资源简介

2021年湖南省长沙市雨花区广益中学中考数学一模试卷
一、选择题（木大题共12小题，共36分）
1．（3分）0，﹣，﹣1，这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．
2．（3分）截止到2021年4月6日，电影《你好，李焕英》累计票房达到53.96亿元，进入全球前100名，同时贾玲成为了全球票房最高的女导演，其中数据53.96亿用科学记数法表示为（　　）
A．53.96×108 B．5.396×1010
C．0.5396×1010 D．5.396×109
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x8÷x2＝x4（x≠0） B．（m+n）2＝m2+n2
C．3a+2b＝5ab D．（y3）2＝y6
4．（3分）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（　　）
A．4 B．5 C．10 D．15
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
7．（3分）关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．正方形的四条边相等
9．（3分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）
A．（1.2+）米 B．（1.2+）米
C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米
10．（3分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（　　）
A．300条 B．380条 C．400条 D．420条
11．（3分）为了促使药品及医用耗材的价格回归合理水平，减轻群众就医负担，国家近几年大力推进带量采购制度改革，在改革推进的过程中，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（　　）
A．100（1﹣x）2＝81 B．100（1+x）2＝81
C．100x2＝81 D．100（1﹣x%）2＝81
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．40
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13．（3分）因式分解：ax2﹣a＝　 　．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是 　 　度．
15．（3分）用圆心角为120°，半径为9的扇形围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面直径为　 　．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE＝a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为　 　．
三、解答题（本大题共9题，共72分）
17．（6分）计算°．
18．（6分）解不等式组，并求出正整数解．
19．（6分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的
北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC＝　 　度，∠C＝　 　度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
20．（8分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 　 　名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 　 　，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 　 　；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
21．（8分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
22．（9分）2021年中考在即，为了更好地调整同学们的应试状态，我校某班积极筹备体育释压活动，现决定购买一批篮球和足球共60个．已知在线下商店购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元．
（1）求在线下商店购买篮球和足球的单价；
（2）经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店篮球的单价和线下商店一样，但线上商店足球有优惠活动，足球的单价是线下的八折，若学校要求购买篮球的个数不得少于足球的个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的篮球和足球才能使得所花费用最少？并求出该费用的最小值？
23．（9分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O在AB上，以O为圆心，OB为半径画⊙O，分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，AH⊥BC，垂足分别为F、H．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）①设OB＝2，求EC的长；
②设OB＝t，求FC的长（用含t的代数式表示）．
24．（10分）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H点”，如（2，﹣3）与（﹣3，2）是一对“H点”．
（1）点（m，n）和它的“H点“均在直线y＝kx+a上，求k的值；
（2）直线y＝kx+3与抛物线y＝x2+bx+c的两个交点A，B恰好是一对“H点”，其中点A在反比例函数的图象上，求此抛物线的解析式；
（3）已知A（m，n）（m＜n），B为抛物线y＝ax2+bx+c上的一对“H点”，且满足：m+n＝2，mn＝﹣3，点P为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P满足△PAB的面积为16，求a+b+c的值．
