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专题：一次函数应用、综合题
一．试题（共11小题）
1．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求OC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
2．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点E、F，一次函数y＝kx﹣4的图象与直线EF交于点A（m，2），且交于x轴于点P，
（1）求m的值及点E、F的坐标；
（2）求△APE的面积；
（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；
（3）如图2，若k＝﹣，过B点作BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，直线AB：y＝﹣x﹣b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝3：1．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）直线EF：y＝2x﹣k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD＝S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
5．已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
（3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．
6．已知如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y＝x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求S△OPA的值；
（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．
7．如图，直线y＝2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C是该直线上不同于B的点，且CA＝AB．
（1）写出A、B两点坐标；
（2）过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与直线AB交于点D，若点D不在线段BC上，求m的取值范围；
（3）若直线BE与直线AB所夹锐角为45°，请直接写出直线BE的函数解析式．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y2＝kx+b（k≠0）经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．
（1）求△ABO的面积；
（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足（a+3）2+＝0．
（1）求直线l2的解析式；
（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标；
（3）已知平行于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标．
10．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR＝SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
二．应用（共14小题）
12．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是（　　）
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
13．甲、乙两名运动员同时从A地出发前往B地，在笔直的公路上进行骑自行车训练．如图所示，反映了甲、乙两名运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时，乙在甲前10千米处；④甲、乙两名运动员相距5千米时，t＝0.5或t＝2．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．甲、乙两车先后从“深圳书城”出发，沿相同的路线到距书城240km的某市．因路况原因，甲车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为折线O﹣A﹣B，乙车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为线段CD．
（1）求线段AB所在直线的函数表达式；
（2）①乙车比甲车晚出发　 　小时；
②乙车出发多少小时后追上甲车？
（3）乙车出发多少小时后甲、乙两车相距10千米？
15．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题：
（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？
（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？
16．星期天8：00∽8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气，注完气之后，一位工作人员以每车20米3的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系如图所示．
（1）8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了8000米3的天然气；
（2）当x≥8.5时，求储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系式y＝﹣1000x+18500；
（3）正在排队等候的20辆车加完气后，储气罐内还有天然气9600米3；
（4）这第20辆车在当天9：00之前不能加完气；
其中说法正确的有（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
17．已知：甲、乙两车分别从相距300（km）的M、N两地同时出发相向而行，其中甲到达N地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）试求线段AB所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当它们行驶到与各自出发地距离相等时，用了（h），求乙车的速度；
（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．
18．甲、乙两队同时开挖两段渠道，所挖渠道的长度y（m）与挖掘的时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）写出：
①乙队挖到30m时，用时多少？
②开挖6h时甲队比乙队多挖了多少？
（2）写出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，两队所挖渠道的长度相等？
