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考点16 解直角三角形
【考点总结】一、直角三角形的性质
1．直角三角形的两锐角互余．
2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【考点总结】二、直角三角形的判定
1．有一个角等于90°的三角形是直角三角形．
2．有两角互余的三角形是直角三角形．
3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．
4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
【考点总结】三、锐角三角函数定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
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sin A==；
cos A＝＝；
tan A＝＝.
【考点总结】四、特殊角的三角函数值
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【考点总结】五、解直角三角形
1．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：
sin A＝，cos A＝，tan A＝，
sin B＝，cos B＝，tan B＝.
2．解直角三角形的几种类型及解法：
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，
其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)；
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，
其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A(或b＝)；
(3)已知两直角边a，b，
其解法为：c＝，
由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，
其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A．
【考点总结】六、解直角三角形的应用
1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．21世纪教育网版权所有
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2．坡角与坡度：坡角是坡面与水 ( http: / / www.21cnjy.com )平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．21教育网
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一、单选题
1．（2021·上海杨浦区·九年级一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（ ）2-1-c-n-j-y
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【分析】
根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，即可得出答案．
【详解】
解：根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，可知，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°，【来源：21cnj*y.co*m】
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确理解是解题的关键．
2．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（ ）
A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50°
【答案】A
【分析】
根据三角函数的定义即可求解．
【详解】
解：∵cosB＝，
∴BC＝ABcosB＝10cos50°．
故选：A．
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【点睛】
此题主要考查三角函数的定义．余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝．【出处：21教育名师】
3．（2021·上海徐汇区·九年级一模）在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．
【详解】
根据勾股定理可得：，
则；；；；
故选：D．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键．
4．（2021·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】
如图，过P作PA⊥x轴于A，根据，得到OA=1，PA=3，由∠POA=，利用角的正切值等于对边比邻边求出答案．
【详解】
如图，过P作PA⊥x轴于A，
∵，
∴OA=1，PA=3，
在Rt△OPA中，∠POA=,
∴tan=tan∠POA==3，
故选：D．
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【点睛】
此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离，锐角三角函数值的计算，正确掌握正切值计算公式是解题的关键．
5．（2021·上海金山区·九年级一模）在中，，那么锐角的正弦等于（ ）
A． B． C． D．．
【答案】B
【分析】
根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．
【详解】
在中，，那么锐角的正弦=，
故选：B．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义．
6．（2021·上海金山区·九年级一模）若是锐角，，那么锐角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由sin45°=可得=45°即可确定．
【详解】
解：∵sin45°=，，是锐角
∴=45°，即=30°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定=45°成为解答本题的关键．
7．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）给出以下四个命题：
①以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现在价格的基础上先提价40%，后降价50%进行销售，商家还能有利润；
②数据x1，x2，x3，x4的方差是3，则数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差还是3；
③若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则母线AB与高AO的夹角为30°；
④已知关于a的一次函数y=2ax2+2x-3(x≠0)在-1≤a≤1上函数值恒小于零，则实数x的取值范围为--其中正确命题的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
①根据题意设该商品的成本为x元，可得售价为1.82x(1-50%)=0.91x(元)，小于成本x元；②已知数据x1，x2，x3，x4的方差是3，由题意可得新数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1，方差还是3；③如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，利用正弦值为=，可得夹角为30°；④已知关于a的一次函数y=2ax2+2x-3(x≠0)a的系数2x2>0，因此该一次函数值y随自变量a的增大而增大，可得当a=1时y最大，只需保证当a=1时y<0，求出x的范围即可；
【详解】
①设该商品的成本为x元，以现价销售这件商品 ( http: / / www.21cnjy.com )的利润率为30%，则这件商品的现价为1.3x元，在现在价格的基础上提价40%，售价为1.3x(1+40%)=1.82x(元)，再降价50%,售价为1.82x(1-50%)=0.91x(元)，小于成本x元，
∴①错误；
②已知数据x1，x2，x3，x4 ( http: / / www.21cnjy.com )的方差是3，由题意可得新数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的每个数都比原数据大1，新数据的波动性不变，
∴新数据与原数据方差相同，则数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差还是3，
∴②正确;
③如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则πl=2πr，
∴l=2r，
∴母线AB与高AO的夹角的正弦值为=，
∴母线AB与高AO的夹角为30°,
∴③正确;
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④已知关于a的一次函数y=2ax2+2x-3 ( http: / / www.21cnjy.com )(x≠0)在-1≤a≤1上函数值恒小于零，由于a的系数2x2>0，因此该一次函数值y随自变量a的增大而增大，
∴只需保证当a=1时y<0即可保证函数在-1≤a≤1上函数值恒小于0，即2x2+2x-3<0，解得实数x的取值范围为--∴④正确.
