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3.1.1函数的概念
知识点一　函数的有关概念
1.函数的概念
函数的定义 一般地，设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
函数值 与x的值相对应的y值
值域 函数值的集合叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集
【思考】
(1)在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
(2)如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？
【提示】
（1）确定，一一对应
（2）不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可．
2．函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．
3．同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．
如y＝x与y＝3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． (　　)
(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． (　　)
(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y. (　　)
(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×
2．若f(x)＝x2－，则f(3)＝________.
【答案】7
【解析】f(3)＝9－＝9－2＝7.
3．函数f(x)＝的定义域是________．
【答案】{x|x<4}
【解析】由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域是{x|x<4}．
4．给出下列三组函数，其中表示同一函数的是________(填序号)．
①f(x)＝x，g(x)＝；
②f(x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1；
③f(x)＝x，g(x)＝.
【解析】
【解析】①中f(x)＝x与g(x)＝的定义域不同，不是同一函数；②中f(x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1虽然自变量
不同，但定义域和对应关系相同，是同一函数；③中f(x)＝x与g(x)＝定义域相同对应关系也相同，是同
一函数．
知识点二　区间及相关概念
1.区间的概念
设a，b是两个实数，而且a＜b，我们规定：
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为；
(2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为；
(3)满足不等式a≤x这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．
实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”
读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，
x＜b的实数x的集合，用区间分别表示为，，，(－∞，b)．
2．区间的几何表示
区间还可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的
端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a＜x＜b} 开区间
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
{x|x≥a} －
{x|x>a} － (a，＋∞)
{x|x≤b} －
{x|x＜b} － (－∞，b)
【基础自测】
1．区间(0,1)等于 (　　)
A．{0,1}　　　　　　B．{(0,1)} C．{x|0＜x＜1} D．{x|0≤x≤1}
【答案】C
2．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.
【答案】(1)[1，＋∞)　(2)(2,4]　(3)(－1,2)∪(2，＋∞)
3．设A＝(－6,1]，B＝(－1,9]，则A∩B＝________.
【答案】
题型一　函数的概念
【例1】　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 (　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】①中，因为在集合M中当1(2)下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是(　　)
A．M＝{x|x∈Z}，N＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y，其中y＝
B．M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝±2x
C．M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝x2
D．M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝
【答案】C
【解析】对于A，M中的奇数在N中无元素与之对应y，不是x的函数；
对于B，M中每个元素在N中都有两个不同元素与之对应，y不是x的函数；
对于C，M中每个元素在N中都有唯一元素与之对应，y是x的函数；
对于D，M中x＝0在N中没有元素对应，y不是x的函数，故选C.
【方法技巧】
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．　　
【变式训练】
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是 (　　)
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
【答案】B　
【解析】A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C
错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．
2．(多选)下列对应为函数的是 (　　)
A．x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}
B．x→y＝6－x，x∈{x|1＜x≤6}，y∈{y|0＜y≤5}
C．t→s＝t2＋t＋1
D．x→y＝±，x∈{x|x＞0}，y∈{y|y≠0}
【答案】AC　
【解析】对于A，符合函数的定义，所以是函数；对于B，当x＝6时，y＝0不在
集合{y|0＜y≤5}中，不符合函数的定义，所以不是函数；对于C，符合函
数的定义，所以是函数；对于D，对于x＞0，都有两个元素y＝±与之
对应，不符合函数的定义，所以不是函数．故选A、C.
题型二　已知函数解析式求定义域
【例2】求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝3－x；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝.
【解析】(1)函数f(x)＝3－x的定义域为R.
(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2＞0，即x＞－2，所以x＞－2且x≠－1.
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x＞－2且x≠－1}．
(3)要使函数f(x)有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5，且x≠±3，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．
(4)要使函数f(x)有意义，则
即解不等式组得－1≤x<1.
