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2021年清华大学强基计划笔试数学试题回忆版
本试卷共35题,每一道题均为不定项,下为回忆版
1.甲乙丙丁四人共同参加4项体育比赛,每项比赛第一名到第四名的分数依次为4、3
1分.比赛结束甲获得14分第一名,乙获得13分第二名,则(
A.第三名不超过9分
B.第三名可能获得其中一场比赛的第一名
C.最后一名不超过6分
D.第四名可能一项比赛拿到3分
答案:ACD
(1)所有分数之和为4×(4+3+2+2)=40,甲乙总分之和为14+13=27,所以第
三名和第四名总分数为13分,第四名的分数不超过6分,C正确,第四名至少得
4分,A正确
(2)所有项目的第一名和第二名分数之和为4×(4+3)=28分,只比甲乙两人总分数
高一分,说明只有一种情况,甲乙包揽所有项目第一名,总共拿到3个第二名和
第三名B错误
(3)D正确的一种情形
2.定义
则(…(2*3)*4)…)*21=().
答案:115
解:令=1,y=1,则xy==M
其中入
2-1,=-+1
x+1
容易得到,若设z
入p-1
*0)*怎
Auv+1
即*运算满足:
(2)(x*y)*2=*(y*2)
进而可得(,(234…)+21=(=)(=)(
器)-1-21×11-1116
(-2)+1-21×11+1115
补充说明:看到+9,联想到mnhx=p+1’于是做一个x+/的换元准没
入-1
1+ ry
3.已知
A.x4+x3+x2+x+1=(x-a)(x-23)(x-2)(x-a3)
B.x4-x32+x2-x+1=(x-u)(x-u3)(x-u)(x-a3)
C.x4-x3-x2+x+1=(x-)(x-u3)(x-u7)(x-)
D.x4+x3+x2-x-1=(x-u)(x-w3)(x-w2)(x-u2)
答案:B.
解:容易得到1、、2、.、a为x10-1=0的根,则
另外1、2、u4、w6、s为x5-1=0的根,则
结合u5
两个式子做比可得
补充说明:第一次见此题是2000年全国高中数学联赛一试第6
4.恰有一个实数x使得x3-ax-1=0成立,则实数a的取值范围为()
易得x≠0,问题等价于方程a
只有一个实数解
令∫(x)=x2--,∫(x)=2x+
令2x3+1
可知
,x0
∫(x)
极小值
其图象如图所示
补充说明:高考导数基本要求
5.已知团为高斯函数,+
解的组数为()
A.30
答案:A
解:因为
∈Z,则x∈Z
因此
z}+(}+(=}

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