故选C．
【点睛】
本题主要考查了命题，应用 ( http: / / www.21cnjy.com )的知识点主要有：商品销售问题，方差，圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长;注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数，以及一次函数的增减性等知识点，解决本题的关键是对概念要理解透彻做题要细心．【来源：21·世纪·教育·网】
8．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在中，如果，，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】
根据特殊的三角函数值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判断三角形的形状．
【详解】
∵ ，，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴ ∠A＋∠B＝90°，
∴ 这个三角形一定是直角三角形，
故选：D．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．
9．（2021·上海黄浦区·九年级一模）对于锐角，下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据同角的三角函数关系逐一判断即可．
【详解】
解：A．，故本选项正确；
B．，故本选项错误；
C． ，故本选项错误；
D． ，故本选项错误．
故选A．
【点睛】
此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键．
10．（2021·上海静安区·九年级一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．
【详解】
解：根据题意作图如下：
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由题意知：AB=m，∠A=，
∴，
∴，
即，
故选：B．
【点睛】
此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．
11．（2021·上海静安区·九年级一模）如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．
【详解】
∵，，
而，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键．
12．（2021·四川成都市·成都实外九年级开学考试）已知海面上一艘货轮在灯塔的北偏东方向，海监船在灯塔的正东方向海里处，此时海监船发现货轮在它的正北方向，那么海监船与货轮的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】B
【分析】
根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可．
【详解】
根据题意建立如图所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，
∴，
故选：B．
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【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，准确根据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键．
13．（2021·上海宝山区·九年级一模）在中，，，，那么的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据正弦的定义解答即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
则sinA=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
14．（2021·上海崇明区·九年级一模）在中，，如果，，那么的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用勾股定理可求出AB的长，根据正弦函数的定义即可得答案．
【详解】
∵，，，
∴AB==10，
∴sinA==，
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型．
15．（2021·上海九年级一模）在中，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出草图，根据锐角的正弦=列式即可．
【详解】
解：如图，∵∠C=90°，
∴cosA=．
故选：B．
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【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．（2021·上海松江 ( http: / / www.21cnjy.com )区·九年级一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）www.21-cn-jy.com
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A．15千米 B．10千米 C．千米 D．千米
【答案】C
【分析】
根据题意，利用，根据锐角三角函数求出AD和BD的长，从而得到CD的长，再用勾股定理求出AC的长．
【详解】
解：如图，
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根据题意，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．
17．（2021·上海奉贤区·九年级一模）在中，，如果 ，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据，即可得出AB的值
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，
又∵
∴AB=4
故选：B．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，联结，如果，，那么的值是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】