因此函数f(x)的定义域为[－1,1)．
【深化探究】
(1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2]，则函数f(x＋1)定义域是什么？已知f(x)的定义域如何求f(g(x))的定义域？
【提示】由1≤x＋1≤2，得0≤x≤1，由此得函数f(x＋1)定义域是[0,1]．
已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围．
(2)若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？已知f(g(x))的定义域如何求f(x)的定义域？
【提示】[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的取值范围[2,3]．已知f(g(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x))中的x的取值范围为B，求g(x)的范围(值域)，即为f(x)的定义域．　　　
【方法技巧】
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
【变式训练】
1．函数f(x)＝的定义域为________．
【答案】{x|x≥0且x≠1}．
【解析】要使有意义，需满足解得x≥0且x≠1，故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．
2．函数y＝的定义域为________．
【答案】∪
【解析】要使函数有意义，需满足解得－2≤x≤3，且x≠.
题型三　求函数的值、值域问题
【例3】(1)f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，则f(2)＝________；g(f(2))＝________；g(a)＋g(0)(a≠－2)＝________.
(2)求下列函数的值域：
①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
③y＝；④y＝2x－.
【解析】(1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
又因为g(x)＝，
所以g(f(2))＝g(10)＝＝，g(a)＋g(0)＝＋(a≠－2)．
(2)①观察法：因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
②配方法：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
③分离常数法：y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
④换元法：设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.
【方法技巧】
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到
配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域
分离常数法 此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域
换元法 即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法
【变式训练】
1．[变条件]在本例(1)的条件下，若f(b)＝10，求b的值．
【解析】因为f(x)＝2x2＋2，所以f(b)＝2b2＋2＝10，解得b＝±2.
2．[变设问]在本例(1)的条件下，判断点(3,20)是否在函数f(x)的图象上．
【解析】因为f(3)＝2×32＋2＝20，所以点(3,20)在函数f(x)的图象上．
3．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝.
【解析】(1)因为≥0，所以＋1≥1，
即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)因为y＝＝－1＋，
又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，则y∈(－1,1]．
所以所求函数的值域为(－1,1]．
题型四　同一个函数的判断问题
[探究发现]
在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？两个函数相等必须具备什么条件？
【提示】起决定作用的是函数的对应关系和定义域，因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定；当两个函数的定义域和对应关系相同时，这两个函数就相等．
【例4】下列各组函数中，表示同一函数的是 (　　)
A．y＝·与y＝
B．y＝|x|与y＝
C．y＝x与y＝
D．y＝与y＝x0
【答案】D
【解析】A选项：y＝·的定义域为{x|x≥2}，y＝的定义域为{x|x≤－2或x≥2}，
∴两函数不是同一函数．
B选项：y＝|x|与y＝的定义域均为R，y＝＝x，可知两函数的对应关系不同，
∴两函数不是同一函数．
C选项：y＝x与y＝的定义域均为R，y＝＝|x|，可知两函数的对应关系不同，
∴两函数不是同一函数．
D选项：y＝与y＝x0的定义域均为{x|x≠0}，y＝＝1＝x0，可知两函数的对应关系相同，
∴两函数是同一函数．故选D.
【方法技巧】
判断两函数为同一个函数的方法
判断两函数是否为同一个函数，关键是树立定义域优先的原则．
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．　　
【变式训练】
判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数？
(1)f(x)＝，g(x)＝x－5；
(2)y＝·，y＝.
