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课时13 万有引力定律及其应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1、了解开普勒关于行星运动的描述；
2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置；
3、掌握万有引力定律并能应用；
4、理解三种宇宙速度及其区别。
1物理观念：万有引力、宇宙速度。
（1）通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界
的作用
（2）会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
（1）理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。
（2）掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“迫及”问题
3科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收
会处理人造卫星的变轨和对接问题。知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的
知识点一：开普勒行星运动定律
1.开普勒三定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
2.开普勒定律的应用
（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为 ；
（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为，这时由行星决定，与卫星无关。当天体绕不同的中心星球运行时，中的值是不同的。
（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。
知识点二：万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
4．天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
G＝ma＝
技巧点拨：
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg；提供物体随地球自转的向心力F向．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G.
知识点三：应用万有引力定律分析天体的运动
1.基本方法：把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
公式为 ：
解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。
2.天体质量M、密度的计算
(1)利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由G＝mg，得天体质量M＝.
②天体密度ρ＝＝＝.
(2)利用运行天体
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由G＝mr，得M＝.
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度
3.天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系
　　（1）由 得，所以越大，越小；
　　（2）由 得，所以越大，越小；
　　（3）由 得，所以越大，T越大。
4.黄金代换式
　 在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为，且有。对其它行星也适用，不过是行星表面的重力加速度，R是行星的半径，M是行星的质量。
考点一：开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用
例1.1．（2021·全国）8月16日凌晨，被命名为“墨子号”的中国首颗量子科学实验卫星开启星际之旅，其运行轨道为如图所示的绕地球E运动的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上．轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔（Δt=T/14，T为轨道周期）的位置．如果作用在卫星上的力只有地球E对卫星的万有引力，则下列说法正确的是（ ）
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于B点的速度
C．T2=Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2=C'b3，其中C'为常数，b为椭圆半短轴
【答案】C
【详解】
根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等S1=S2。行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化，故A错误，B错误；
根据开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即T2=Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴，故C正确，D错误。
故选C。
变式训练．（2021·全国高三专题练习）我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
忽略星球的自转，万有引力等于重力
则
解得
着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知
解得
匀减速过程，根据牛顿第二定律得
解得着陆器受到的制动力大小为
ACD错误，B正确。
故选B。
考点二：其他星球表面的重力加速度
例2．（2021·全国）一颗在赤道上空做匀速圆周运动运行的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为（已知地球半径为R）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
根据万有引力提供向心力，对卫星有
而地球表面
因为
解得
r=2R
由几何关系可知，某一时刻该卫星观测到地面赤道的弧度数为，则观测到地面赤道最大弧长为，故A正确，BCD错误。
故选A。
变式训练．（2022·全国高三专题练习）由中国科学院、中国工程院两院院士评出的年中国十大科技进展新闻，于年月日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破米分别排在第一、第二．若地球半径为，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为，天宫一号轨道距离地面高度为，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：