证明△BAC∽△FEC，得，进一步得出结论．
【详解】
解：∵，DF⊥AB，
∴∠ACB=∠FCE=∠BDE=90°
又∠FEC=∠BED
∴∠F=∠B
∴△ABC∽△EFC
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．21教育名师原创作品
19．（2021·上海九年级专题练习）已知在中，，，，那么AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
sinβ=，
∴AC=AB sinβ=5sinβ，
故选：B．
【点睛】
本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
20．（2021·上海九年级专题练习）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（ ）21*cnjy*com
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【答案】B
【分析】
如图，画出简图，根据切线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质可得∠OCA=90°，根据∠AOC的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多边形的中心角为90°，即可求出多边形的边数．
【详解】
如图，OA、OC分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长，
∴OC⊥AB，
∴∠OCA=90°，
∵外接圆半径是其内切圆半径的倍，
∴cos∠AOC==，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOB=90°，即此多边形的中心角为90°，
∴此多边形的边数=360°÷90°=4，
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故选：B．
【点睛】
本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
21．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知在中，，，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据锐角三角函数的定义得出sinA＝，代入求出即可．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，
∴sinA＝，
∴AB＝=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
22．（2021·广东九年级专题练习）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形， ( http: / / www.21cnjy.com )故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长．
【详解】
延长CE交AB于F，如图，
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根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF=,
AB=AF+BF=，
故选：A．
【点睛】
主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．
23．（2021·广东江门市·九年级二模）如图，在中，是斜边上的中线，已知，则的值是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据CD是Rt△ABC的中线，可得AD=DB=DC，进而得到斜边AB的长，已知BC，可直接求出cosB的大小
【详解】
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，CD=1.5
∴AD=DB=DC=1.5，∴AB=3
∵BC=2
∴cosB=
故选：A
【点睛】
本题考查锐角三角函数，解题关键是利用直角三角形斜边中线是斜边长一半来求解
24．（2021·上海九年级专题练习）在中，，，，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，由此可得.
【详解】
解：如图
，.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数中的正切，熟练掌握正切的表示是解题的关键.
25．（2021·山东济宁市·九年级一模）在△ABC中（2cosA-）2+|1-tanB|=0，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】
根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得∠A、∠B的度数，根据直角三角形的判定，可得答案．
【详解】
解：由（2cosA-）2+|1-tanB|=0，得
2cosA=，1-tanB=0．
解得∠A=45°，∠B=45°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
26．（2021·福建南平市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）
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A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
根据网格结构找出∠ABC所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【详解】
解：∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，
所以，tan∠ABC＝．
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
27．（2021·上海松江区·九年级一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（ ）
A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα
【答案】D
【解析】
试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴cotA=，
∵BC=2，∠A=α，
∴AC=2cotα，
故选D．
考点：锐角三角函数的定义．
28．（2021·福建南平市·九年级一模）已知：，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．以上结论都不对
【答案】A
【解析】
∵sin2α+cos2α=1，α是锐角，
∴α=32°．
故选A．
29．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级三模）如图，线段是⊙的直径，弦，垂足为，点是上任意一点， ,则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
只要证明∠CMD=△COA，求出cos∠COA即可.
【详解】
如图1中，连接OC,OM.
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设OC=r,
∴ ,
∴r=5,
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴，
∴∠AOC=∠COM,
∵∠CMD=∠COM，
∴∠CMD=∠COA，
∴cos∠CMD=cos∠COA= .
【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会转化的思想思考问题.
30．（2021·西安铁一中滨河学校九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级一模）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为
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A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】
由已知可知△ADC是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得AD=4，在Rt△ABD中，由∠B=60°，可得BD==，再由BE平分∠ABC，可得∠EBD=30°，从而可求得DE长，再根据AE=AD-DE即可
【详解】
∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=8，
∴AD=4，
在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD===，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，
∴DE=BD tan30°==，
∴AE=AD-DE=，
故选C.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
二、填空题
31．（2021·上海金山区·九年级一模）已知在中，，，，以点为直角顶点的的顶点在的延长线上，交的延长线于点，若，，那么的长等于______．
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【答案】
【分析】
根据题意画图，作AH⊥CE于H，根据得出，由等边对等角得，根据三角形的内角和可得出，得出AK=AC，利用等腰三角形三线合一得KH=CH，再证出AH为的中位线，可得出AK，AD的长，利用勾股定理求出AB，AB+AD即可得的长．
【详解】
解：如图，作AH⊥CE于H，
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∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AK=AC=2，
∵AH⊥CE，，
∴KH=CH，，
∴AH为的中位线，
∴A为DK的中点，DK=2AK=4，AD=AK=2，
∵，，，
∴AB=，
∴BD=AD+AB=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角函数-正切，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作垂线构造三角形的中位线是解题的关键．
32．（2021·上海金山区·九年级一模）在中，，，，那么______．
【答案】
【分析】
直接利用正弦的定义列式求解即可．
【详解】
解：∵，，
∴
∵
∴，解得：BC=12．
故填：12．
【点睛】
本题主要考查了正弦的定义，正确理解正弦的定义是解答本题的关键．
33．（2021·上海九年级专题练习）已知在中，，，（如图），把绕着点C按顺时针方向旋转．将点A、B的对应点分别记为点、，如果为直角三角形，那么点A与点的距离为______．
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【答案】或
【分析】
先解Rt△ABC求出BC和AC，利用旋转的性质求出．当时，再分在AC上和在AC的延长线上两种情况作出图形，即可求解．
【详解】
解：在Rt△ABC中，由题意得，
，，
又因为旋转，则，
当时，有两种情况，
（1）如图1，在线段AC上时，
；
（2）如图2，在线段AC的延长线上时，
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故答案为：或
【点睛】
本题考查了锐角三角函数和旋转的性质，掌握利用正弦求边长，并且要有一定的空间想像能力是解题关键．
34．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，，，点在边上，点在边上，，，如果的面积是，那么的长是_____．
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【答案】
【分析】
过点F作交AC于F，过点A作BC的垂线交CB的延长线于点H，通过解直角三角形、勾股定理及三角形面积公式求出CF，再通过解直角三角形求出CH，即可解得答案．
【详解】
解；过点F作交AC于F，
∵，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
过点A作BC的垂线交CB的延长线于点H，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
即
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【点睛】
