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专题：十字相乘法
一．试题（共20小题）
1．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2＝1×2；
（2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）＝1 1×（﹣1）+2×3＝5 1×（﹣3）+2×1＝﹣1 1×1+2×（﹣3）＝﹣5
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12＝　 　．
2．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（　　）
A．a（x﹣6）（x+2） B．a（x﹣3）（x+4）
C．a（x2﹣4x﹣12） D．a（x+6）（x﹣2）
3．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　）
A．a＝﹣2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
4．若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a+c之值为何？（　　）
A．1 B．7 C．11 D．13
5．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（　　）
A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15
6．分解因式：b4﹣b2﹣12＝　 　．
7．分解因式：x3+5x2+6x＝　 　．
8．分解因式：2x3﹣6x2+4x＝　 　．
9．因式分解：ax2﹣7ax+6a＝　 　．
10．已知y≠0，且x2﹣3xy﹣4y2＝0．则的值是　 　．
11．若x2+x+m＝（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n＝　 　．
12．分解因式：x4﹣10x2+9．
13．因式分解：x3﹣3x2+2x．
14．分解因式：x4﹣5x2+4．
15．分解因式：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2．
16．因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．
17．分解因式：（a2﹣a）2+（a2﹣a）﹣6．
18．分解因式：（p﹣4）（p+1）+6．
19．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
20．【类比学习】
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【初步应用】
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出□＝　 　，☆＝　 　．
【深入研究】
小明用这种方法对多项式x3+2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解．
专题：十字相乘法
参考答案与试题解析
一．试题（共20小题）
1．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2＝1×2；
（2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）＝1 1×（﹣1）+2×3＝5 1×（﹣3）+2×1＝﹣1 1×1+2×（﹣3）＝﹣5
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12＝　（x+3）（3x﹣4）　．
【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12＝（x+3）（3x﹣4）即可．
【解答】解：3x2+5x﹣12＝（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：（x+3）（3x﹣4）
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，解此题的关键是熟练掌握“十字相乘法”分解因式，题目比较好，难度也不大．
2．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（　　）
A．a（x﹣6）（x+2） B．a（x﹣3）（x+4）
C．a（x2﹣4x﹣12） D．a（x+6）（x﹣2）
【分析】首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：ax2﹣4ax﹣12a
＝a（x2﹣4x﹣12）
＝a（x﹣6）（x+2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．
3．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　）
A．a＝﹣2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
【解答】解：根据题意得：x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
则a＝﹣2，b＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a+c之值为何？（　　）
A．1 B．7 C．11 D．13
【分析】首先利用十字交乘法将5x2+17x﹣12因式分解，继而求得a，c的值．
【解答】解：利用十字交乘法将5x2+17x﹣12因式分解，
可得：5x2+17x﹣12＝（x+4）（5x﹣3）．
∴a＝4，c＝﹣3，
∴a+c＝4﹣3＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
5．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（　　）
A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15
【分析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解．
【解答】解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
x2+15x﹣34＝（x+17）（x﹣2），
∴乙为x﹣2，
∴甲为x+2，丙为x+17，
∴甲与丙相加的结果x+2+x+17＝2x+19．
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式，十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
6．分解因式：b4﹣b2﹣12＝　（b+2）（b﹣2）（b2+3）　．
【分析】先利用十字相乘法，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：b4﹣b2﹣12＝（b2﹣4）（b2+3）＝（b+2）（b﹣2）（b2+3），
故答案为：（b+2）（b﹣2）（b2+3）．
【点评】本题考查十字相乘法、公式法分解因式，掌握十字相乘法、公式法的结构特征是正确应用的前提．
7．分解因式：x3+5x2+6x＝　x（x+2）（x+3）　．
【分析】先提公因式x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．
【解答】解：x3+5x2+6x，
＝x（x2+5x+6），
＝x（x+2）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
8．分解因式：2x3﹣6x2+4x＝　2x（x﹣1）（x﹣2）　．
【分析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：2x3﹣6x2+4x
＝2x（x2﹣3x+2）
＝2x（x﹣1）（x﹣2）．
故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
9．因式分解：ax2﹣7ax+6a＝　a（x﹣1）（x﹣6）　．
【分析】原式提取a，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式＝a（x2﹣7x+6）＝a（x﹣1）（x﹣6），
故答案为：a（x﹣1）（x﹣6）
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及提取公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．已知y≠0，且x2﹣3xy﹣4y2＝0．则的值是　4或﹣1　．
【分析】将已知等式的左边利用十字相乘法分解因式，可得x与y的关系，从而可得结论．
【解答】解：∵x2﹣3xy﹣4y2＝0，即（x﹣4y）（x+y）＝0，
可得x＝4y或x＝﹣y，
∴或，
即的值是4或﹣1；
故答案为：4或﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握利用十字相乘法因式分解是解本题的关键．
11．若x2+x+m＝（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n＝　4　．
【分析】利用多项式乘法去括号，得出关于n的关系式进而求出n的值．
【解答】解：∵x2+x+m＝（x﹣3）（x+n），
∴x2+x+m＝x2+（n﹣3）x﹣3n，
故n﹣3＝1，
解得：n＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确去括号得出是解题关键．
12．分解因式：x4﹣10x2+9．
【分析】原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣1）（x2﹣9）
＝（x+1）（x﹣1）（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
13．因式分解：x3﹣3x2+2x．
【分析】应用提公因式法和十字相乘法，把x3﹣3x2+2x分解因式即可．
【解答】解：x3﹣3x2+2x
＝x（x2﹣3x+2）
＝x（x﹣1）（x﹣2）
【点评】此题主要考查了提公因式法和十字相乘法在因式分解中的应用，要熟练掌握．
14．分解因式：x4﹣5x2+4．
【分析】原式利用十字相乘法分解后，再利用平方差公式分解即可得到结果．
【解答】解：x4﹣5x2+4＝（x2﹣1）（x2﹣4）＝（x+1）（x﹣1）（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
15．分解因式：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2
＝（x2+x﹣2）（x2+x+1）
＝（x+2）（x﹣1）（x2+x+1）．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
16．因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．
【分析】原式利用十字相乘法分解后，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）＝（x﹣2）（x+4）（x+1）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
17．分解因式：（a2﹣a）2+（a2﹣a）﹣6．
【分析】将（a2﹣a）看作一个整体，利用十字相乘法进行因式分解．
【解答】解：原式＝（a2﹣a+3）（a2﹣a﹣2）＝（a2﹣a+3）（a﹣2）（a+1）．
【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
18．分解因式：（p﹣4）（p+1）+6．
【分析】首先求出（p﹣4）（p+1）的值是多少；然后应用十字相乘法，把（p﹣4）（p+1）+6分解因式即可．
【解答】解：（p﹣4）（p+1）+6
＝p2﹣3p+2
＝（p﹣1）（p﹣2）
【点评】此题主要考查了十字相乘法在因式分解中的应用，要熟练掌握．
19．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【分析】（1）根据x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程组求出即可；
（2）由把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．
【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5
（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）
用上述方法可求得：a＝4，b＝4，（8分）
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），（9分）
＝（x+1）（x+2）2．（10分）
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．
20．【类比学习】
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【初步应用】
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出□＝　5　，☆＝　3　．
【深入研究】
小明用这种方法对多项式x3+2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解．
【分析】【初步应用】根据竖式除法的运算方法先确定☆表示的数，然后确定□代表的数；
【深入研究】利用列竖式除法的结果进行分解．
【解答】解：【初步应用】□＝5，☆＝3；
故答案为5，3；
【深入研究】
所以x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（x2﹣1）＝（x+2）（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了因式分解：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
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