由于地球的质量为：
所以重力加速度的表达式可写成：
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度
所以有
根据万有引力提供向心力
“天宫一号”的加速度
所以
所以
故应选C．
考点三：天体质量和密度的估算
例3．（2021·全国高三专题练习）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（　　）
A．月球平均密度为 B．月球平均密度为
C．月球表面重力加速度为 D．月球表面重力加速度为
【答案】BD
【详解】
AB．根据万有引力定律和牛顿第二定律可得
又
解得
A错误，B正确；
CD．由于
联立可得
C错误，D正确。
故选BD。
变式训练．（2021·全国）英国物理学家卡文迪许测出了引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为（地球自转周期，一年的时间为（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离为，地球中心到太阳中心的距离为，可估算出（　　）
A．地球的质量 B．太阳的质量
C．月球的质量 D．月球、地球及太阳的密度
【答案】AB
【详解】
A．对地球表面的物体有
则
选项A正确；
B．由太阳对地球的万有引力提供向心力有
可得
选项B正确；
CD．因为月球表面的重力加速度及半径未知，无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，太阳的半径未知，则太阳的密度也无法求出。选项CD错误。
故选AB。
考点四：应用开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题
例4．（2021·全国）当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
【答案】B
【详解】
AB．地球公转周期年，根据开普勒第三定律可得土星公转周期
年
设经时间t，再次出现土星冲日，则有
其中
解得
t≈1.1年
因此下一次土星冲日发生在2017年，故A错误，B正确；
CD．设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a。对行星由牛顿第二定律可得
解得
由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，土星运行的加速度比地球小，土星运行周期比地球大，故CD错误。
故选B。
变式训练．（2022·全国高三专题练习）如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra：rb=1：4，则下列说法中正确的有（　　）
A．a、b运动的周期之比为Ta：Tb=1：8
B．a、b运动的周期之比为Ta：Tb=1：4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】AD
【详解】
AB．根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1：8，故A正确，B错误；
CD．设图示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<，b转动一周（圆心角为2π）的时间为Tb，则a、b相距最远时
（n=0，1，2，3……）
可知
n<6.75
n可取7个值；a、b相距最近时
（m=0，1，2，3……）
可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，故C错，D正确。
故选AD。
1．（2021 湖北）2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（　　）
A．地球与火星的动能之比
B．地球与火星的自转周期之比
C．地球表面与火星表面重力加速度大小之比
D．地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比
【解答】解：A、设地球和火星的公转周期分别为T1、T2，轨道半径分别为r1、r2，根据开普勒第三定律＝，可求得地球与火星的轨道半径之比，
由太阳的引力提供向心力，则有G＝m，得v＝，即地球与火星的线速度之比可以求得，
但由于地球与火星的质量关系未知，因此不能求得地球与火星的动能之比，故A错误；
B、地球和火星的角速度分别为ω1＝，ω2＝，
由题意知火星和地球每隔约26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径，则ω1t﹣ω2t＝2π，
由以上可解得T2＝月，则地球与火星绕太阳的公转周期之比T1：T2＝7：13，但不能求出两星球自转周期之比，故B错误；
C、由物体在地球和火星表面的重力等于各自对物体的引力，则有G＝mg，得g＝G，由于地球和火星的质量关系以及半径关系均未知，则两星球表面重力加速度的关系不可求，故C错误；
D、地球与火星绕太阳运动的向心加速度由太阳对地球和火星的引力产生，所以向心加速度大小则有G＝ma，得a＝G，得 由于两星球的轨道半径之比已知，则地球与火星绕太阳运动的向心加速度之比可以求得，故D正确。
故选：D。
2．（2021 北京）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8×102km、远火点距离火星表面5.9×105km，则“天问一号”（　　）
A．在近火点的加速度比远火点的小
B．在近火点的运行速度比远火点的小
C．在近火点的机械能比远火点的小
D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
【解答】解：A、设火星的质量为M，“天问一号”的质量为m，到火星中心的距离为r，根据牛顿第二定律得：
G＝ma，得a＝，
所以“天问一号”在近火点的加速度比远火点的大，故A错误；
B、根据开普勒第二定律知“天问一号”在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误；
C、“天问一号”在火星停泊轨道运行时，只有万有引力做功，其机械能守恒，故C错误；
D、“天问一号”在近火点时其所需向心力大于万有引力，在此处减速使所需要的向心力减小，而火星对它的万有引力不变，当万有引力大于向心力，则“天问一号”做近心运动，当万有引力恰好等于绕火星做圆周运动所需向心力时，就实现了绕火星做圆周运动，故D正确。
故选：D。
3．（2021 山东）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（　　）
A．9：1 B．9：2 C．36：1 D．72：1
【解答】解：在星球表面，根据物体所受的万有引力等于重力得：
＝mg
解得：g＝
故＝＝9×＝
悬停时，两车均受力平衡，即F＝mg
＝＝＝，故B正确，ACD错误。
故选：B。