本题考查了解直角三角形及勾股定理，解题的关键是根据题意做出辅助线．
三、解答题
35．（2021·西安市第二十三中学九年级一模）问题提出：
（1）如图1，在中，，，，，则_______．
问题探究：
（2）如图2，在中，，，D为上一点，且满足，．设，的面积为S，求S与a之间的关系式．
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问题解决：
（3）如图3，矩形是一片试验田的平面示意图，农科人员将试验田分成四部分用于不同作物的种植，各部分的示意图分别为．在试验田划分好之后，为了能够给部分的试验田进行充分灌溉，农科人员需要从点F处修建一条输水管，且满足点G在上，．已知点E、F分别在边和边上，，，，输水管的修建费用为200元/米，请你根据以上数据求修建输水管的最低费用．
【答案】（1）；（2）；（3）元
【分析】
（1）在中，解直角三角形求出CD，即可解决问题；
（2）过点B作，交的延长线于点E，过点C作于点F，通过解直角三角形可求出BE，CF，则，从而可求得结果 ；
（3）延长FG交AB于点Q，可得 ，则可得，当△AEF的面积最小时，FG最小，此时修建费用最低．另一方面，，即当AE AF最小时，△AEF的面积最小．为此过点A作AF的垂线，与CB延长线交于点H，作的外接圆，记圆心为点O，连接OA、OH、OE，过点O作，通过证明后，可得，从而可得，这样转化为面积最小的问题，余下设圆的半径后，求出△AHE的面积用半径表示的式子，当OP+OA≥AB时，求得半径的最小值，最后求得最小的费用．
【详解】
解：（1）在中，，
∴；
（2）如图1，过点B作，交的延长线于点E，过点C作于点F，
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在中，，
在中，，
∵，
∴；
（3）如图2，延长与交于点Q，根据题意可知
，
即，故当的面积最小时，最小，进而达到修建费用最低．
又由（1）可知，
∴当最小时，最小．
过点A作的垂线，与延长线交于点H，作的外接圆，记圆心为点O，连接、、，过点O作．
根据作图可知，故，
∴，即 ．
又∵，，
∴，
故，
∴当面积最小时，即满足最小．
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设的半径为，故，
∴．
而，故，即，
∴，
故，
∴．
故修建输水管的最小费用为元．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、图形面积、最值问题，第（3）小题很难，涉及到了辅助线、辅助圆的作法，多次转化，求FG的最小值转化为的面积最小，又转化为AE AF最小，又转化为面积最小，又转化为圆的半径最小，最后归结为AO+OP最小，从而求得圆的半径最小．
36．（2021·西安市第二十三中学九年级一模）如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点C处测得树顶A的仰角为，然后在坡顶D测得树顶A的仰角为，已知斜坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比），斜坡，求树的高度．（结果精确到，参考数据：）
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【答案】26m
【分析】
根据坡度求出，继而求得，∠ACD＝90°，根据平行线的性质可得∠FDC＝30°，继而得∠ADC＝60°，在中，解直角三角形可得AC，在中，解直角三角形可得AB的值．
【详解】
解：∵斜坡的坡度，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
在中，
∵，
∴．
答：大树的高度约为．
【点睛】
本题考查解直角三角形的运用-仰角和俯角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义，特殊的锐角三角函数值．
37．（2021·河南许昌市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．同一时刻测量站在旗杆旁边的小红（CD）和旗杆AB的影长时，发现旗杆的影子一部分落在地面上（BF），另一部分落在了距离旗杆24m的教学楼上（EF）．经测量，小红落在地面上的影长DG为2.4m，教学楼上的影长EF为2m．已知小红的身高是1.6m，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】18m．
【分析】
根据AB∥EF，易得△DCG∽△F ( http: / / www.21cnjy.com )EM，根据对应边成比例，求出FM的长度，再由BM = BF+ FM，得到BM的长，根据AB∥EF，易得△DCG∽△BAM，根据对应边成比例，即可求出旗杆AB的高度．
【详解】
解：延长AE交BF的延长线于点M，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由AB∥EF，易得△DCG∽△FEM，
∴，
∵DG=2.4，CD=1.6，EF=2，
，
解得FM =3，
∴ BM = BF+ FM=27，
由题意，根据AB∥EF，易得△DCG∽△BAM，
∴，
∴，
∴AB=18m，
答：旗杆AB的高度为18m.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中.
38．（2021·内蒙古呼和 ( http: / / www.21cnjy.com )浩特市·九年级一模）在塔前平地上选取一点A作为观测点竖立一根长1.6米的测杆AD，观测塔顶N的仰角为45°，将测杆AD向塔的方向平移8米到达BC位置，此时观测塔顶N的仰角为65°，计算塔的高度MN（用含有非特殊角的三角函数表示结果）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】塔的高度MN为（+1.6）米．
【分析】
延长DC交MN于E，然后设EC=x，由正切函数定义可列出关于x的方程，求出x即EC后即可得到塔高MN的值．
【详解】
解：如图，延长DC交MN于E.
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意可知DC⊥MN于E,四边形AMED,四边形ABCD都是矩形,
∴CD=AB,AD=ME,∠NDE=45°,∠NCE=65°.
在Rt△CEN中,设EC=x米,
∵∠NDE=45°,
∴NE=DE=CD+EC=8+x.
在Rt△NEC中,tan65°==,
∴x=.
∴NE=8+=,
∴MN=NE+ME=+1.6.
