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3.1.2.2分段函数
知识点　分段函数的定义及本质
分段函数的定义及本质
(1)定义：分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)本质：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
【提醒】
(1)分段函数是一个函数而不是几个函数．解决分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．
(2)作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．
(3)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且指明各段函数自变量的取值范围．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成． (　　)
(2)分段函数有多个定义域． (　　)
(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线． (　　)
(4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示． (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√
2．f(x)＝|x－1|的图象是 (　　)
【答案】B
【解析】∵f(x)＝|x－1|＝当x＝1时，f(1)＝0，
可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除D.
3．函数y＝的定义域为____________，值域为___________．
【答案】(－∞，0)∪(0，＋∞)　{－2}∪(0，＋∞)
4．已知函数f(x)＝则f(2)＝________.
给出下列三组函数，其中表示同一函数的是________(填序号)．
①f(x)＝x，g(x)＝；
②f(x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1；
③f(x)＝x，g(x)＝.
【解析】1
【解析】f(2)＝＝1.
题型一　分段函数的定义域、值域
【例1】(1)已知函数f(x)＝，则其定义域为 (　　)
A．R　　　　　　B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
【答案】(1)D　(2)(－1,1)　(－1,1)
【解析】(1)要使f(x)有意义，需x≠0，
故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由已知得定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0}＝{x|－1＜x＜1}，即(－1,1)．又0＜x＜1时，0＜－x2＋1＜1；－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0；x＝0时，f(x)＝0.故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)．
【方法技巧】
求分段函数定义域、值域的策略
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集；
(3)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　　
【变式训练】
1．函数f(x)＝的值域是 (　　)
A．R B．[0，＋∞) C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
【答案】D
【解析】当x∈[0,1]时，f(x)＝2x2∈[0,2]，所以函数f(x)的值域为[0,2]∪{2,3}＝[0,2]∪{3}．
2．已知函数f(x)＝求函数f(x)的定义域和值域．
【解析】由已知定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R.又x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．
题型二　分段函数求值问题
【例2】已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值；
(3)若f(x)>2x，求x的取值范围．
【解析】(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f＝－＋1＝－，且－2<－<2，
∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；
当－2∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，
∴a＝1符合题意；
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
(3)当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，
即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为x2＋2x>2x，
即x≠0，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ .
综上可得，x的取值范围是{x|x＜0或0＜x＜2}．
【方法技巧】
1．求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．　　
【变式训练】
1．[求函数值]设f(x)＝则f(f(－2))＝________.
【答案】2
【解析】∵f(－2)＝(－2)2＝4，∴f(f(－2))＝f(4)＝4－2＝2.
2．[求自变量的值]函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
【解析】当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍去)；
当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.
综上可知，x0＝－或x0＝10.
3．[分段函数与不等式]已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是________．
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，
令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3，
所以当f(x)＞f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．
题型三　分段函数的图象及应用
【例3】(1)已知f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式．
(2)已知函数f(x)＝1＋(－2①用分段函数的形式表示函数f(x)；
②画出函数f(x)的图象；
③写出函数f(x)的值域．
【解析】(1)当0≤x≤1时，f(x)＝－1；
当1则解得此时f(x)＝x－2.
综上，f(x)＝
(2)①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，当－2所以f(x)＝
②函数f(x)的图象如图所示．
③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
【方法技巧】
1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
【方法技巧】
2．作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心圈．
【变式训练】
1.[由函数的图象确定其解析式]已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
【答案】
【解析】由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，
(0,1)代入解析式，则∴
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1.
∴f(x)＝
2．[利用函数图象确定值域]设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．
【解析】当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
故y＝
根据函数解析式作出函数图象，如图所示．
由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}．
3．[画分段函数的图象]作出函数f(x)＝的图象．
【解析】画出一次函数y＝－x－1的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函
数y＝x2－x－2的图象，取(－1,2]上的一段；画出一次函数y＝x－2的图象，取
(2，＋∞)上的一段，如图所示．
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．下面是解“已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，求a的值”的过程：
【解析】由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即2－a＝－1－3a，∴a＝－.
分析以上的解题过程是否正确，若不正确，请说明理由
【提示】不正确.含字母的自变量范围不确定，应分类讨论.
＋3＝3不是二次函数，但是能成立．
【正解如下】
当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a，
由2－a＝－1－3a，得a＝－＜0，不合题意，舍去；
同理，当a＜0时，由－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，得a＝－，符合题意．
综上可知，a＝－.