19．某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图①所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图②所示．某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图③所示，已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口．
（1）求a的值；
（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；
（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？
20．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
21．星光厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售其进价与售价如表
进价（元/台） 售价（元/台）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
（1）一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中赚了多少钱？
（2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不大于电压锅的，请你通过计算判断，如何进货厨具店赚钱最多？最大利润是多少？
22．库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；
C D 总计
A x吨 200吨
B 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
（2）当x为何值时，A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
23．A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．
（1）甲的速度为　 　，乙的速度为　 　；
（2）求出：l1和l2的关系式；
（3）问经过多长时间两人相遇．
24．在一条笔直的公路上有A、B两地．甲、乙两人同时出发，甲骑电动车从A地到B地，中途出现故障后停车维修，修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原速返回，结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）A、B两地间的距离为　 　km；
（2）求乙与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）求甲、乙第一次相遇的时间；
（4）若两人之间的距离不超过10km时，能够用无线对讲机保持联系，请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围．
25．为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，A纪念品的数量不少于50个，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
专题：一次函数应用、综合题
参考答案与试题解析
一．试题（共11小题）
1．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求OC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）OC＝x，则AC＝BC＝4﹣x，在Rt△BOC中，利用勾股定理即可解决问题；
（3）分三种情形讨论求解即可解决问题；
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
（2）设OC＝x，则AC＝CB＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴OC＝．
（3）当PA＝PB时，点P与点C重合，此时P（，0）；
当PA＝AB＝5时，P（﹣1，0）或（9，0）；
当PB＝AB时，P（﹣4，0）
综上所述，P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）．
【点评】此题是一次函数的综合题，考查的是坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点E、F，一次函数y＝kx﹣4的图象与直线EF交于点A（m，2），且交于x轴于点P，
（1）求m的值及点E、F的坐标；
（2）求△APE的面积；
（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（2）根据待定系数法，可得AP的解析式，根据函数值为零，可得P点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：①当点A与点B为对应顶点时，根据全等三角形的面积相等，可得Q点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值；②当点A与点Q为对应顶点时，可得Q点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值．
【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+4的图象经过点A（m，2），
得﹣m+4＝2，
解得m＝，
∵一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于点E，F．
∴当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3即E（3，0）；
当x＝0时，y＝4，即F（0，4）；
（2）把点A（，2）一次函数y＝kx﹣4，得2＝k﹣4，解得k＝4，
y＝4x﹣4，当y＝0时，x＝1，即P（1，0）．
PE＝3﹣1＝2，
S△APE＝×2×2＝2；
（3）存在Q点，B点是x轴上的动点，点Q是直线y＝﹣x+4上的点，设Q（m，n）．
由两点间的距离，得AE＝＝，AP＝＝，PE＝2．
①当点A与点B为对应顶点时，
∵△APE≌△BQE，
∴S△BQE＝S△APE＝2，
∴BE×|n|＝2．
∵BE＝AE＝，
∴|n|＝，n＝±．
当n＝时，﹣x+4＝，解得m＝，即Q1（，）；
当n＝﹣时，﹣x+4＝﹣，解得m＝，即Q2（，﹣）；
②当点A与点Q为对应顶点时，∵△APE≌△QBE，
则n＝﹣2，把n＝﹣2代入y＝﹣x+4得m＝，
∴Q3（，﹣2）．
综上所述：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．
【点评】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，根据全等三角形的性质得出Q点的纵坐标是解题关键．
3．如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；
（3）如图2，若k＝﹣，过B点作BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）由A（4，0），B（0，﹣4），得到OA＝OB＝4，求得OE＝2，过F作FB′⊥y轴于B′，根据全等三角形的性质得到FB＝OE＝2，OB′＝OA＝4，根据勾股定理得到EF＝＝＝2；