答:塔的高度MN为+1.6米.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法、方程的方法、正切函数的意义是解题关键．
39．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段为屋内地面，线段、为房屋两侧的墙，线段、为屋顶的斜坡．已知米，米，斜坡、的坡比均为1∶2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求屋顶点D到地面的距离：
（2）已知在墙距离地面1．1米处装有窗，如果阳光与地面的夹角，为了防止阳光通过窗照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即，长度为1．4米，即米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：，，，，，，．）
【答案】（1）屋顶点D到地面的距离米；（2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理由见解析
【分析】
（1）过点D作DG⊥AB于G，连接CE交DG于H，根据矩形的判定定理证出四边形ABCE为矩形，从而求出HG=BC=米，然后根据坡比列出方程即可求出DH，从而求出结论；
（2）过点S作SQ∥MN，过点E作EK⊥S ( http: / / www.21cnjy.com )Q，只需比较EK与EF的大小关系即可判断，在Rt△SEK中，解直角三角形即可求出EK，从而得出结论．
【详解】
解：（1）过点D作DG⊥AB于G，连接CE交DG于H
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∵米，AE∥BC
∴四边形ABCE为平行四边形
∵CB⊥AB
∴∠ABC=90°
∴四边形ABCE为矩形
∴CE∥AB，且CE=AB=6
∵DH⊥EC
∴HG=BC=米
∵斜坡、的坡比均为1∶2
∴DH：CH=1∶2，DH：EH=1∶2
设DH=x，则CH=2x，EH=2x
∵CH＋EH=CE
∴2x＋2x=6
解得：x=
即DH=米
∴屋顶点D到地面的距离DG=DH＋HG=米
答：屋顶点D到地面的距离米．
（2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理由如下：
过点S作SQ∥MN，过点E作EK⊥SQ，只需比较EK与EF的大小关系即可判断
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵阳光与地面的夹角，
∴SQ与水平线的夹角也为
∴∠ESK=90°－53°=37°
∴∠SEK=90°－∠ESK=53°
∵AE=米，AS=1.1米
∴SE=AE－AS=米
∴EK=SE·cos∠SEK≈×=米＜米
即EK＜EF
∴公司设计的遮阳棚能达到小明的要求．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用和矩形的判定及性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形、坡比的定义是解题关键．21·cn·jy·com
40．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）证明见解析；（2）AD=；（3）．定义域为：．
【分析】
（1）根据CE∥BD，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE结合题干证明出△ABD∽△ECB，进而得到，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．根据条件先证明出△CEB∽△CAE，得到，代入求出CE，再根据求出BD，利用三角函数求出BH，根据勾股定理即可求出AD．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=根据△ECB∽△ABD得到，代入化简为即可求解．
【详解】
解：（1）∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE．
∵∠A=∠DBE，
∴∠A=∠BEC．
∴△ABD∽△ECB，
∴．
∵，
∴，
∴DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠EBD=∠A，
又∵∠BCE=∠ECA，
∴△CEB∽△CAE，
∴，
∴．
∵AB=5，AC=9，
∴BC=4，
∴，
∴CE=6．
∵，
∴．
在Rt△ABH中，，
∴AH=．
DH=．
AD=．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=．
．
∵△ECB∽△ABD，
∴．
∵，
∴，
∴．
定义域为．
【点睛】
此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．21cnjy.com
41．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线的表达式；
（3）如果抛物线的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）先设OA，OB，通过抛物线可求得OC，结合∠OCA=∠OAB，运用锐角三角形函数定义求解OA，OB即可；
（2）过点D作DG⊥x轴，由△DGA≌△AOC推出D的坐标，从而结合A，D坐标运用待定系数法求解即可；
（3）设抛物线的对称轴F ( http: / / www.21cnjy.com )E与OA交于点H，则可根据平行线分线段成比例列式求解AH和OH，从而求解出抛物线的对称轴，即可求解出抛物线的解析式．
【详解】
（1）∵设直线与x轴、y轴分别交于点A（2m，0）、B（0，m），
∴OA=2m，OB=m．
∵∠OCA=∠OAB，
∴tan∠OCA=tan∠OAB==．
∵（a≠0）经过点C（0，4），OC=4，
∴OA=2，OB=1，
∴直线AB的表达式为．
（2）过点D作DG⊥x轴，垂足为G．
∵∠DGA=∠AOC=90°，∠DAG=∠ACO，AD=AC，
∴△DGA≌△AOC，
∴DG=AO=2，AG=OC=4，OG=2，
∴点D（，2）．
∵抛物线经过点A、D，
∴
∴
∴抛物线的表达式为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H．
∵EF∥OC，
∴，AH=，OH=，
∴
∴
∴抛物线的表达式为．
当时，，抛物线的顶点坐标为．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点睛】
本题考查二次函数的与几何综合问题，涉及到锐角三角函数的运用以及平行线分线段成比例定理，熟记基本定理并灵活运用是解题关键．21·世纪*教育网
42．（2021·上海九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )专题练习）四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．www-2-1-cnjy-com
（1）如图1，当∠B=90°时，求与的比值；
（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求的值；
（3）如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）先证明：可得：，结合：可得：再设 可得而，建立方程：可得： 再利用相似三角形的性质可得答案．21*cnjy*com
（2）延长相交于，过作于 连接 先证明：可得： 证明： 设 再设 利用求解，可得 从而可得答案；【版权所有：21教育】
（3）如图，过作交的延长线于，延长至,使 证明： 设 证明：可得：再证明：利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．
【详解】
解：（1） 四边形ABCD是菱形，
四边形ABCD是正方形，
，
设
而
（2）延长相交于，过作于 连接
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菱形，
为的中点，
,
设 则
设
由菱形可得：
（3）如图，过作交的延长线于，延长至,使
设
则
菱形
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
