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1.1.1集合及其表示方法（第1课时）
学习目标
1.借助生活和数学实例了解集合的含义,并理解集合中元素的三个特性.
2.理解元素与集合的关系,掌握特殊数集的符号表示,培养数学抽象素养.
3.理解集合相等的概念.
自主预习
1.集合(深刻理解集合的有关概念是我们正确运用集合知识的基础)
(1)集合与元素的概念
集合与元素概念及数学符号表示.
思考1:集合的元素特点有哪些
思考2:怎样判断两个集合相等
(2)元素与集合的关系
集合与元素之间的关系只能用“∈”或“ ”表示,对一个确定的对象和一个给定的集合,这两种关系有且只有一个成立.
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集 合的关系 属于 a是集合A的元素
不属于 a不是集合A的元素
　　2.几种常见的数集及表示符号(务必记忆数学符号,学会用数学语言去表达)
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
课堂探究
一、情境问题
在生活与学习中,我们经常要对事物进行分类.最典型的是图书馆中的书籍就是按照一定规律分类摆放储藏的.在数学知识中,同样也存在着许多分类,例如整数可以分为正整数、负整数和零,三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等.
思考1:你能说出数学中其他的分类实例吗
思考2:是否可以借助袋子、抽屉等来直观地理解集合
思考3:方程x+1=x+2的所有解组成的集合是什么
思考4:①我们班所有的“追梦人”能否构成一个集合
②我们班身高不低于175 cm的同学能否构成一个集合
③我们班的高个子同学能否构成一个集合
④不等式x-2>1的所有解能否构成一个集合
【小试牛刀】
例1　(1)(多选)下列每组对象,能构成集合的是(　　)
A.中国各地的美丽乡村
B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C.不小于3的自然数
D.截止到2019年1月1日,参加“一带一路”的国家
(2)下列说法中,正确的有　　　　　.(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个;
②集合M中有3个元素a,b,c,如果a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形;
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合.
　　跟踪训练
(1)下列各组对象可以构成集合的是(　　)
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
(2)下列每组对象能否构成一个集合
①不超过20的非负数;
②方程x2-9=0在实数范围内的解;
③某校2020年在校的所有矮个子同学;
④的近似值的全体.
二、特殊数集
思考5:若a∈N,b∈N,则a+b,ab,a-b,是否属于N呢
思考6:若a∈Z,b∈Z,则a+b,ab,a-b,是否属于Z呢
思考7:若a∈Q,b∈Q,则a+b,ab,a-b,是否属于Q呢
拓展:①无限循环小数可以表示成分数吗 举例解释.
②任何一个无限循环小数都是Q中的元素吗
思考8:若a∈R,b∈R,则a+b,ab,a-b,是否属于R呢
【学以致用】
例2　(1)(多选)下列关系中正确的有(　　)
　 　　　　　　　　　　　　　　
A.∈Q B.-1 N
C.π R D.|-4|∈Z
(2)下列说法中正确的有　　　　　.
①集合N与集合N+是同一个集合;
②集合N中的元素都是集合Z中的元素;
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;
④集合Q中的元素都是集合R中的元素.
跟踪训练
(多选)给出下列关系,其中不正确的有(　　)
A.∈R B.|-3| N
C.|-|∈Q D.0 N
例3　已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求实数a.
跟踪训练
已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,试求实数a的值.
延伸探究:
若将“-3∈A”换成“a∈A”,求实数a的值.
课堂练习
1.(多选)下列给出的对象中,能组成集合的是(　　)
A.方程x2-4=0在实数范围内的解
B.不超过30的所有非负整数
C.平面直角坐标系中第一象限内的点
D.方程x2=-1的实数根
2.下列结论不正确的是(　　)
A.|-1|∈N B. Q
C.0 Q D.π∈R
3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是(　　)
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
4.一个小书架上有十个不同品种的书各3本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有　　　　　个元素.
5.已知集合A中的元素x满足x≥2,若a A,则实数a的取值范围是　　　　　.
