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知识点 最新考纲
集 合 了解集合、元素的含义及其关系． 理解集合的表示法． 了解集合之间的包含、相等关系． 理解全集、空集、子集的含义． 会求简单集合间的并集、交集． 理解补集的含义并会求补集.
命题及其关系、充分条件与必要条件 了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系． 理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
第1讲　集合的概念与运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
[注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
表示关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A?B(或B?A)
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} UA＝{x|x∈U且x A}
常用结论
1．并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
2．交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
3．补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(　　)
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a A.(　　)
(3)若A?B，则A B且A≠B.(　　)
(4)N*?N?Z.(　　)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
[诊断自测]
1．(2020·高考浙江卷)已知集合P＝{x|1A．{x|1C．{x|3≤x<4} D．{x|1解析：选B．因为P＝{x|12．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3
C．6 D．9
解析：选C．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.
故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．
3．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则 UA＝________．
解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以 UA＝{－1}．
答案：{－1}
4．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：由题易得M＝{a}．因为M∩N＝N，
所以N M，
所以N＝ 或N＝M，
所以a＝0或a＝±1.
答案：0或1或－1
集合的含义及表示(自主练透)
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
解析：选C．依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C．因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A． B．
C．0 D．0或
解析：选D．若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等的实根．
当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝，所以a的取值为0或.
4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
eq \a\vs4\al()
与集合中元素有关问题的求解策略
　
集合间的基本关系(师生共研)
(1)已知集合M＝，N＝，则两集合M，N的关系为(　　)
A．M∩N＝ B．M＝N
C．M N D．N M
(2)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若B A，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1，2]
C．[－2，1] D．[2，＋∞)
【解析】　(1)由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)；当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，所以N M，故选D．
(2)集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因为B A，所以有所以－2≤a≤1.
【答案】　(1)D　(2)C
eq \a\vs4\al()
(1)判断两集合关系的3种常用方法
(2)根据两集合的关系求参数的方法
[提醒]　题目中若有条件B A，则应分B＝ 和B≠ 两种情况进行讨论．　
1．已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：选A．方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．
2．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
解析：选D．由A∩B＝A，可得A B，又A＝{x|1集合的基本运算(多维探究)
角度一　集合的运算
(1)已知集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－}，则A∩B＝(　　)
A．{1，2}　 B．{－2，0}
C．{－2，0，1} D．{－2}
(2)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{－2，3} B．{－2，2，3}
C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}
【解析】　(1)因为y＝－≤0，所以B＝{y|y≤0}．因为A＝{－2，0，1，2}，所以A∩B＝{－2，0}．故选B．
(2)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以 U(A∪B)＝{－2，3}，故选A．
方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2 U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0 U(A∪B)，故排除C，故选A．
【答案】　(1)B　(2)A
eq \a\vs4\al()
集合基本运算的求解策略
　
角度二　利用集合的运算求参数
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】　(1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B．
方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B．
(2)根据集合并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
【答案】　(1)B　(2)D
eq \a\vs4\al()
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒]　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．　
1．已知集合A＝{x|(x－3)(x＋1)>0}，B＝{x||x－1|>1}，则( RA)∩B＝(　　)
A．[－1，0)∪(2，3]　　　　　　　
B．(2，3]
C．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D．(－1，0)∪(2，3)
解析：选A．通解：因为集合A＝{x|(x－3)(x＋1)＞0}＝{x|x＞3或x＜－1}，B＝{x||x－1|＞1}＝{x|x＞2或x＜0}，所以 R A＝{x|－1≤x≤3}，( R A)∩B＝{x|2＜x≤3或－1≤x＜0}，故选A．
优解：因为3 A，且3∈B，所以3∈( R A)∩B，故排除D；因为－1 A，且－1∈B，所以－1∈( R A)∩B，故排除B；因为－2∈A，且－2∈B，所以－2 ( R A)∩B，故排除C．故选A．
2．若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为(　　)
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D． UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝( UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
3．已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}．若P∪Q＝R，则实数a的取值范围是________；若P∩Q＝Q，则实数a的取值范围是________．
解析：由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，所以P＝{x|x＞4或x＜－2}．若P∪Q＝R，因为Q＝{x|x≥a}，所以a≤－2.若P∩Q＝Q，因为Q＝{x|x≥a}，所以a＞4.
答案：a≤－2　a＞4
核心素养系列1　数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查学生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．
(1)定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是(　　)
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q M，则数集M必为数域
D．数域必为有限集
【解析】　(1)由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B．
(2)当a＝b时，a－b＝0，＝1∈P，故可知A正确．当a＝1，b＝2时， Z不满足条件，故可知B不正确．当M比Q多一个元素i时，则会出现1＋i M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确．
根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D不正确．
【答案】　(1)B　(2)A
eq \a\vs4\al()
解决集合的新定义问题的两个关键点
(1)准确转化，即解决新定义问题时，首先要读懂题意，对题目进行恰当的转化，切忌与已有概念混淆；
(2)方法选取，即对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法等方法，并结合集合的相关性质求解．　
1．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝{－1，0，，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)
A．1 B．3
C．7 D．31
解析：选B．因为x∈A，且∈A，所以－1∈A，2∈A且∈A，所以集合M的非空子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，，，共3个．故选B．
2．设A，B是非空集合，定义A B＝{x|x∈A∪B且x A∩B}．已知集合A＝{x|0解析：由已知A＝{x|0又由新定义A B＝{x|x∈A∪B且x A∩B}，
结合数轴得A B＝{0}∪[2，＋∞)．
答案：{0}∪[2，＋∞)

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