25．（10分）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．
（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），求此二次函数的解析式及顶点M的坐标；
（2）当x1＝﹣1，c＝﹣4a时，以AB为直径的圆恰好经过点C，求经过点C且恰好与抛物线只有一个交点的直线函数解析式；
（3）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点B，满足∠PCA＝∠PBC，且tan∠PBC＝，△PBC的面积为，求a，b，c的值．
2021年湖南省长沙市雨花区广益中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（木大题共12小题，共36分）
1．（3分）0，﹣，﹣1，这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．
【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：∵﹣1＜﹣＜0＜，
∴最小的数是﹣1．
故选：A．
2．（3分）截止到2021年4月6日，电影《你好，李焕英》累计票房达到53.96亿元，进入全球前100名，同时贾玲成为了全球票房最高的女导演，其中数据53.96亿用科学记数法表示为（　　）
A．53.96×108 B．5.396×1010
C．0.5396×1010 D．5.396×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：53.96亿＝5.396×109．
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x8÷x2＝x4（x≠0） B．（m+n）2＝m2+n2
C．3a+2b＝5ab D．（y3）2＝y6
【分析】根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据合并同类项对C进行判断；根据幂的乘方对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝x6，所以A选项不符合题意；
B、原式＝m2+2mn+n2，所以B选项不符合题意；
C、3a与2b不能合并，所以C选项不符合题意；
D、原式＝x6，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（　　）
A．4 B．5 C．10 D．15
【分析】已知三角形的两边长分别为4和9，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜9+3，即6＜x＜12．
因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，
只有10符合不等式，
故选：C．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：这个立体图形的俯视图有三列，每列小正方形的个数分别为2、1、1，
故选：A．
6．（3分）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝的k＝﹣2＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴点（﹣1，y1），（﹣2，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣1＞﹣2＜0，
∴0＜y2＜y1．
∵2＞0，
∴点（，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y2＜y1．
故选：D．
7．（3分）关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】关于x的方程x2﹣2x+a＝0无实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＜0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a+1）在第一象限，
故选：A．
8．（3分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．正方形的四条边相等
【分析】先交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别根据平行线的判定方法、对顶角的定义、全等三角形的判定和正方形的判定对四个逆命题的真假进行判断．
【解答】解：A．“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题，所以A选项符合题意；
B．“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以B选项不符合题意；
C．“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以C选项不符合题意；
D．“正方形的四条边相等”的逆命题为“四条边相等的四边形为正方形”，此逆命题为假命题，所以D选项不符合题意．
故选：A．
9．（3分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）
A．（1.2+）米 B．（1.2+）米
C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米
【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝1.2米，CF＝BD＝m米，
∵∠ACF＝α，
∴tanα＝＝，
∴AF＝m tanα，
∴AB＝BF+AF＝（1.2+mtanα）（米），
即旗杆的高度为（1.2+mtanα）米，
故选：D．
10．（3分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（　　）
A．300条 B．380条 C．400条 D．420条
【分析】首先求出有记号的5条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：∵×100%＝5%，
∴20÷5%＝400（条）．
故选：C．
11．（3分）为了促使药品及医用耗材的价格回归合理水平，减轻群众就医负担，国家近几年大力推进带量采购制度改革，在改革推进的过程中，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（　　）
