15430m C．3086cm D．3086m
9.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．
10.(多选)“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠劵；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是(　　)
A．如果购物总额为78元，则应付款为73元
B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元
C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元
D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元
二．填空题(本题共4道小题，每题8分，满分32分)
11.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
12.一种体育用品的售价为25元，因为原材料供应紧张，上涨20%后，经过一段时间，原材料恢复正常供应，又下降20%，则该商品的最终售价是原来的________倍．
13.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．
14.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝
(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那
么c和A的值分别是____________．
三．解答题（本题共4道题，满分58分）
15.（本题13分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
16.（本题15分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
17.（本题15分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．
在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为R(x)万元，
且R(x)＝.
(1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润＝销售收入－成本)
(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．
18.（本题15分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
函数的应用(一)参考答案
一．选择题(本题共10道小题，每题6分，满分60分)
1.解析：由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8
＝0.5x＋1600－0.8x
＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N).
答案：D
2.解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：
y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得
y＝－6(k－9)2＋864，∴当k＝9时，获得利润最大．
答案：C
3.解析：面积为S的长方形的某边长度为x，则另一边长为，周长为L＝2x＋(x>0)．
故选C.答案：C
4.解析：公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大，为120万元．故选C.
答案：C
5.解析：由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，16所以＝16，得t0＝64.
又由＝8知，N0＝64，所以当n＝49时，t＝＝≈9，
故选C.答案：C
6.解析：由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确．“生活费收入指数”在2018～2019年最陡．故B正确，“生活价格指数”在2019～2020年最平缓，故C不正确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
7.解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝，则总利润
S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
答案：B
8.解析：∵气枪发射子弹的速度v与枪管的半径r的四次方成正比，∴设v＝kr4(k≠0)，将r＝3，v＝40000代入v＝kr4(k≠0)，得40000＝k×34，∴k＝，∴气枪发射子弹的速度v与枪管的半径r的函数关系式为v＝r4，当r＝5时，v＝×54＝≈308600(cm/s)，308600cm/s＝3086m/s，∴子弹发射走过的路程为s＝vt＝3086×5＝15430(m)．故选B.
答案：B
9.解析：令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
答案：25
10.解析：购物总额为78元，则应付款为78－5＝73元，A正确；
购物总额为228元，则应付款为228×0.9＝205.2元，B正确；
购物总额为368元，则应付款为300×0.9＋68×0.8＝324.4元，C错误；
购物时一次性全部付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有172.8元对应购物额度为＝216，因此购物总额为300＋216＝516元，D正确．故选ABD.
答案：ABD
二．填空题(本题共4道小题，每题8分，满分32分)
11.解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
答案：125
12.解析：由题意，该商品的最终售价为25×(1＋20%)×(1－20%)元，
则＝1.2×0.8＝0.96.
所以该商品的最终售价是原来的0.96倍．
答案：0.96
13.解析：设出租车行驶x千米时，付费y元，
则y＝
当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．
由y＝22.6，知x>8，
由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，
解得x＝9.
答案：14.59　9
14.解析：由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15得A＝16.
答案：60　16
三．解答题（本题共4道题，满分58分）
15.解析：(1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25000；
当x>400时，
f(x)＝60000－100x是减函数，
f(x)<60000－100×400＝20000<25000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25000，
即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．
16.解析：设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y
＝40x－＋48x－8000
＝－＋88x－8000
＝－(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上单调递增，
∴x＝210时，
R(x)max＝－(210－220)2＋1680＝1660(万元)．
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
17.解析：(1)当0＜x≤20时，S＝xR(x)－(380x＋150)
＝500x－2x2－380x－150＝－2x2＋120x－150，
当x＞20时，S＝xR(x)－(380x＋150)
＝370x＋2140－－380x－150＝－10x－＋1990，
∴函数S的解析式为S＝.
(2)当0＜x≤20时，S＝－2x2＋120x－150＝－2(x－30)2＋1650，
∴函数S在(0,20]上单调递增，
∴当x＝20时，S取得最大值，为1450，
当x＞20时，S＝－10x－＋1990＝－＋1990≤－2＋1990
＝－500＋1990＝1490，
当且仅当10x＝，即x＝25时，等号成立，此时S取得最大值，为1490，
∵1490＞1450，
∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元．
18.解析：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．
(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3000)，租赁公司的月收益为y元，
则y＝x－×50－×150
＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050，
当x＝4050时，ymax＝307050.
所以当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．

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