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13.3等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
知识要点：
等腰三角形的两个底角_________
2．等腰三角形的 __________ 、_________、_________ 相互重合.
3．等腰三角形是_________ 图形，其对称轴是__________________.
易错点睛：
等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为_________
2．已知等腰三角形的一个角为另一个角的2倍，则这角为 __________________
典型例题：
题型一、利用等腰三角形的性质进行计算
如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数.
解题策略利用等腰三角形的性质求角度，若没有已知角度，常通过设未知数，利用“等边对等角”、三角形外角的性质或三角形内角和定理表示相关角，构造方程求解。
变式练习：
如图，在ΔABC中，AB＝AC，∠BAC=120°，AD是边BC上的中线，且BD＝8B，∠ADE的度数为（ )
A.10° B.15° C.20° D.300
2、如图，AB//DE，ΔABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数为（ )
A.16° B.28° C.44° D.45°
第1题 第2题
3、如图，∠A＝10°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为_________
4、如图，在ΔABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝_________
题型二、利用等腰三角形的性质进行证明
如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.求证：CM＝DM.
“叠合型”等腰三角形的辅助线作法：作底边上的高、作顶角平分线、连接AD并延长
变式练习：
如图，在ΔABC中，点D，E在BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.
2、 如图，已知AB＝AC＝AD，AD//BC，求证：∠C＝2∠D．
3、如图，在ΔADC中，AD＝CD，且AB//DC，CB⊥AB于点B，CELAD的延长线于点E，连接BE.求证：AC垂直平分BE.
基础训练：
1.如图，在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是 _________
2.等腰三角形的一个外角等于100°，则其顶角的度数为_________
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的度数为_________
第1题 第4题 第5题
如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2的度数为 _________.
5.如图，在ΔABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC的度数为_________
6.如图，在四边形ABCE中，∠E＝90°，CA平分∠BCE，AB＝AC．求证：BC＝2CE．
7.如图，在ΔABC中，AB＝BC，F为AC的中点，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，直线DE，与AC交于点G．求证：∠ABC＝2∠G．
综合题探究
8.如图1，在ΔABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，E为BD的中点．
（1）若∠C＝35°，直接写出∠EAD的度数为 _________;
（2）如图2，过点D作DF⊥AD交AC于点F，过点F作FM⊥CD，垂足为M．
①求证：∠EAD＝∠FDM；
②求证：AE＝DF＋FM.
答案版
知识要点：
等腰三角形的两个底角 相等
2．等腰三角形的 顶角平分线 、底边上的高、底边上的中线 相互重合.
3．等腰三角形是 轴对称 图形，其对称轴是底边的垂直平分线.
易错点睛：
等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为32 cm.
2．已知等腰三角形的一个角为另一个角的2倍，则这角为 36°或90°
典型例题：
题型一、利用等腰三角形的性质进行计算
如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数.
解：设∠A＝x°.
∵AD=DE, ∴∠AED=∠A=x°
∵DE=EB,∠AED=∠EBD+∠BDE,
∴∠EBD=∠BDE=（x）0.
∴∠BDC=∠A+∠EBD=（x）0
∵BC=BD,
∴∠C=∠BDC=（x）0
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C= （x）0
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x＋x＋x＝180，解得x＝45．
∴∠A=45°.
解题策略利用等腰三角形的性质求角度，若没有已知角度，常通过设未知数，利用“等边对等角”、三角形外角的性质或三角形内角和定理表示相关角，构造方程求解。
变式练习：
如图，在ΔABC中，AB＝AC，∠BAC=120°，AD是边BC上的中线，且BD＝8B，∠ADE的度数为（B )
A.10° B.15° C.20° D.300
2、如图，AB//DE，ΔABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数为（ C )
A.16° B.28° C.44° D.45°
第1题 第2题
3、如图，∠A＝10°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为 100°
4、如图，在ΔABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝ 320
题型二、利用等腰三角形的性质进行证明
如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.求证：CM＝DM.