A．100（1﹣x）2＝81 B．100（1+x）2＝81
C．100x2＝81 D．100（1﹣x%）2＝81
【分析】利用该药品经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：100（1﹣x）2＝81．
故选：A．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．40
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．
由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13．（3分）因式分解：ax2﹣a＝　a（x+1）（x﹣1）　．
【分析】首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）．
故答案为：a（x+1）（x﹣1）．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是 　126　度．
【分析】先根据圆周角定理得到∠A＝∠BOD＝54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
【解答】解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°．
故答案是：126．
15．（3分）用圆心角为120°，半径为9的扇形围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面直径为　6　．
【分析】设这个圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝3，
所以这个圆锥的底面直径为6．
故答案为6．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE＝a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为　（6+2）a　．
【分析】先根据∠C＝30°，∠BAC＝90°，DE⊥AC可知BC＝2AB，CD＝2DE，再由AB＝AD可知点D是斜边BC的中点，由此可用a表示出AB的长，根据勾股定理可得出AC的长，由此可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，DE⊥AC，
∴BC＝2AB，CD＝2DE＝2a．
∵AB＝AD，
∴点D是斜边BC的中点，
∴BC＝2CD＝4a，AB＝BC＝2a，
∴AC＝＝＝2a，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2a+4a+2a＝（6+2）a．
故答案为：（6+2）a．
三、解答题（本大题共9题，共72分）
17．（6分）计算°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣2×+4﹣1
＝2﹣1+4﹣1
＝2+2．
18．（6分）解不等式组，并求出正整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x﹣1）﹣（x﹣5）≥0，得：x≥﹣1，
解不等式＞，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
∴其正整数解为1，2．
19．（6分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的
北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC＝　30　度，∠C＝　45　度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
【分析】（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，由三角形内角和定理即可得出∠C的度数；
（2）证出△BCP是等腰直角三角形，得出BP＝PC，求出PA＝BP，由题意得出BP+BP＝10，解得BP＝5﹣5即可．
【解答】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°；
故答案为：30，45；
（2）∵BP⊥AC，
∴∠BPA＝∠BPC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP＝PC，
∵∠BAC＝30°，
∴PA＝BP，
∵PA+PC＝AC，
∴BP+BP＝10，
解得：BP＝5﹣5，
答：观测站B到AC的距离BP为（5﹣5）海里．
20．（8分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 　40　名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 　54°　，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 　75　；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【分析】（1）由题意可得本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（名），
（2）首先可求得A级人数的百分比，继而求得∠α的度数，然后补出条形统计图；
（3）根据A级人数的百分比，列出算式即可求得优秀的人数；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（名）；
（2）∵A级的百分比为：×100%＝15%，
∴∠α＝360°×15%＝54°；
C级人数为：40﹣6﹣12﹣8＝14（名）．
如图所示：
（3）500×15%＝75（名）．
故估计优秀的人数为 75；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，
∴选中小明的概率为．
故答案为：40；54°；75．
21．（8分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；
（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．