（3）根据题意得到C（﹣3，0），如图，当点M在点A的左侧，根据全等三角形的性质得到OM＝OC＝3，当点M在点A的右侧时，根据三角形的面积即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令y＝0，则x﹣4＝0，
∴x＝4，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴A（4，0），B（0，﹣4）；
（2）∵A（4，0），B（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
∵点E是线段OB的中点，
∴OE＝2，
过F作FB′⊥y轴于B′，
∴∠AOE＝∠OB′F＝90°，
∵OG⊥AE，
∴∠OAE+∠AOF＝∠B′OG+∠AOF＝90°，
∴∠OAE＝∠B′OF，
∵OF＝AE，
∴△AOE≌△OB′F（AAS），
∴FB＝OE＝2，OB′＝OA＝4，
∵OB＝4，
∴点B与点B′重合，
∴EF＝＝＝2；
（3）存在，∵k＝﹣，
∴直线OG：y＝﹣x（k＜0），
∵BC∥OG，
∴设直线BC的解析式为y＝﹣x﹣4，
当y＝0时，即﹣x﹣4＝0，
∴x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
如图，当点M在点A的左侧，
∵∠ABO＝45°，∠ABM+∠CBO＝45°，
∴∠MBO＝∠CBO，
∵∠COB＝∠NOB＝90°，OB＝OB，
∴△BCO≌△BMO（ASA），
∴OM＝OC＝3，
∴M（3，0）；
当点M在点A的右侧时，
∵∠OAB＝∠AM′B+∠ABM′＝45°，∠ABM'+∠CBO＝45°，
∴∠AM′B＝∠OBC，
∵∠CBO＝∠OM′B，
∴∠COB+∠OBM′＝90°，
设OM′＝a，
∴BM′＝，
∵S△CBM′＝OB×CM′＝BC BM′，
∴4×（3+a）＝×，
解得：a＝，
∴M′（，0），
综上所述，点M的坐标为：（3，0），（，0）．
【点评】本题考查了直线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
4．如图，直线AB：y＝﹣x﹣b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝3：1．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）直线EF：y＝2x﹣k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD＝S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A（6，0）代入直线AB的解析式，可得b的值，继而可得点B的坐标；
（2）设BC的解析式是y＝ax+c，根据B点的坐标，求出C点坐标，把B，C点的坐标分别代入求出a和c的值即可；
（3）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD＝∠FND＝90°，有题目的条件证明△NFD≌△EDM，进而得到FN＝ME，联立直线AB：y＝﹣x﹣b和y＝2x﹣k求出交点E和F的纵坐标，再利用等底等高的三角形面积相等即可求出k的值；
【解答】解：（1）将点A（6，0）代入直线AB解析式可得：0＝﹣6﹣b，
解得：b＝﹣6，
∴直线AB 解析式为y＝﹣x+6，
∴B点坐标为：（0，6）．
（2）∵OB：OC＝3：1，
∴OC＝2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
设BC的解析式是y＝ax+c，代入得；，
解得：，
∴直线BC的解析式是：y＝3x+6．
（3）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD＝∠FND＝90°．
∵S△EBD＝S△FBD，
∴DE＝DF．
又∵∠NDF＝∠EDM，
∴△NFD≌△EDM，
∴FN＝ME，
联立得，
解得：yE＝﹣k+4，
联立，
解得：yF＝﹣3k﹣12，
∵FN＝﹣yF，ME＝yE，
∴3k+12＝﹣k+4，
∴k＝﹣2.4，
当k＝﹣2.4时，存在直线EF：y＝2x+2.4，使得S△EBD＝S△FBD．
【点评】本题考查了一次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、两直线的交点及三角形的面积，综合考察的知识点较多，注意基本知识的掌握，将所学知识融会贯通，难度较大．
5．已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
（3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．
【分析】（1）易得A，C两点的坐标，设出一次函数解析式，把这两点代入可得所求函数解析式；
（2）分别以点O或点A为圆心，以OA长为半径画弧，可得3个可能的点P，作出OA的垂直平分线可得第4个点P；
（3）易得点O与点B关于直线l对称，那么连接BD，与l的交点即为点E，得到DB的解析式与l的解析式联立可得E的坐标．
【解答】解：（1）设直线l的函数表达式y＝kx+b（k≠0），经过A（4，0）和C（0，4）得，
解之得，
∴直线l的函数表达式y＝﹣x+4；
（2）P1（0，4）、P2（2，2）、P3 、P4；
（3）∵O与B关于直线l对称，
∴连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时OE+DE取得最小值，
设DB所在直线为y＝k1x+b1 （k1≠0），经过点D（0，2）、B（4，4）
，
解得
∴直线DB为，
解方程组：，得，
∴点E的坐标为．
【点评】考查一次函数的应用；在本题中应注意可能为等腰三角形的不同情况；在求平面图形中的最短距离和时，应找到特殊点关于直线的对应点．
6．已知如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y＝x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求S△OPA的值；
（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．
【分析】（1）联立两直线解析式，求出交点P坐标即可；
（2）由A的坐标确定出OA的长，由OA乘以P纵坐标求出三角形AOP面积即可；
（3）由F坐标确定出OF的长，得到E的横坐标为a，代入直线OP解析式表示出E纵坐标，即为EF的长，分两种情况考虑：当0＜a≤时，矩形EBOF与三角形OPA重叠部分为直角三角形OEF，表示出三角形OEF面积S与a的函数关系式；当＜a≤时，重合部分为直角梯形面积，求出S与a函数关系式．
【解答】解：（1）联立得：，
消去y得：﹣x+4＝x，即x＝，
将x＝代入得：y＝1，
则P坐标为（，1）；
（2）由直线y＝﹣x+4，令y＝0，得到x＝，即A（，0），
则S△OPA＝OA P纵坐标＝××1＝；
（3）分两种情况考虑：
当0＜a≤时，由F坐标为（a，0），得到OF＝a，
把E横坐标为a，代入y＝x，得：y＝a，即EF＝a，
此时S＝OF EF＝a2（0＜a≤）；
当＜a≤时，重合的面积就是梯形面积，S＝（4a﹣4+a）（4﹣a）＝﹣a2+16a﹣8．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点坐标，坐标与图形性质，利用了分类讨论的思想，弄清题意是解本题的关键．
