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【备考2022】浙江专版数学中考2019-2021年真题分类精编精练（4）方程（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021·浙江温州·）解方程，以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江金华·）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·浙江嘉兴·）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
4．（2020·浙江宁波·）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020·浙江衢州·）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442
6．（2021·浙江嘉兴·）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江丽水·）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·浙江台州·）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
9．（2020·浙江绍兴·）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km B．140km C．160km D．180km
10．（2020·浙江）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
二、填空题（每题2分。共18分）
11．（2020·浙江嘉兴·）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
12．（2021·浙江金华·）已知是方程的一个解，则m的值是____________．
13．（2020·浙江衢州·）一元一次方程2x+1=3的解是x=_____．
14．（2020·浙江杭州·）若分式的值等于1，则x＝_____．
15．（2021·浙江嘉兴·）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解__________________．
16．（2020·浙江绍兴·）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
17．（2021·浙江绍兴·）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有_______两．（注：明代时1斤=16两）
18．（2020·浙江绍兴·）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．
19．（2021·浙江丽水·）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
三、解答题（共52分）
20．（2020·浙江台州·）解方程组：
21．（2020·浙江杭州·）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
22．（2021·浙江嘉兴·）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
23．（2021·浙江）解分式方程：．
24．（2021·浙江台州·）解方程组：
25．（2020·浙江）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
参考答案
1．【分析】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号．
解：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号．
2．【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．
解：设“□”内数字为x，根据题意可得：
3×（20+x）+5=10x+2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键．
3．【分析】根据各选项分别计算，即可解答．
解：方程组利用加减消元法变形即可．
解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
4．【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
5．【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
6．【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解．
解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得：
故选：B．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．
解：，
，
，
，
故选：D．
【点评】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．
8．【分析】根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解．
解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜4，
故选D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键．
9．【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，然后画出图形、确定等量关系、列出关于x和y的二元一次方程组并求解即可．
解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
，
解得： ．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
故答案为B．
【点评】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，弄清题意、确定等量关系、列出方程组是解答本题的关键．
10．【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
11【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
解：根据题意得，，
故答案为：
【点评】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
12．【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
解：∵是方程的一个解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
13．【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解．
解：将方程移项得，
2x=2，
系数化为1得，
x=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌握，此题比较简单，属于基础题
14．【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
解：由分式的值等于1，得
＝1，
解得x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
故答案为：0．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
15．【分析】根据题意确定出方程的整数解即可．
解：方程的一组整数解为
故答案为：（答案不唯一）
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
16．【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可.
解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
而1﹣1＝0，
∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．
故答案为：答案不唯一，如x﹣y.
【点评】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.
17．【分析】题目中分银子的人数和银子的总数不变，有两种分法，根据银子的总数一样建立等式，进行求解．
解：设有人一起分银子，根据题意建立等式得，
，
解得：，
银子共有：（两）
故答案是：46．
【点评】本题考查了一元一次方程在生活中的实际应用，解题的关键是：读懂题目意思，根据题目中的条件，建立等量关系．
18．【分析】设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．
解：设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x﹣20+x＝150，
解得x＝85；
②所购商品的标价大于90元，
x﹣20+x﹣30＝150，
解得x＝100．
故所购商品的标价是100或85元．
故答案为100或85．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．
19．【分析】（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；
（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．
解：已知，实数，同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）当时，将代入得，
解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴当时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当时，则，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
20．【分析】首先将两式相加得出关于x的一元一次方程，求出x的值，然后将x的值代入第一个方程求出y的值，从而得出方程组的解.
解：
①+②得：，所以 .
把代入①得：.
∴，该方程组的解为
【点评】此题考查二元一次方程组的求解，运用“消元法”逐步求得方程组的解即可．
21．【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．
去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
【点评】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．
22．【分析】根据因式分解法解一元二次方程
解：
小敏：两边同除以，得，则．（×） 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
23．【分析】先将分式方程化成整式方程，然后求解，最后检验即可．
解：
．
．
经检验，是原方程的解．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，将将分式方程化成整式方程是解题的关键，检验是解答本题的易错点．
24．【分析】
观察方程组中同一未知数的系数特点：x的系数存在倍数关系，而y的系数互为相反数，因此将两方程相加，消去y求出x，再求出y的值，可得到方程组的解.
解：①+②得：3x=3，
即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为 .
【点评】此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法.
25．【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个列方程组，解方程组即可解决问题；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程求解即可；
②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较即可解答．
解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：
，
解得．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
=，
解得m=5．
经检验，m=5是原方程的解，且符合题意，
∴乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：
=18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）．
∵17700＜18000，
∴选择方案一能更节省开支．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页

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