二、应用性——强调学以致用
2．某村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度
0.6元收取；
方案二：不收管理费，每度0.58元．
(1)求方案一L(x)收费(元)与用电量x(度)间的函数关系；
(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？
(3)老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二更好？
【解析】(1)当0≤x≤30时，L(x)＝2＋0.5x；
当x＞30时，L(x)＝2＋30×0.5＋(x－30)×0.6＝0.6x－1，
所以L(x)＝
(2)当0≤x≤30时，由L(x)＝2＋0.5x＝35，得x＝66(舍去)，
当x＞30时，L(x)＝0.6x－1＝35，得x＝60，所以老王家该月用电60度．
(3)设方案二收费F(x)，则F(x)＝0.58x，
当0≤x≤30时，由L(x)＜F(x)，得2＋0.5x＜0.58x，解得x＞25，∴25＜x≤30，
当x＞30时，由L(x)＜F(x)，得0.6x－1＜0.58x，解得x＜50，∴30＜x＜50，
综上，25＜x＜50，故老王家用电量在(25,50)范围内时，选择方案一比选择方案二更好．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：
(1)试确定y与x的函数关系式；
(2)求f(－3)，f(1)的值；
(3)若f(x)＝16，求x的值．
【解析】(1)由题意，当x≥1时，y＝(x＋2)2；
当x＜1时y＝x2＋2，所以y＝
(2)当x＝－3时，f(－3)＝(－3)2＋2＝11；
当x＝1时，f(1)＝(1＋2)2＝9.
(3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，
解得x＝2或x＝－6(舍去)；
若x＜1，则x2＋2＝16，
解得x＝(舍去)或x＝－.
所以x＝2或x＝－.
1．函数f(x)＝x＋的图象是(　　)
【答案】C
【解析】依题意，知f(x)＝x＋＝所以函数f(x)的图象为选项C中的图象．故选C.
2．已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．9
C．－1或1 D．－或
【答案】A
【解析】依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0＜x≤3，则x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝.故选A.
3．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D[D(x)]＝(　　)
A．0 B．1
C. D.
【答案】B
【解析】∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，∴D[D(x)]＝1.
4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f 等于(　　)
A．－ B．
C．－ D.
【答案】B
【解析】由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝所以f＝－1＝－，所以f ＝f＝－＋1＝.
5．设函数f(x)＝则(a≠b)的值为(　　)
A．a B．b
C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
【答案】C
【解析】若a－b＞0，即a＞b，f(a－b)＝－1，
则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b，
若a－b＜0，即a＜b，f(a－b)＝1，
则＝[(a＋b)＋(a－b)]＝a.
综上所述，为a，b中较小的数．
6．已知f(x)＝则f＋f＝________.
【答案】4
【解析】∵f(x)＝
∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，
∴f＋f＝＋＝4.
7．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝a，则实数a＝________.
【答案】
【解析】依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.
8．已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是________．
【答案】{2}∪[－1,1]
【解析】设f(x)＝t，∴f(t)＝2，当t∈[－1,1]时，满足f(t)＝2，此时－1≤f(x)≤1，无解；当t＝2时，满足f(t)＝2，此时f(x)＝2，即－1≤x≤1或x＝2.
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
【解析】(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，
f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，
由x－4＝8，得x0＝±2(舍去)；
当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.∴x0＝4.
10．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
【解析】(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
11．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．若f(x)＝3，则x的值是
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
【答案】BC
【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－112．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是(　　)
A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|x＜0}
【答案】A
【解析】当x≥0时，f(x)＝1，xf(x)＋x≤2 x≤1，
所以0≤x≤1；当x＜0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2 x≤2，
所以x＜0，综上，x≤1.
13．(一题两空)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________，________.
【答案】60　16
【解析】因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15.①
由题意知4＜A，且＝＝30.②
由①②解得c＝60，A＝16.
14．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．
(1)求f(f(0))的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
【解析】(1)直接由图中观察，可得f(f(0))＝f(4)＝2.
(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将与代入，
解得得
∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．
同理，线段BC所对应的函数解析式为
y＝x－2(2∴f(x)＝
15．甲、乙两车同时沿某公路从A地出发，驶往距离A地300 km的B地，甲车先以75 km/h的速度行驶，在到达A，B中点C处停留2 h后，再以100 km/h的速度驶往B地，乙车始终以v(单位：km/h)的速度行驶．
(1)将甲车距离A地的距离f(t)(单位：km)表示为离开A地的时间t(单位：h)的函数，求出该函数的解析式并画出函数的图象；
(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A，B两地)试求乙车行驶速度v的取值范围．
【解析】(1)f(t)＝
它的图象如图①所示：
(2)由已知，得乙车离开A地的距离g(t)(单位：km)表示为离开A地的时间t(单位：h)的函数为g(t)＝vt，其图象是一条线段，如图②所示．
由图象，知当此线段经过点(4,150)时，v＝；
当此线段经过点时，v＝.
故当21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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