4．（2021 山东）迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行。系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示。在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为r。导体绳所受的安培力克服大小为f的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上。已知卫星离地平均高度为H，导体绳长为L（L H），地球半径为R，质量为M，轨道处磁感应强度大小为B，方向垂直于赤道平面。忽略地球自转的影响。据此可得，电池电动势为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由万有引力提供向心力有：，解得：v＝，
根据右手定则可知，导体绳产生的感应电动势相当于上端为正极的电源，其大小为：E′＝BLv，
因导线绳所受阻力f与安培力F平衡，则安培力与速度方向相同，可知导线绳中的电流方向向下，即电池电动势大于导线绳切割磁感线产生的电动势，可得：E总＝E﹣E′，F安＝BIL，I＝，F安＝f，
联立得：E＝BL，故A正确，BCD错误。
故选：A。
5．（2021 浙江）空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02﹣2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（　　）
A．绕地运行速度约为2.0km/s
B．绕地运行速度约为8.0km/s
C．在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
D．在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
【解答】解：AB、卫星贴近地面做匀速圆周运动的线速度大小设为v1，此速度为第一宇宙速度，即v1＝7.9km/s；
根据万有引力提供向心力可得：，解得：v1＝＝7.9km/s；
设该空间站绕地运行速度大小为v2，根据万有引力提供向心力可得：
，解得：v1＝
根据图象可知，空间站距离地面的最小高度约为h＝418km＜R＝6400km，则
v2＝km/s＝5.58km/s，
所以空间站绕地运行速度5.58km/s＜v2＜7.9km/s，故AB错误；
CD、由图可知，在4月份期间空间站高度进行了轨道修正，即存在发动机做功，则任意两小时内其机械能不可视为守恒；在5月份期间无外力做功，地球外层的稀薄空气任意两小时内对空间站做功很少，可以忽略不计，机械能可视为守恒，故D正确，C错误。
故选：D。
6．（2021 河北）“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：环绕天体m绕中心天体M做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：＝，
环绕天体的半径与周期的关系为：r＝，
所以飞船绕火星的轨道半径r飞与同步卫星绕地球的轨道半径r同之比为：
＝＝，故ABC错误，D正确。
故选：D。
7．（2021 甲卷）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（　　）
A．6×105m B．6×106m C．6×107m D．6×108m
【解答】解：根据题意可知火星的半径为R＝3.4×106m，轨道与火星表面的最近距离约为h＝2.8×105m。设火星的质量为M，“天问一号”所在椭圆轨道的半长轴为r。
设想在火星上方有一颗卫星做半径为r的匀速圆周运动，根据开普勒第三定律＝k可知该卫星的周期T＝1.8×105s
对该卫星，根据万有引力提供向心力可得：＝mr，
在火星表面，根据万有引力和重力的关系可得：＝mg
联立解得：r≈3.26×107m，
设“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离为H，根据几何关系可得：h+2R+H＝2r
解得：H≈6×107m，故C正确、ABD错误。
故选：C。
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课时13 万有引力定律及其应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1、了解开普勒关于行星运动的描述；
2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置；
3、掌握万有引力定律并能应用；
4、理解三种宇宙速度及其区别。
1物理观念：万有引力、宇宙速度。
（1）通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界
的作用
（2）会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
（1）理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。
（2）掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“迫及”问题
3科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收
会处理人造卫星的变轨和对接问题。知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的
知识点一：开普勒行星运动定律
1.开普勒三定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
2.开普勒定律的应用
（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为 ；
（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为，这时由行星决定，与卫星无关。当天体绕不同的中心星球运行时，中的值是不同的。
（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。
知识点二：万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
4．天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
G＝ma＝
技巧点拨：
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg；提供物体随地球自转的向心力F向．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G.
知识点三：应用万有引力定律分析天体的运动
1.基本方法
　　把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
公式为
解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。
2.天体质量M、密度的计算
(1)利用天体表面重力加速度：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由G＝mg，得天体质量M＝.
②天体密度ρ＝＝＝.
(2)利用运行天体
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由G＝mr，得M＝.