【解答】（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE＝∠CEB，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴FG＝FE，
∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE＝FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，
∴DF＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，
∵∠FDE＝90°，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得，x＝，
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF＝×2＝．
22．（9分）2021年中考在即，为了更好地调整同学们的应试状态，我校某班积极筹备体育释压活动，现决定购买一批篮球和足球共60个．已知在线下商店购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元．
（1）求在线下商店购买篮球和足球的单价；
（2）经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店篮球的单价和线下商店一样，但线上商店足球有优惠活动，足球的单价是线下的八折，若学校要求购买篮球的个数不得少于足球的个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的篮球和足球才能使得所花费用最少？并求出该费用的最小值？
【分析】（1）设在线下商店购买篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元，列出方程组，求解即可；
（2）设学校在线上商店购买m个篮球，则购买（60﹣m）个足球，根据题意列出函数关系式，再根据m的取值范围由函数的性质求最小值．
【解答】解：（1）设在线下商店购买篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：在线下商店购买篮球的单价为80元，足球的单价为60元；
（2）设学校在线上商店购买m个篮球，则购买（60﹣m）个足球，
依题意得：m≥2（60﹣m），
解得：m≥40．
设学校在线上商店购买这些篮球和足球共花费w元，
则w＝80m+60×0.8（60﹣m）＝32m+2880．
∵32＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最小值，最小值＝32×40+2880＝4160（元）．
答：学校在线上商店购买40个篮球，20个足球时，所花费用最少，最少费用为4160元．
23．（9分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O在AB上，以O为圆心，OB为半径画⊙O，分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，AH⊥BC，垂足分别为F、H．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）①设OB＝2，求EC的长；
②设OB＝t，求FC的长（用含t的代数式表示）．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可证∠OEF＝90°，可得结论；
（2）①通过证明△BOE∽△BAC．可得 ＝ ，即可求解；
②通过证明△ABH∽△EFC，可得 ＝ ，即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，连接OE，
∵OE＝OB，
∴∠B＝∠OEB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∴∠OEF＝∠EFC，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴EF⊥OE，
∵点E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
（2）①如图2，连接OE，
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴ ＝ ，
∴＝，
∴BE＝，
∴EC＝6﹣＝；
②∵AB＝AC，
∴BH＝BC，
∵BC＝6，
∴BH＝3，
由①知： ＝ ，即＝，
∴BE＝，
∴EC＝6﹣，
∵AH⊥BC，EF⊥AC，
∴∠AHB＝∠EFC＝90°，
∵∠OBE＝∠C，
∴△ABH∽△EFC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴FC＝﹣．
24．（10分）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H点”，如（2，﹣3）与（﹣3，2）是一对“H点”．
（1）点（m，n）和它的“H点“均在直线y＝kx+a上，求k的值；
（2）直线y＝kx+3与抛物线y＝x2+bx+c的两个交点A，B恰好是一对“H点”，其中点A在反比例函数的图象上，求此抛物线的解析式；
（3）已知A（m，n）（m＜n），B为抛物线y＝ax2+bx+c上的一对“H点”，且满足：m+n＝2，mn＝﹣3，点P为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P满足△PAB的面积为16，求a+b+c的值．
【分析】（1）点（m，n）和它的“H点“均在直线y＝kx+a上，把（m，n）和（n，m）代入，得：，即可求解k＝﹣1；
（2）设A点坐标为（m，n），由题意得，解得： 或，把（1，2）和（2，1）代入y＝x2+bx+c，得方程组：，即可求解；
（3）由题意得， 或，解得点A坐标为（3，﹣1），点B坐标为（﹣1，3），根据题意得：，解得：，二次函数关系式为：y＝ax2﹣（1+2a）x+2﹣3a，
过点P作PQ∥AB交y轴于点Q，根据同底等高可得，S△ABQ＝S△ABP，根据题意可得该直线与抛物线有且只有一个交点，通过联立直线PQ与抛物线的函数关系式讨论方程组有且只有一解，即可求解．
【解答】解：（1）∵点（m，n）和它的“H点“均在直线y＝kx+a上，
把（m，n）和（n，m）代入，
得：，
两式相减得：（m﹣n）k＝（n﹣m），
∴k＝﹣1；
（2）设A点坐标为（m，n），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴mn＝2，
∵点A和它的“H点”均在直线y＝kx+3上，
由（1）得，k＝﹣1，
∴n＝﹣m+3，即m+n＝3，
由，
解得： 或，
∴这一对“H点”坐标为（1，2）和（2，1），
将这两点坐标分别代入y＝x2+bx+c，
得方程组：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+5；
（3）∵m+n＝2，mn＝﹣3，
∴ 或，
∵m＞n，
∴点A坐标为（3，﹣1），点B坐标为（﹣1，3），
根据题意得：，
解得：，
∴二次函数关系式为：y＝ax2﹣（1+2a）x+2﹣3a，
过点P作PQ∥AB交y轴于点Q，
根据同底等高可得，S△ABQ＝S△ABP，
∵该抛物线上有且仅存在3个点P满足△PAB的面积为16，
∴该直线与抛物线有且只有一个交点，
设直线AB的函数关系式为：y＝mx+n，
把A（﹣1，3）和B（3，﹣1）代入，
得，，
解得：，
∴设直线PQ的关系式为：y＝﹣x+k，
∵S△ABQ＝S△ABP＝16，
∴＝PD×（3+1）＝16，
解得：PD＝8，
①a＞0时，如图1，在AB下方有一个点P，上方必有两个点P满足条件，
点P坐标为（0，﹣6），
∴直线PQ的关系式为：y＝﹣x﹣6，
联立方程组：，
消元得：ax2﹣2ax+8﹣3a＝0，
Δ＝4a2﹣4a（8﹣3a）＝0，
解得：a＝2，
∴b＝1﹣2a＝﹣5，c＝2﹣3a＝﹣4，
∴a+b+c＝﹣7；
②a＜0时，如图1，在AB上方有一个点P，下方必有两个点P满足条件，
点P坐标为（0，10），
∴直线PQ的关系式为：y＝﹣x+10，
联立方程组：，
消元得：ax2﹣2ax﹣8﹣3a＝0，
Δ＝4a2﹣4a（﹣8﹣3a）＝0，
解得：a＝﹣2，
∴b＝1﹣2a＝3，c＝2﹣3a＝8，
∴a+b+c＝9，
综上所述：a+b+c＝﹣7或9．
25．（10分）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．
（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），求此二次函数的解析式及顶点M的坐标；
（2）当x1＝﹣1，c＝﹣4a时，以AB为直径的圆恰好经过点C，求经过点C且恰好与抛物线只有一个交点的直线函数解析式；
（3）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点B，满足∠PCA＝∠PBC，且tan∠PBC＝，△PBC的面积为，求a，b，c的值．
【分析】（1）将点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，可得：，解得方程组即可求解；
（2）连接AC，BC，当x1＝﹣1，c＝﹣4a时，由一元二次方程根与系数的关系：x1 x2＝＝＝﹣4，求出点B的坐标为（4，0），由以AB为直径的圆恰好经过点C，证出△ACO∽△CBO，得CO2＝AO BO＝1×4＝4，得﹣4a＝2，解得：a＝﹣，易求二次函数的解析式为：y＝﹣，设过点C直线的解析式为：y＝kx+2，联立方程组：，可得：﹣，通过讨论一元二次方程根的情形即可求出k的值；
（3）由tan∠PBC＝，点C的坐标为（0，c），则BO＝2c，点B坐标为（0，2c），利用一元二次方程根与系数的关系：x1 x2＝可得x1 2c＝，求出x1＝，标表示出点A坐标为（，0），由顶点坐标M（﹣，），C（0，c），用待定系数法表示出直线MC的解析式为：y＝，点P坐标为（﹣，0），再相似得PC2＝PA PB，勾股定理得PC2＝OP2+OC2＝（﹣）2+c2＝+c2，得+c2＝（+）（2c+），c2＝，利用整体思想先求出b的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出a，c的值．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：＝﹣，
∴顶点坐标为（1，）；
（2）连接AC，BC，
当x1＝﹣1，c＝﹣4a时，
∴A点坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，﹣4a），
由一元二次方程根与系数的关系：x1 x2＝＝＝﹣4，
∴x2＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
∵以AB为直径的圆恰好经过点C，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠BCO＝∠CAO，∠AOC＝∠COB，
∴△ACO∽△CBO，
∴＝，
∴CO2＝AO BO＝1×4＝4，
∴﹣4a＝2，解得：a＝﹣，
c＝﹣4a＝2，
把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+2，
﹣﹣b+2＝0，解得：b＝，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣，
∴点C的坐标为（0，2），
设过点C直线的解析式为：y＝kx+2，
联立方程组：，
可得：﹣，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴△＝（﹣k）2＝0，
解得：k＝，
∴直线函数的解析式为：；
（3）∵tan∠PBC＝，点C的坐标为（0，c），
则BO＝2c，点B坐标为（0，2c），
由一元二次方程根与系数的关系：x1 x2＝可得x1 2c＝，
∴x1＝，
∴点A坐标为（，0），
∵顶点坐标M（﹣，），C（0，c），
直线MC的函数关系式为：y＝mx+n，
根据题意得，，
解得：，
∴直线MC的解析式为：y＝，
∴点P坐标为（﹣，0），
由此可得PA＝，PB＝2c+，
∵∠PCA＝∠PBC，∠CPA＝∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴＝，
∴PC2＝PA PB，
PC2＝OP2+OC2＝（﹣）2+c2＝+c2，
∴+c2＝（+）（2c+），
∴c2＝，
∴c＝＝①，
把点B（2c，0）代入二次函数解析式，
得：4ac2+2bc+c＝0，
∴4ac+2b+1＝0，
∴4ac+b+1＝﹣b②，
将②式代入①式得，c＝﹣＝﹣，
将c＝﹣代入4ac+2b+1＝0，
得，﹣4+2b+1＝0，
解得：b＝∴，
∴P的坐标为（﹣，0），
又∵SPB CO＝（2c+） c＝，
∴，
解得，c＝（﹣舍去），
又∵c＝﹣＝﹣，
综上所述：，，．

展开更多......

收起↑