解：如图，连接AC，AD.
在ΔABC和ΔAED中，AB=AE,，∠B＝∠E,BC=ED,
∴ΔABC≌ΔAED(SAS).
∴AC=AD.
∵AM⊥CD,
∴CM=DM.
“叠合型”等腰三角形的辅助线作法：作底边上的高、作顶角平分线、连接AD并延长
变式练习：
如图，在ΔABC中，点D，E在BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.
证明：∵AB＝AC. ∴∠B=∠C.
又BD＝CE，
∴ΔABD≌ΔACE(SAS)∴AD=AE.
2、 如图，已知AB＝AC＝AD，AD//BC，求证：∠C＝2∠D．
证明：∵AB＝AC＝AD，
∴∠C=∠ABC,
∠D=∠ABD. ∵AD//BC,∴∠CBD=∠D.
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠D. ∴∠C=2∠D.
3、如图，在ΔADC中，AD＝CD，且AB//DC，CB⊥AB于点B，CELAD的延长线于点E，连接BE.求证：AC垂直平分BE.
证明：AD＝CD，
∴∠DAC=∠DCA.
∵AB//DC,
∴∠DCA=∠CAB.
∴∠DAC=∠CAB.
∵CE⊥AE,CB⊥AB,
∴∠CEA=∠CBA=90°,CE=CB.
∴点C在线段BE的垂直平分线上．

在RtΔCEA和RtΔCBA中，
AC=AC,
CE=CB,
∴RtΔCEA≌RtΔCBA(HL).
∴AE＝AB.∴点A在线段BE的垂直平分线上。
∴AC垂直平分BE.
基础训练：
1.如图，在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是 15°
2.等腰三角形的一个外角等于100°，则其顶角的度数为 20°或80°
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的度数为 70°或20°
第1题 第4题 第5题
如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2的度数为 40°.
5.如图，在ΔABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC的度数为 52°
6.如图，在四边形ABCE中，∠E＝90°，CA平分∠BCE，AB＝AC．求证：BC＝2CE．
证明：过点A作AD⊥BC于点D，证ΔADC≌ΔAEC，BC＝2CD＝2CE．
7.如图，在ΔABC中，AB＝BC，F为AC的中点，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，直线DE，与AC交于点G．求证：∠ABC＝2∠G．
证明：连接BF．
∵AB＝BC，F为AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABC＝2∠ABF．
∴∠A+∠ABF=90°∵DE⊥AB,∠A+∠G=90°. ∵∠G=∠ABF,∴∠ABC=2∠G.
综合题探究
8.如图1，在ΔABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，E为BD的中点．
（1）若∠C＝35°，直接写出∠EAD的度数为 20°;
（2）如图2，过点D作DF⊥AD交AC于点F，过点F作FM⊥CD，垂足为M．
①求证：∠EAD＝∠FDM；
②求证：AE＝DF＋FM.
解：（1）20°；
（2）①证明：∵AB＝AD，E为BD的中点，
∴AE⊥BC,∴∠EAD+∠ADE=90°.
∵AD⊥DF,∴∠ADF=90°,∴∠FDM+∠ADE=90°∴∠EAD=∠FDM;
②证明：法一，在AE上截取AN＝DF，连接DN.
∵∠EAD＝∠FDM，AD＝DC，
∴ΔAND≌ΔDFC,∠ADN=∠C,DN=FC,∠ADN=∠C=∠DAC...DN//AC,
∴∠NDE=∠C.∵AE⊥BC,FM⊥BC,∴ΔNDE≌ΔFCM,
∴NE=FM.∴AE=AN+NE=DF+FM.
法二，过点C作CH⊥DF交DF的延长线于点H，易证CH//AD.
∴∠HCF=∠DAC=∠ACB.∵FM⊥BC,CH⊥DH∵FM=FH.
易证ΔADE≌ΔDCH，∴AE＝DH＝DF＋FH＝DF＋FM.
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