课后巩固
1.以下各组对象不能组成集合的是(　　)
A.中国古代四大发明
B.地球上的小河流
C.方程x2-7=0的实数解
D.周长为10 cm的三角形
2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是 (　　)
A.3.14 B.-5
C. D.
3.(多选)下列说法中,不正确的是(　　)
A.集合N中最小的数为1
B.若-a∈N,则a∈N
C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2
D.所有小的正数组成一个集合
4.(多选)下列关系中正确的有(　　)
A.∈R B.∈Q
C.-3 Z D.- N
5.集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为(　　)
A.2 B.2或4
C.4 D.0
6.(多选)已知x,y为非零实数,代数式++的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是(　　)
A.-1∈M B.1∈M
C.2∈M D.3∈M
7.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是(　　)
A.1 B.-2
C.-1 D.3
8.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m=　　　　　.
9.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含　　　　　个元素.
10.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合,若a∈A且3a∈A,求a的值.
　　11.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求元素x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x的值.
核心素养专练
1.已知集合M有两个元素x,2-x,若-1 M,则下列说法一定错误的是　　　　　.
①2∈M;②1∈M;③x≠3.
2.设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1).
求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;
(2)集合A不可能是单元素集.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
思考:略
例1　(1)BCD　(2)②
跟踪训练　(1)B
(2)①对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;②能构成集合;③“矮个子”无明确的标准,对于某个人算不算矮个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;④“的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
规律方法　判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
思考:略
例2　(1)BD　(2)②④
跟踪训练　BCD
例3　解:由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,
∴a=-1或a=-.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去.
当a=-时,a-2=-,2a2+5a=-3,符合集合中元素的互异性.∴a=-.
【总结归纳】利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点:
(1)策略:根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值,再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.
(2)注意点:利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练　解:∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1,
若-3=a-3,则a=0,此时集合A中含有两个元素-3,-1,符合题意;
若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合题意;
综上所述,a=0或a=-1.
延伸探究
解:∵a∈A,∴a=a-3或a=2a-1,解得a=1,此时集合A中有两个元素-2,1,符合题意.
故所求a的值为1.
课堂练习
1.ABCD　2.C　3.A　4.10　5.a<2
课后巩固
1.B　2.D　3.ABCD　4.AD
5.B
解析:若a=2,则6-2=4∈A;
若a=4,则6-4=2∈A;
若a=6,则6-6=0 A,故选B.
6.AD
解析:①当x,y均为正数时,代数式++的值为3;②当x,y为一正一负时,代数式++的值为-1;③当x,y均为负数时,代数式++的值为-1,所以集合M的元素有-1,3,故选AD.
7.CD
解析:由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,故选CD.
8.3
解析:由题意知,m=2或m2-3m+2=2,
解得m=2或m=0或m=3.经验证,
当m=0或m=2时,不满足集合中元素的互异性,
当m=3时,满足题意,故m=3.
9.2
解析:由于|x|=±x,=|x|,-=-x,并且x,-x,|x|之中至少有两个相等,所以最多含2个元素.
10.解:∵a∈A且3a∈A,∴解得a<2.又a∈N,∴a=0或1.
11.解:(1)由集合元素的互异性可得x≠3,x2-2x≠x,且x2-2x≠3,
解得x≠-1,x≠0,且x≠3.
(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.
由于方程x2-2x+2=0无实数解,所以x=-2.
经检验,知x=-2时三个元素满足互异性.
故x=-2.
核心素养专练
1.②
解析:依题意解得x≠-1,x≠1且x≠3,
当x=2或2-x=2,即x=2或x=0时,M中的元素为0,2,故①可能正确;
当x=1或2-x=1,即x=1时,M中两元素为1,1,不满足互异性,故②不正确,③显然正确.
2.证明:(1)若a∈A,则∈A.
又因为2∈A,所以=-1∈A.因为-1∈A,所以=∈A.
因为∈A,所以=2∈A.所以A中另外两个元素为-1,.
(2)若A为单元素集,则a=,即a2-a+1=0,方程无实数解.
所以a≠,所以集合A不可能是单元素集.

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