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第3讲　函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
常见误区
1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．
3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　)
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
[诊断自测]
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B．根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B．
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，则a＋b的值是(　　)
A．－1 B．1
C．－3 D．0
解析：选B．因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，所以a－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.故选B．
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．
解析：f(1)＝1×2＝2，
又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
4．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
解析：f＝f＝f＝－4×＋2＝1.
答案：1
函数的奇偶性及其应用(多维探究)
角度一　判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]；
(2)f(x)＝ln ；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
【解】　(1)因为f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为(－2，2)，
f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
eq \a\vs4\al()
判定函数的奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．
角度二　函数奇偶性的应用
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1　 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
(2)已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】　(1)通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D．
优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D．
(2)方法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b为偶函数，得a＝2, 又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1，故选C．
方法二：由y＝f(x＋1)为偶函数，知y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，因而y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，因而y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故f(x)＝x(x－a)＋b图象的对称轴方程为x＝＝1, 得a＝2.又f(1)＝0，故b＝1，故选C．
【答案】　(1)D　(2)C
eq \a\vs4\al()
已知函数的奇偶性可以解决的3类问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．　
1．函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：选C．由题得f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－，此时f(x)＝为奇函数．
2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　)
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
解析：选B．因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，
所以y＝xf(x)是偶函数．
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，
所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)
＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．
3．(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．
解析：方法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－＋，
所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
方法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝－，最小值为－，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
答案：
函数的周期性及其应用(师生共研)
(1)函数f(x)在R上满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)
A．0.5 B．1.5
C．2.5 D．3.5
(2)已知定义在R上且周期为4的函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x2，则f()＝________．
【解析】　(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的周期函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C．
(2)由函数f(x)的周期为4，得f＝f＝f.因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.又当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x2，所以f＝f＝1－＝.
【答案】　(1)C　(2)
eq \a\vs4\al()
函数的周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　
1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________．
解析： 因为f(x＋2)＝－，
所以f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．
所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)在R上是偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.
答案：6
函数性质的综合应用(多维探究)
角度一　函数的单调性与奇偶性
(1)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3，3] B．[－2，4]
C．[－1，5] D．[0，6]
(2)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln，b＝(ln 3)2，c＝ln，则(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
【解析】　(1)因为f(x) 定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，
所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数．故f(x－1)≥f(3) f(|x－1|)≥f(3) |x－1|≤3，故－2≤x≤4.
(2)由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
又因为|a|＝ln 3>1，b＝(ln 3)2>|a|，0所以f(c)>f(|a|)>f(b)．又由题意知f(a)＝f(|a|)，所以f(c)>f(a)>f(b)．故选C．
【答案】　(1)B　(2)C
eq \a\vs4\al()
函数的单调性与奇偶性的综合问题的解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)角度二　函数的周期性与奇偶性
(1)已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝(　　)
A．6 B．3
C．0 D．－3
(2)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝　(　　)
A． B．
C．π D．
【解析】　(1)根据题意，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)．则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，又由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，则f(3)＝－f(0)＝0.又由当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，得f(1)＝3，f(2)＝f(－1＋3)＝－f(－1)＝f(1)＝3.
f(4)＝f(1＋3)＝－f(1)＝－3，f(5)＝f(2＋3)＝－f(2)＝－3.
则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0，
则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(5)]×336＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3.故选B．
(2)由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2)．
所以f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.
所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.
【答案】　(1)B　(2)B
eq \a\vs4\al()
周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．　
1．已知偶函数f(x)的定义域为(－3，3)，且f(x)在[0，3)上是减函数，f(m－1)－f(3m－1)>0，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0)∪
C．∪ D．
解析：选C．因为f(x)为偶函数，且在[0，3)上是减函数，
所以f(x)在(－3，0)上是增函数．f(m－1)－f(3m－1)>0可化为f(m－1)>f(3m－1)．因为f(x)为偶函数，所以f(m－1)>f(3m－1)即为f(|m－1|)>f(|3m－1|)．又f(x)在[0，3)上为减函数，所以解得m∈∪，故选C．
2．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2 019)＋f(2 024)＝(　　)
A．－5 B．5
C．0 D．4 043
解析：选B．由f(x＋8)＋f(x)＝0，得f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故函数y＝f(x)是以16为周期的周期函数．在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝0，得f(8)＋f(0)＝0，因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故f(8)＝0.故f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0.又在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝－3，得f(5)＋f(－3)＝0，得f(5)＝－f(－3)＝f(3)＝5，则f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以f(2 019)＋f(2 024)＝5.故选B．
思想方法系列3　活用函数性质中“三个二级”结论
函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
一、奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x) 在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
【解析】　函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
【答案】　2
二、抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝(　　)
A．3　 B．2
C．1 D．0
【解析】　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 023)＝－f(2 023)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．
又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，
所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.
【答案】　C
三、抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．
已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则下列说法中错误的是(　　)
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称
C．函数f(x)为R上的偶函数
D．函数f(x)为R上的单调函数
【解析】　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故A正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称．所以B正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，
所以f(－x－1)＝－f(x－1)，
根据f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(－x－1)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为R上的偶函数，C正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－1)＝0，又函数f(x)为R上的偶函数，f(1)＝0，所以函数不单调，D不正确．
【答案】　D

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