解得：
经检验：是原方程组的解，
即菱形的边长为：
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键．
此类题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
考点梳理
高分夺冠
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考点16 解直角三角形
【考点总结】一、直角三角形的性质
1．直角三角形的两锐角互余．
2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【考点总结】二、直角三角形的判定
1．有一个角等于90°的三角形是直角三角形．
2．有两角互余的三角形是直角三角形．
3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．
4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
【考点总结】三、锐角三角函数定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
sin A==；
cos A＝＝；
tan A＝＝.
【考点总结】四、特殊角的三角函数值
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【考点总结】五、解直角三角形
1．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：
sin A＝，cos A＝，tan A＝，
sin B＝，cos B＝，tan B＝.
2．解直角三角形的几种类型及解法：
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，
其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)；
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，
其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A(或b＝)；
(3)已知两直角边a，b，
其解法为：c＝，
由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，
其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A．
【考点总结】六、解直角三角形的应用
1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．21世纪教育网版权所有
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2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角； ( http: / / www.21cnjy.com )坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．【来源：21·世纪·教育·网】
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一、单选题
1．（2021·上海杨浦 ( http: / / www.21cnjy.com )区·九年级一模）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（ ）
A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50°
3．（2021·上海徐汇区·九年级一模）在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．3
5．（2021·上海金山区·九年级一模）在中，，那么锐角的正弦等于（ ）
A． B． C． D．．
6．（2021·上海金山区·九年级一模）若是锐角，，那么锐角等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）给出以下四个命题：
①以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现在价格的基础上先提价40%，后降价50%进行销售，商家还能有利润；21教育名师原创作品
②数据x1，x2，x3，x4的方差是3，则数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差还是3；
③若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则母线AB与高AO的夹角为30°；
④已知关于a的一次函数y=2ax2+2x-3(x≠0)在-1≤a≤1上函数值恒小于零，则实数x的取值范围为--其中正确命题的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在中，如果，，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
9．（2021·上海黄浦区·九年级一模）对于锐角，下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·上海静安区·九年级一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（　　　）21cnjy.com
A． B．
C． D．
11．（2021·上海静安区·九年级一模）如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　）
A． B． C． D．
12．（2021·四川成都市·成都实外九年级开学考试）已知海面上一艘货轮在灯塔的北偏东方向，海监船在灯塔的正东方向海里处，此时海监船发现货轮在它的正北方向，那么海监船与货轮的距离是（ ）21·cn·jy·com
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
13．（2021·上海宝山区·九年级一模）在中，，，，那么的值为（ ）．
A． B． C． D．
14．（2021·上海崇明区·九年级一模）在中，，如果，，那么的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·上海九年级一模）在中，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·上海松江 ( http: / / www.21cnjy.com )区·九年级一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）2·1·c·n·j·y
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A．15千米 B．10千米 C．千米 D．千米
17．（2021·上海奉贤区·九年级一模）在中，，如果 ，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，联结，如果，，那么的值是（ ）21·世纪*教育网
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A．3 B．6 C．9 D．12
19．（2021·上海九年级专题练习）已知在中，，，，那么AC的长为（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·上海九年级专题练习）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（ ）2-1-c-n-j-y
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
21．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知在中，，，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
22．（2021·广东九年级专题练习）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