7．如图，直线y＝2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C是该直线上不同于B的点，且CA＝AB．
（1）写出A、B两点坐标；
（2）过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与直线AB交于点D，若点D不在线段BC上，求m的取值范围；
（3）若直线BE与直线AB所夹锐角为45°，请直接写出直线BE的函数解析式．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，作CF⊥x轴与F．利用全等三角形的性质求出点F坐标即可判断；
（3）如图2中，作AE⊥AB，使得AE＝AB，作EH⊥x轴于H，则△ABE是等腰直角三角形，∠ABE＝45°．利用全等三角形的性质求出点E坐标，当直线BE′⊥直线BE时，直线BE′也满足条件，求出直线BE′的解析式即可；
【解答】解：（1）对于直线y＝2x﹣2令x＝0，得到y＝﹣2，令y＝0，得到x＝1，
∴A（1，0），B（0，﹣2）．
（2）如图1中，作CF⊥x轴与F．
∵CA＝AB，∠CAF＝∠OAB，∠CFA＝∠AOB＝90°，
∴△CAF≌△BAO，
∴AF＝OA＝1，CF＝OB＝2，
∴F（2，0），
观察图象可知m的取值范围为：m＜0或m＞2．
（3）如图2中，作AE⊥AB，使得AE＝AB，作EH⊥x轴于H，则△ABE是等腰直角三角形，∠ABE＝45°．
∵∠AOB＝∠BAE＝∠AHE＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠OAB+∠HAE＝90°，
∴∠ABO＝∠HAE，∵AB＝AE，
∴△ABO≌△EAH，
∴AH＝OB＝2，EH＝OA＝1，
∴E（3，﹣1），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BE的解析式为y＝x﹣2，
当直线BE′⊥直线BE时，直线BE′也满足条件，直线BE′的解析式为y＝﹣3x﹣2，
∴满足条件的直线BE的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣3x﹣2．
【点评】本题考查一次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y2＝kx+b（k≠0）经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．
（1）求△ABO的面积；
（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．
【分析】（1）已知直线y1的解析式，分别令x＝0，y＝0求出A，B的坐标，继而求出S△ABO．
（2）由（1）得S△ABO，推出S△APC的面积为，求出yp＝，继而求出点P的坐标，依题意可知点C，P的坐标，联立方程组求出k，b的值后求出函数解析式．
【解答】解：（1）在直线中，令x＝0，得y1＝2，
∴B（0，2），
令y1＝0，得x＝3，
∴A（3，0），
∴；
（2），
∵点P在第一象限，
∴，
解得，
而点P又在直线y1上，
∴，
解得，
∴P（），
将点C（1，0）、P（），代入y＝kx+b中，有，
∴．
∴直线CP的函数表达式为y＝﹣6x+6．
【点评】本题考查的是一次函数的性质以及三角形面积的综合运用，难度中等．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足（a+3）2+＝0．
（1）求直线l2的解析式；
（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标；
（3）已知平行于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标．
【分析】（1）根据非负数的性质，可得a，b，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行线间的距离相等，可得Q到AO的距离等于B到AO的距离，根据等底等高的三角形的面积相等，可得S△AOP＝S△AOB，根据解方程组，可得P点坐标；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a，根据平行于x轴直线上点的纵坐标相等，可得答案．
【解答】解：（1）由（a+3）2+＝0，得
a＝﹣3，b＝4，
即A（﹣3，3），B（0，4），
设l2的解析式为y＝kx+b，将A，B点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
l2的解析式为y＝x+4；
（2）如图1，
作PB∥AO，P到AO的距离等于B到AO的距离，
S△AOP＝S△AOB．
∵PB∥AO，PB过B点（0，4），
∴PB的解析式为y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4，
又P在直线y＝5上，
联立PB及直线y＝5，得
﹣x+4＝5或﹣x﹣4＝5，
解得x＝﹣1或﹣9，
∴P点坐标为（﹣1，5）或（﹣9，5）；
（3）设M点的坐标为（a，﹣a），N（a，a+4），
∵点M在点N的下方，
∴MN＝a+4﹣（﹣a）＝+4，
如图2，
当∠NMQ＝90°时，即MQ∥x轴，NM＝MQ，+4＝﹣a，
解得a＝﹣，即M（﹣，），
∴Q（0，）；
如图3，
当∠MNQ＝90°时，即NQ∥x轴，NM＝NQ，+4＝﹣a，
解得a＝﹣，即N（﹣，），
∴Q（0，），
如图4，
当∠MQN＝90°时，即NM∥y轴，MQ＝NQ，a+2＝﹣a，
解得a＝﹣，
∴Q（0，）．
综上所述：Q点的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
【点评】本题考查了一次函数综合题，解（1）的关键是利用非负数的性质得出a，b的值，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用等底等高的三角形的面积相等得出P在过B点且平行AO的直线上；解（3）的关键是利用等腰直角三角形的性质得出关于a的方程，要分类讨论，以防遗漏．
10．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；
（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；
（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN边上的高，再由S△PBN＝S△BCM，求BN，进而得出ON．
【解答】解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠QBC＝90°，
∴∠OAB＝∠QBC，
又∵AB＝BC，∠AOB＝∠CQB＝90°，
∴△ABO≌△BCQ，
∴BQ＝AO＝2，OQ＝BQ+BO＝3，CQ＝OB＝1，
∴C（﹣3，1），
由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y＝x+2；
（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，
∵AC＝AD，AB⊥CB，
∴BC＝BD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF＝BH＝2，