【解析】(1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．
(2)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一函数．
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．有一道题“若函数y＝的定义域为一切实数，求k的取值范围”，某位同学给出了如下解题过程：
【解析】由y＝的定义域为一切实数，可知分母kx2＋4kx＋
3≠0对一切实数x恒成立，∴Δ＝(4k)2－4k·3<0，解得0分析以上的解题过程是否正确，若不正确，请说明理由
【提示】错误的原因是没有对k的值进行分类讨论，当k＝0时，kx2＋4kx
＋3＝3不是二次函数，但是能成立．
【正解如下】
由y＝的定义域为一切实数可得分母kx2＋4kx＋3≠0对x∈R恒成立．当k＝0时，kx2＋4kx＋3
＝3≠0对x∈R恒成立．当k≠0时，Δ＝(4k)2－4k·3<0，解得0域为一切实数．
二、应用性——强调学以致用
2．有一个半径为R的圆的内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的
直径，上底CD的端点在圆上，写出这个梯形的周长y与腰长x之间的
函数关系式，并求出其定义域．
[析题建模]
利用等腰梯形的性质，求出上底与腰长x之间的关系即可表示出周长y
与腰长x之间的函数关系式，再根据实际意义求出x的取值范围．
【解析】如图所示，腰长AD＝BC＝x，作DE⊥AB于点E，连接BD.
因为AB是⊙O的直径，C，D在圆上，所以∠ADB＝90°，所以△EDA∽△DBA，即AD2＝AE·AB，所以AE＝，所以CD＝AB－2AE＝2R－，所以周长y与腰长x之间的函数关系式为y＝2R＋2x＋＝－＋2x＋4R.
因为四边形ABCD的各边长都为正数，
所以AD＞0，CD＞0，即解得0＜x＜R，
所以所求函数的定义域为{x|0＜x＜R}．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解
析式为y＝2x2－3，值域为{－1,5}的“孪生函数”共有 (　　)
A．7个　　　　　　　　 B．8个
C．9个 D．10个
【答案】C
【解析】由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝2x2－3，值域为{－1,5}，由
2x2－3＝－1得，x＝±1；由2x2－3＝5得，x＝±2.则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，
{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“孪生函数”共有9个．
1．区间(－3,2]用集合可表示为(　　)
A．{－2，－1,0,1,2}　　　 B．{x|－3＜x＜2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－3≤x≤2}
【答案】C
【解析】由区间和集合的关系，可得区间(－3,2]可表示为{x|－3＜x≤2}，故选C.
2．(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有(　　)
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D．A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，f：A中的数的2倍
【答案】AD
【解析】A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系．
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－2和y＝
B．y＝x－1和y＝
C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
【答案】D
【解析】A中的函数定义域不同；B中函数的对应关系不同；C中两函数的对应关系不同，故选D.
4．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．2
【答案】A
【解析】∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
【答案】B
【解析】y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意知3a－1>a，则a>.
7．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
【答案】C
【解析】∵x＝1,2,3,4,5，且f(x)＝2x－3.
∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
8．设f(x)＝，则f(f(x))＝________.
【答案】(x≠0，且x≠1)
【解析】f(f(x))＝＝＝.
9．求函数y＝的定义域，并用区间表示．
【解析】要使函数解析式有意义，需满足：即
所以－2≤x≤3且x≠.
所以函数的定义域是.用区间表示为∪.
10．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(3)的值；
(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．
【解析】(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝－.
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－，
f(g(x))＝＝＝(x≠0)．
11．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x|　　　　　 B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
【答案】ABD
【解析】在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．
12．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q.那么f(72)等于(　　)
A．p＋q B．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
【答案】B
【解析】因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，
所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
f(8)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，
所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.
13．(一题两空)若函数f(x)的定义域为[－2,1]，则y＝f(x)＋f(－x)的定义域为________；y＝f(2x＋1)的定义域为________．
【答案】 [－1,1]　
【解析】由题意，得即－1≤x≤1.
故y＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1,1]．
由－2≤2x＋1≤1，得－≤x≤0，即函数y＝f(2x＋1)的定义域为.
14．试求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)y＝(x－1)2＋1；
(3)y＝；
(4)y＝x－.
【解析】(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，当x＝－1时，y＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2－.又t≥0，故f(t)≥－.所以函数的值域是.
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的结论；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 020)＋f的值．
【解析】(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1.
证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2 020)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 020)＋f＝2 019.
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