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知识点 最新考纲
函数及其表示 了解函数、映射的概念． 了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
函数的基本性质 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.
指数函数 了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算． 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
对数函数 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式． 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
幂函数 了解幂函数的概念． 掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质.
函数与方程 了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
函数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征． 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.
第1讲　函数及其表示
1．函数的概念
(1)函数的定义
①A，B是两个非空数集．
②对于A中任意一元素x，B中都有唯一确定的元素y与之对应．
(2)定义域：x的取值范围A.
(3)值域：函数值的集合．
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
特别提醒
1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
常见误区
1．函数定义域是研究函数的基础依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的取值范围．
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是相等函数．(　　)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
[诊断自测]
1．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的定义域为(　　)
A．(－∞，3)　 B．(－∞，2)∪(2，3]
C．(－∞，2)∪(2，3) D．(3，＋∞)
解析：选C．要使函数有意义，则即即x<3且x≠2，即函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，3)，故选C．
2．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是(　　)
解析：选C．A项，函数定义域为M，但值域不是N；B项，函数定义域不是M，值域为N；D项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C项．
3．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；
③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝ Q，所以③不是函数．
答案：③
4．已知f()＝x－1，则f(x)＝________．
解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)
函数的定义域(自主练透)
1．函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(　　)
A．(2，＋∞) B．(1，2)
C．(0，2) D．[1，2]
解析：选B．要使函数有意义，则
解得1所以函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(1，2)．
2．若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数的定义域为(　　)
A．(0，3) B．[1，3)∪(3，8]
C．[1，3) D．[0，3)
解析：选D．因为函数f(x)的定义域为[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以函数的定义域为[0，3)．
3．如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选D．因为－2x＋a>0，
所以x<，所以＝1，所以a＝2.
4．若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0对x∈R恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则
解得0答案：[0，4]
eq \a\vs4\al()
求函数定义域的两种方法
方法 解读 适合题型
直接法 构造使解析式有意义的不等式(组)求解 已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域
转移法 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域 已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域
[提醒]　定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．　
函数的解析式(师生共研)
(1)已知函数f＝lg x，则f(x)的解析式为________．
(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
【解析】　(1)(换元法)令＋1＝t，
得x＝，因为x＞0，所以t＞1，
所以f(t)＝lg(t>1)，
即f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3，
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以
所以
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.
【答案】　(1)f(x)＝lg(x＞1)
(2)f(x)＝x2－x＋3　(3)f(x)＝2x
eq \a\vs4\al()
求函数解析式的4种方法
　
1．(一题多解)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．
解析：方法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，
则x＝，
所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
答案：x2－5x＋9(x∈R)
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实数根，且f′(x)＝2x＋2；求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋c.又因为方程f(x)＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝4－4c＝0，解得c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
分段函数(多维探究)
角度一　求分段函数的函数值
已知a>0且a≠1，函数f(x)＝若f(0)＋f(2)＝0，则a＝________，f(f())＝________．
【解析】　易知f(0)＝－1.因为f(0)＋f(2)＝0，所以f(2)＝1，即loga2＝1，得a＝2.所以函数f(x)＝所以f＝log2＝－1，f＝f(－1)＝＝－.
【答案】　2　－
eq \a\vs4\al()
分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应由内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．　
角度二　分段函数与方程、不等式问题
(1)(一题多解)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知函数f(x)＝则f(x)【解析】　(1)方法一：当0＜a＜1时，a＋1＞1，
所以f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，
所以a＝.
此时f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1＞1，
所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6，故选C．
方法二：因为当0＜x＜1时，f(x)＝，为增函数，
当x≥1时，f(x)＝2(x－1)，为增函数，
又f(a)＝f(a＋1)，
所以＝2(a＋1－1)，
所以a＝.
所以f＝f(4)＝6.
(2)当x≤0时，x＋1≤1，易知f(x)单调递增，所以f(x)＜f(x＋1)恒成立；当0＜x≤1时，1＜x＋1≤2，所以f(x)∈(1，2]，f(x＋1)∈[－1，0)，则f(x)＜f(x＋1)不成立；当x＞1时，f(x)＜f(x＋1)可化为x2－4x＋3＜(x＋1)2－4(x＋1)＋3，解得x＞，所以x＞.综上，f(x)＜f(x＋1)的解集为(－∞，0]∪.
【答案】　(1)C　(2)(－∞，0]∪
eq \a\vs4\al()
求解分段函数与方程、不等式问题的方法
方法一：解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
方法二：如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．　
1．已知函数f(x)＝若f＝－6，则实数a的值为________，f(2)＝________．
解析：由题意得，f＝3×＋1＝3，
所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6，
所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6.
答案：－5　－6
2．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．
解析：由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；
若x>0，则|log2x|＝，
解得x＝2或x＝2 eq \s\up6(－).
故所求x的集合为.
答案：
3．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
解析：当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
函数的新定义问题(师生共研)
在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；
③h(x)＝；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是(　　)
A．①②③④ B．①③
C．①④ D．④
【解析】　对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；
对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B．故选C．
【答案】　C
eq \a\vs4\al()
(1)函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
(2)破解函数的新定义题的关键：紧扣新定义函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．　
1．若函数f(x)满足：对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f(x1)＋f(x2)>2f()，则称函数f(x)具有H性质，则下列函数不具有H性质的是(　　)
A．f(x)＝()x B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝x2(x≥0) D．f(x)＝tan x(0≤x<)
解析：选B．若对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f(x1)＋f(x2)＞2f，则点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的中点在点的上方，示意图如图所示
.根据基本初等函数f(x)＝，f(x)＝ln x，f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan x的图象可知，函数f(x)＝，f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan x具有H性质，函数f(x)＝ln x不具有H性质，故选B．
2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1) x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2) x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x.
以上三个函数中，________是“优美函数”．(填序号)
解析：由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．
答案：②

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