∴OF＝OB＝1，
∴DG＝OB，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE＝DE；
（3）如图3，直线BC：y＝﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，
∴P（﹣，），
由y＝x+2知M（﹣6，0），
∴BM＝5，则S△BCM＝．
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，
则BN ＝×，
∴BN＝，ON＝，
∵BN＜BM，
∴点N在线段BM上，
∴N（﹣，0）．
【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR＝SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出a、p的值，从而得到点A、P的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线AQ的解析式，设出点S的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线RS的解析式；
（3）根据点B的横坐标为﹣2，可知点P为AB的中点，然后求出点B得到坐标，连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，利用角角边证明△APO与△PCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PG＝AO，CG＝PO，再根据△DCE是等腰直角三角形，利用角角边证明△CDG与△EDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DG＝EF，然后用EF表示出DP的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值．
【解答】解：（1）根据题意得，a+3＝0，p+1＝0，
解得a＝﹣3，p＝﹣1，
∴点A、P的坐标分别为A（0，﹣3）、P（﹣1，0），
设直线AP的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线AP的解析式为y＝﹣3x﹣3；
（2）根据题意，点Q的坐标为（1，0），
设直线AQ的解析式为y＝kx+c，
则，
解得，
∴直线AQ的解析式为y＝3x﹣3，
设点S的坐标为（x，3x﹣3），
则SR＝＝，
SA＝＝，
∵SR＝SA，
∴＝，
解得x＝，
∴3x﹣3＝3×﹣3＝﹣，
∴点S的坐标为S（，﹣），
设直线RS的解析式为y＝ex+f，
则，
解得，
∴直线RS的解析式为y＝﹣3x+2；
（3）∵点B（﹣2，b），
∴点P为AB的中点，
连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴PC＝PA＝AB，PC⊥AP，
∴∠CPG+∠APO＝90°，∠APO+∠PAO＝90°，
∴∠CPG＝∠PAO，
在△APO与△PCG中，，
∴△APO≌△PCG（AAS），
∴PG＝AO＝3，CG＝PO，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，∠CDG+∠EDF＝90°，
又∵EF⊥x轴，
∴∠DEF+∠EDF＝90°，
∴∠CDG＝∠DEF，
在△CDG与△EDF中，，
∴△CDG≌△EDF（AAS），
∴DG＝EF，
∴DP＝PG﹣DG＝3﹣EF，
①2DP+EF＝2（3﹣EF）+EF＝6﹣EF，
∴2DP+EF的值随点D的变化而变化，不是定值，
②＝＝，
的值与点D的变化无关，是定值．
【点评】本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求直线解析式，非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及关于y轴对称的点的坐标的特点，综合性较强，难度较大，需仔细分析找准问题的突破口．
二．应用（共14小题）
12．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是（　　）
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
【分析】设销量为x，收入为y，即求x＝0时y的值．由图知求直线与y轴交点坐标，由两点式求直线解析式后再求交点．
【解答】解：设y＝kx+b，由图知，直线过（1，800）（2，1300），代入得：
，
解之得：
∴y＝500x+300，
当x＝0时，y＝300．即营销人员没有销售时的收入是300元．
故选：B．
【点评】此题为一次函数的简单应用，主要是会求直线解析式．
13．甲、乙两名运动员同时从A地出发前往B地，在笔直的公路上进行骑自行车训练．如图所示，反映了甲、乙两名运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时，乙在甲前10千米处；④甲、乙两名运动员相距5千米时，t＝0.5或t＝2．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①甲的速度为，即可求解；
②t≤1时，乙的速度为＝50，t＞1后，乙的速度为＝35，即可求解；
③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，即可求解；
④甲的函数表达式为：y＝40x，乙的函数表达为：0≤t≤1时，y＝50x，t＞1时，y＝35x+15，即可求解．
【解答】解：①甲的速度为＝40，故正确；
②t≤1时，已的速度为＝50，t＞1后，乙的速度为＝35，故错误；
③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，乙在甲前10千米处，故正确；
④由①②③得：甲的函数表达式为：y＝40x，
已的函数表达为：0≤t≤1时，y＝50x，t＞1时，y＝35x+15，
t＝0.5时，甲、乙两名运动员相距＝50×﹣40×＝5，
t＝2时，甲、乙两名运动员相距＝（35×2+15）﹣2×40＝5，
同理t＝4时，甲、乙两名运动员相距为5，故错误．
故选：B．
【点评】本题为一次函数应用题，此类问题主要通过图象计算速度，即为一次函数的k值，进而求解．
14．甲、乙两车先后从“深圳书城”出发，沿相同的路线到距书城240km的某市．因路况原因，甲车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为折线O﹣A﹣B，乙车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为线段CD．
（1）求线段AB所在直线的函数表达式；
（2）①乙车比甲车晚出发　1　小时；
②乙车出发多少小时后追上甲车？
（3）乙车出发多少小时后甲、乙两车相距10千米？
【分析】（1）理由待定系数法解答即可；
（2）①根据题意列式计算即可求解；②利用待定系数法求出直线CD的解析式，再联立（1）的结论解答即可；
（3）根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为：y＝k1x+b1，将A（2，100），B（6，240）代入
得
解得
∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝35x+30；