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A． B． C． D．
23．（2021·广东江门市·九年级二模）如图，在中，是斜边上的中线，已知，则的值是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
24．（2021·上海九年级专题练习）在中，，，，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
25．（2021·山东济宁市·九年级一模）在△ABC中（2cosA-）2+|1-tanB|=0，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
26．（2021·福建南 ( http: / / www.21cnjy.com )平市·九年级一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）
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A． B． C． D．1
27．（2021·上海松江区·九年级一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（ ）
A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα
28．（2021·福建南平市·九年级一模）已知：，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．以上结论都不对
29．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级三模）如图，线段是⊙的直径，弦，垂足为，点是上任意一点， ,则的值为（ ）
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A． B． C． D．
30．（2021·西安铁一中滨河学校九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为
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A． B．2 C． D．3
二、填空题
31．（2021·上海金山区·九年级一模）已知在中，，，，以点为直角顶点的的顶点在的延长线上，交的延长线于点，若，，那么的长等于______．21教育网
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32．（2021·上海金山区·九年级一模）在中，，，，那么______．
33．（2021·上海九年级专题练习）已知在中，，，（如图），把绕着点C按顺时针方向旋转．将点A、B的对应点分别记为点、，如果为直角三角形，那么点A与点的距离为______．【来源：21cnj*y.co*m】
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34．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，，，点在边上，点在边上，，，如果的面积是，那么的长是_____．
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三、解答题
35．（2021·西安市第二十三中学九年级一模）问题提出：
（1）如图1，在中，，，，，则_______．
问题探究：
（2）如图2，在中，，，D为上一点，且满足，．设，的面积为S，求S与a之间的关系式．21*cnjy*com
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问题解决：
（3）如图3，矩形是一片试验田的平面示意图，农科人员将试验田分成四部分用于不同作物的种植，各部分的示意图分别为．在试验田划分好之后，为了能够给部分的试验田进行充分灌溉，农科人员需要从点F处修建一条输水管，且满足点G在上，．已知点E、F分别在边和边上，，，，输水管的修建费用为200元/米，请你根据以上数据求修建输水管的最低费用．【出处：21教育名师】
36．（2021·西安市第二十三中学九年级一模）如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点C处测得树顶A的仰角为，然后在坡顶D测得树顶A的仰角为，已知斜坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比），斜坡，求树的高度．（结果精确到，参考数据：）
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37．（2021·河南许昌市·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级一模）某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．同一时刻测量站在旗杆旁边的小红（CD）和旗杆AB的影长时，发现旗杆的影子一部分落在地面上（BF），另一部分落在了距离旗杆24m的教学楼上（EF）．经测量，小红落在地面上的影长DG为2.4m，教学楼上的影长EF为2m．已知小红的身高是1.6m，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度．
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38．（2021·内蒙古呼和浩特 ( http: / / www.21cnjy.com )市·九年级一模）在塔前平地上选取一点A作为观测点竖立一根长1.6米的测杆AD，观测塔顶N的仰角为45°，将测杆AD向塔的方向平移8米到达BC位置，此时观测塔顶N的仰角为65°，计算塔的高度MN（用含有非特殊角的三角函数表示结果）．
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39．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段为屋内地面，线段、为房屋两侧的墙，线段、为屋顶的斜坡．已知米，米，斜坡、的坡比均为1∶2．www.21-cn-jy.com
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（1）求屋顶点D到地面的距离：
（2）已知在墙距离地面1．1米处装有窗，如果阳光与地面的夹角，为了防止阳光通过窗照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即，长度为1．4米，即米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：，，，，，，．）
40．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
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41．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线的表达式；
（3）如果抛物线的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．
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42．（2021·上海九年级专题练习） ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．
（1）如图1，当∠B=90°时，求与的比值；
（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求的值；
（3）如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．
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此类题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
考点梳理
高分夺冠
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