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度
3.天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系
　　（1）由 得，所以越大，越小；
　　（2）由 得，所以越大，越小；
　　（3）由 得，所以越大，T越大。
4.黄金代换式
　 在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为，且有。对其它行星也适用，不过是行星表面的重力加速度，R是行星的半径，M是行星的质量。
考点一：开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用
例1.1．（2021·全国）8月16日凌晨，被命名为“墨子号”的中国首颗量子科学实验卫星开启星际之旅，其运行轨道为如图所示的绕地球E运动的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上．轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔（Δt=T/14，T为轨道周期）的位置．如果作用在卫星上的力只有地球E对卫星的万有引力，则下列说法正确的是（ ）
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于B点的速度
C．T2=Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2=C'b3，其中C'为常数，b为椭圆半短轴
【答案】C
【详解】
根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等S1=S2。行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化，故A错误，B错误；
根据开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即T2=Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴，故C正确，D错误。
故选C。
变式训练．（2021·全国高三专题练习）我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
忽略星球的自转，万有引力等于重力
则
解得
着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知
解得
匀减速过程，根据牛顿第二定律得
解得着陆器受到的制动力大小为
ACD错误，B正确。
故选B。
考点二：其他星球表面的重力加速度
例2．（2021·全国）一颗在赤道上空做匀速圆周运动运行的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为（已知地球半径为R）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
根据万有引力提供向心力，对卫星有
而地球表面
因为
解得
r=2R
由几何关系可知，某一时刻该卫星观测到地面赤道的弧度数为，则观测到地面赤道最大弧长为，故A正确，BCD错误。
故选A。
变式训练．（2022·全国高三专题练习）由中国科学院、中国工程院两院院士评出的年中国十大科技进展新闻，于年月日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破米分别排在第一、第二．若地球半径为，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为，天宫一号轨道距离地面高度为，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：
由于地球的质量为：
所以重力加速度的表达式可写成：
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度
所以有
根据万有引力提供向心力
“天宫一号”的加速度
所以
所以
故应选C．
考点三：天体质量和密度的估算
例3．（2021·全国高三专题练习）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（　　）
A．月球平均密度为 B．月球平均密度为
C．月球表面重力加速度为 D．月球表面重力加速度为
【答案】BD
【详解】
AB．根据万有引力定律和牛顿第二定律可得
又
解得
A错误，B正确；
CD．由于
联立可得
C错误，D正确。
故选BD。
变式训练．（2021·全国）英国物理学家卡文迪许测出了引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为（地球自转周期，一年的时间为（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离为，地球中心到太阳中心的距离为，可估算出（　　）
A．地球的质量 B．太阳的质量
C．月球的质量 D．月球、地球及太阳的密度
【答案】AB
【详解】
A．对地球表面的物体有
则
选项A正确；
B．由太阳对地球的万有引力提供向心力有
可得
选项B正确；
CD．因为月球表面的重力加速度及半径未知，无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，太阳的半径未知，则太阳的密度也无法求出。选项CD错误。
故选AB。
考点四：应用开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题
例4．（2021·全国）当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
【答案】B
【详解】
AB．地球公转周期年，根据开普勒第三定律可得土星公转周期
年
设经时间t，再次出现土星冲日，则有
其中
解得
t≈1.1年
因此下一次土星冲日发生在2017年，故A错误，B正确；
CD．设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a。对行星由牛顿第二定律可得
解得
由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，土星运行的加速度比地球小，土星运行周期比地球大，故CD错误。
故选B。
变式训练．（2022·全国高三专题练习）如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra：rb=1：4，则下列说法中正确的有（　　）
A．a、b运动的周期之比为Ta：Tb=1：8
B．a、b运动的周期之比为Ta：Tb=1：4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】AD
【详解】
AB．根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1：8，故A正确，B错误；
CD．设图示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<，b转动一周（圆心角为2π）的时间为Tb，则a、b相距最远时
（n=0，1，2，3……）
可知
n<6.75
n可取7个值；a、b相距最近时
（m=0，1，2，3……）
可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，故C错，D正确。
故选AD。
1．（2021 湖北）2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（　　）
A．地球与火星的动能之比
B．地球与火星的自转周期之比
C．地球表面与火星表面重力加速度大小之比
D．地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比
2．（2021 北京）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8×102km、远火点距离火星表面5.9×105km，则“天问一号”（　　）
A．在近火点的加速度比远火点的小
B．在近火点的运行速度比远火点的小
C．在近火点的机械能比远火点的小
D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
3．（2021 山东）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（　　）
A．9：1 B．9：2 C．36：1 D．72：1
4．（2021 山东）迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行。系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示。在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为r。导体绳所受的安培力克服大小为f的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上。已知卫星离地平均高度为H，导体绳长为L（L H），地球半径为R，质量为M，轨道处磁感应强度大小为B，方向垂直于赤道平面。忽略地球自转的影响。据此可得，电池电动势为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021 浙江）空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02﹣2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（　　）
A．绕地运行速度约为2.0km/s
B．绕地运行速度约为8.0km/s
C．在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
D．在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
6．（2021 河北）“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021 甲卷）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（　　）
A．6×105m B．6×106m C．6×107m D．6×108m
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