（2）①乙车行驶的时间为240÷[（240﹣80）÷（4﹣2）]＝3（小时），
4﹣3＝1（小时），
∴乙车比甲车晚出发1小时，
故答案为：1；
②设直线CD的函数表达式为：y＝k2x+b2，将（2，80），D（4，240）代入
得
解得，
∴直线CD的函数表达式为y＝80x﹣80；
联立
解得 ．
∵（h），
∴乙车出发h后追上甲车；
（3）乙车追上甲车之前，
35x+30﹣（80x﹣80）＝10，
，
∴，
乙车追上甲车之后，即（80x﹣80）﹣（35x+30）＝10．
解得．
∴（h），
当乙到达终点之后，即35x+30＝240﹣10，
解得，
﹣1＝（h）；
∴乙车出发或h或h后，甲、乙两车相距10km．
【点评】本题考查的是一次函数的综合应用，认真观察图象，从中获取正确的信息是解题的关键，注意待定系数法在解题中的运用，和分情况讨论思想的运用．
15．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题：
（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？
（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？
【分析】（1）可根据图中给出的信息，用待定系数法分别求出轮船与快艇的函数关系式．
（2）可根据轮船与快艇到乙港时用的时间和走的路程，根据速度＝路程÷时间，求出速度是多少．
（3）当快艇追上轮船时两者走的路程相同，根据（1）求出的函数式，让两者的路程相等，即可得出时间的值．
【解答】解：（1）设表示轮船行驶过程的函数式为y＝kx．由图象知：
当x＝8时，y＝160．
∴8k＝160，解得：k＝20
∴表示轮船行驶过程的函数式为y＝20x．
设表示快艇行驶过程的函数解析式为y＝ax+b．
由图象知：当x＝2时，y＝0；当x＝6时，y＝160
∴，
解得
因此表示快艇行驶过程的函数解析式为y＝40x﹣80；
（2）由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米．快艇在4小时内行驶了160千米．
故轮船在途中的行驶速度为160÷8＝20（千米/时）
快艇在途中行驶的速度为160÷4＝40（千米/时）；
（3）设轮船出发x小时后快艇追上轮船．
20x＝40x﹣80，
x＝4，
则x﹣2＝2．
答：快艇出发2小时后赶上轮船．
【点评】本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，本题中读懂图象是解题的关键．
16．星期天8：00∽8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气，注完气之后，一位工作人员以每车20米3的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系如图所示．
（1）8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了8000米3的天然气；
（2）当x≥8.5时，求储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系式y＝﹣1000x+18500；
（3）正在排队等候的20辆车加完气后，储气罐内还有天然气9600米3；
（4）这第20辆车在当天9：00之前不能加完气；
其中说法正确的有（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
【分析】（1）根据函数图象可知，8点时储气罐中有2000米3的天然气，8：30时储气罐中有10000米3的天然气，即可得出燃气公司向储气罐注入了8000米3的天然气；
（2）根据图象上点的坐标得出函数解析式即可；
（3）根据每车20米3的加气量，则可求出20辆车加完气后的储气量；
（4）根据每车20米3的加气量，则可求出20辆车加完气后的储气量进而得出所用时间．
【解答】解：（1）根据图象可得出：燃气公司向储气罐注入了10000﹣2000＝8000（米3）的天然气；
（2）当x≥8.5时由图象可设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由已知得：
，
解得，
故当x≥8.5时，储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系式为：y＝﹣1000x+18500，
（3）根据每车20米3的加气量，则20辆车加完气后，储气罐内还有天然气：
10000﹣20×20＝9600（米3），
（4）根据题意得出：
9600＝﹣1000x+18500，
x＝8.9＜9，
答：这第20辆车在当天9：00之前能加完气．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象获取正确信息是解题关键．
17．已知：甲、乙两车分别从相距300（km）的M、N两地同时出发相向而行，其中甲到达N地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）试求线段AB所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当它们行驶到与各自出发地距离相等时，用了（h），求乙车的速度；
（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．
【分析】（1）首先设线段AB所表示的函数的解析式为y＝kx+b，根据题意知道函数经过（3，300），（，0）两点，利用待定系数法即可确定函数的解析式和 自变量的取值范围；
（2）首先可以判定x＝在3＜x≤中，然后把x＝代入（1）的函数解析式y＝﹣80x+540中可以求出甲所走的路程，同时也知道了乙的路程，最后利用速度公式即可求解；
（3）首先确定依有两次相遇，①当0≤x≤3时，100x+40x＝300，②当3＜x≤时，（540﹣80x）+40x＝300，分别解这两个方程即可求解．
【解答】解：（1）设线段AB所表示的函数的解析式为y＝kx+b，
把（3，300），（，0）代入其中得，
解之得，
∴线段AB所表示的函数解析式为y＝﹣80x+540，
自变量的取值范围为3＜x≤；
（2）∵x＝在3＜x≤中，
∴把x＝代入（1）的函数解析式y＝﹣80x+540中，
得y甲＝180，
∴乙车的速度为180÷＝40km/h；
（3）依题意有两次相遇，
①当0≤x≤3时，100x+40x＝300，
∴x＝，
②当3＜x≤时，（540﹣80x）+40x＝300，
∴x＝6，
∴当它们行驶了小时和6小时时两车相遇．
【点评】此题主要考查了一次函数在实际问题的应用，解题时首先认真观察图象，结合已知条件和图象中隐含的信息才能很好解决它们的问题．
18．甲、乙两队同时开挖两段渠道，所挖渠道的长度y（m）与挖掘的时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）写出：
①乙队挖到30m时，用时多少？
②开挖6h时甲队比乙队多挖了多少？
（2）写出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，两队所挖渠道的长度相等？
【分析】（1）①根据函数图象可以直接写出乙队挖到30m时，用时多少；
②根据函数图象可以直接写出开挖6h时甲队比乙队多挖了多少；
（2）①根据函数图象和图象中的数据可以求得甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②根据函数图象和图象中的数据可以求得乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）根据题意可知10x＝5x+20，求得x的值，即可解答本题．
【解答】解：（1）①由图象可得，
乙队挖到30m时，用时2小时；
②开挖6h时甲队比乙队多挖：60﹣50＝10米，
即开挖6h时甲队比乙队多挖10米；
（2）①甲队在0≤x≤6的时段内，设y与x之间的函数关系式是y＝kx，
6k＝60，得k＝10，
即甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式y＝10x；
②乙队在2≤x≤6的时段内，设y与x之间的函数关系式是y＝ax+b，
，得，
即乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式是y＝5x+20；
（3）由题意可得，
10x＝5x+20，
解得，x＝4，
答：x为4时，两队所挖渠道的长度相等．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
19．某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图①所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图②所示．某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图③所示，已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口．
（1）求a的值；
（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；
（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？
【分析】这是个动态问题，比较复杂，需从新增人数和售出票数两个方面同时考虑．
（1）a分钟新增4a人，两个窗口售出2×3a张票，此时窗口有240人，据此得方程求解；
（2）运用待定系数法求直线解析式，求x＝60时的函数值；
（3）根据题意列不等式求解．
【解答】解：
（1）由图①②可知，每分钟新增购票人数4人，每个售票窗口每分钟售票3人，则：
300+4×a﹣3×2×a＝240
解这个方程，得a＝30．
（2）设第30﹣78分钟时，售票厅排队等候购票的人数y与售票时间x的函数关系式y＝kx+b，
则30k+b＝240；78k+b＝0．
解得k＝﹣5，b＝390．
∴y＝﹣5x+390．
当x＝60时，y＝﹣5×60+390＝90．
因此，售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有90人．
（3）设至少同时开放n个售票窗口，依题意得：300+30×4≤30×3×n
解得n≥．
因此至少同时开放5个售票窗口．
【点评】本题是函数与实际问题的综合应用大题，要注意函数图象的运用及方程、不等式的联合运用．
20．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y＝﹣50x+15000，
②利用不等式求出x的范围，又因为y＝﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，
（3）据题意得，y＝（100+m）x﹣150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，
33≤x≤70
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，
即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
21．星光厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售其进价与售价如表
进价（元/台） 售价（元/台）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
（1）一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中赚了多少钱？
（2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不大于电压锅的，请你通过计算判断，如何进货厨具店赚钱最多？最大利润是多少？
【分析】通过审题，表格显示了两种商品的进价和售价；
（1）题目给出两种电器的总数量和进货的总花费；设其中一个电器购进x台，则另一种电器购进（30﹣x）台，由购进总费用可以求各种电器的数量，然后再分别乘以每种电器的利润，最后把各种电器的利润相加起来．
（2）题目给出了两种电器的数量和和两种电器的数量之间的关系，同时记得结合表格中的数据；可以设其中的一种电器数量为 n 台，总利润为z元，从而列出方程，根据两种电器之间的数量关系，确定取值范围，从而求出利润的最大值；
【解答】解：（1）每件电饭锅的利润：250﹣200＝50（元）；每件电压锅的利润：200﹣160＝40（元）
设购进的电饭煲x台，则购进的电压锅（30﹣x）台．
由题意得：200x+160（30﹣x）＝5600
解得：x＝20
则电压锅：30﹣20＝10（台）
总利润＝50×20+40×10＝1400 （元）
答：橱具店在该买卖中赚了1400元．
（2）设采购的电饭煲有 n 台，则采购的电压锅有（50﹣n）台
由题意得：总利润z＝50n+40 （50﹣n）＝2000+10n
∵n≤（50﹣n），
∴n≤
当n＝18时，总利润z最大，则最大的利润为2000+10×18＝2180（元）
答：采购18台电饭煲，32台电压锅时，进货厨具店赚钱最多，最大利润是2180元．
【点评】主要考查：一次函数应用问题，经济利润问题；也可以用二元一次方程的思路进行解答，一定要认真分析表格中的数据信息和题目的要求；
22．库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；
C D 总计
A x吨 200吨
B 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
（2）当x为何值时，A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
【分析】（1）由A村共有香梨200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可，由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元，由表格中的代数式，即可分别列出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）由第一问表示出的yA与x之间的函数关系式得到此函数为一次函数，根据x的系数为负数，得到此一次函数为减函数，且90≤x≤200时，A村的运费较少时x的值；
（3）设两村的运费之和为W，W＝yA+yB，把第一问表示出的两函数解析式代入，合并后得到W为关于x的一次函数，且x的系数大于0，可得出此一次函数图象是y随x的增大而增大，可得出x＝0时，W有最小值，将x＝0代入W关于x的函数关系式中，即可求出W的最小值．
【解答】解：（1）填写如下：
C D 总计
A x吨 （200﹣x）吨 200吨
B （240﹣x）吨 （60+x）吨 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
由题意得：yA＝40x+45（200﹣x）＝﹣5x+9000；yB＝25（240﹣x）+32（60+x）＝7x+7920；
（2）yA＝﹣5x+9000，
根据题意得：﹣5x+9000＜7x+7920，
解得：x＞90，
则当90＜x≤200时，A村的运费较少；
（3）设两村的运费之和为W，
则W＝yA+yB＝﹣5x+9000+7x+7920＝2x+16920（0≤x≤200），
∵k＝2＞0，
∴此一次函数为增函数，
则当x＝0时，W有最小值，W最小值为16920元．
此时调运方案为：从A村运往C仓库0吨，运往D仓库为200吨，B村应往C仓库运240吨，运往D仓库60吨．
【点评】此题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：一次函数的性质，以及函数关系式的列法，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．本题注意x的范围为0≤x≤200．
23．A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．
（1）甲的速度为　15km/h　，乙的速度为　20km/h　；
（2）求出：l1和l2的关系式；
（3）问经过多长时间两人相遇．
【分析】（1）利用图象上点的坐标得出甲、乙的速度即可；
（2）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）利用两函数相等进而求出相遇的时间．
【解答】解：（1）如图所示：甲的速度为：30÷2＝15（km/h），
乙的速度为：（100﹣80）÷1＝20（km/h），
故答案为：15km/h；20km/h；
（2）设l1的关系式为：s1＝kt，则30＝k×2，解得：k＝15，故s1＝15t；
设s2＝at+b，将（0，100），（1，80），则
，
解得：，
故l2的关系式为s2＝﹣20t+100；
（3）当s1＝s2，则15t＝﹣20t+100，
解得：t＝．
故经过小时两人相遇．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
24．在一条笔直的公路上有A、B两地．甲、乙两人同时出发，甲骑电动车从A地到B地，中途出现故障后停车维修，修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原速返回，结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）A、B两地间的距离为　30　km；
（2）求乙与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）求甲、乙第一次相遇的时间；
（4）若两人之间的距离不超过10km时，能够用无线对讲机保持联系，请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围．
【分析】（1）观察图形即可求得A、B两地间的距离；
（2）乙前往A地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的关系式为y乙1＝k1x，设乙返回B地距离B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的关系式为y乙2＝k2x+b2，由待定系数法可求乙与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）由相遇问题的数量关系直接求出结论；
（4）设甲在修车前y与x之间的函数关系式为y甲1＝kx+b，甲在修车后y与x之间的函数关系式为y甲2＝k3x+b3，由待定系数法求出解析式建立不等式组求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得A、B两地间的距离为30km．
故答案为：30；
（2）设乙前往A地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的关系式为y乙1＝k1x，由题意，得
30＝k1，
∴y乙1＝30x；
设乙返回B地距离B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的关系式为y乙2＝k2x+b2，由题意，得
，
解得：，
∴y＝﹣30x+60．
（3）由函数图象，得
（30+20）x＝30，
解得x＝0.6．
故甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；
（4）设甲在修车前y与x之间的函数关系式为y甲1＝kx+b，由题意，得
，
解得：，
y甲1＝﹣20x+30，
设甲在修车后y与x之间的函数关系式为y甲2＝k3x+b3，由题意，得
，
解得：，
∴y甲2＝﹣20x+40，
当时，
∴≤x≤；
，
解得：≤x≤2．
∴≤x≤或≤x≤2．
【点评】本题考查了行程问题的数量关系路程÷时间＝速度的运用，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，不等式组的解法的运用，解答时求出求出一次函数的解析式是关键．
25．为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，A纪念品的数量不少于50个，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，根据题意得出关于m和n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品x件，根据题意列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组得出x的取值范围，即可得出结论；
（3）找出总利润关于购买A种纪念品x件的函数关系式，由函数的单调性确定总利润取最值时x的值，从而得出结论．
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，根据题意可知：
，解得：．
答：购进A种纪念品每件需要100元，B种纪念品每件需要50元．
（2）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品100﹣x件，根据题意可得：
，解得：50≤x≤53．
故该商店共有4种进货方案：A种50件，B种50件；A种51件，B种49件；A种52件，B种48件；A种53件，B种47件．
（3）销售总利润为20x+30（100﹣x）＝3000﹣10x．
由总利润是关于x单调递减的函数可知：
当x＝50时，获得利润最大，最大利润＝3000﹣10×50＝2500（元）．
答：当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，获得的利润最大，最大利润是2500元．
【点评】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键：（1）列出关于两种纪念品单价的二元一次方程组；（2）列出关于购买A种纪念品件数x的一元一次不等式组；（3）根据一次函数的性质确定最值．本题属于中档题，难度不大，但考到的知识点稍多，解决该类题型时，明确解题的方法是关键，通过审题确定解题思路才能更快捷的解决该类问题．
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