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课时14 天体运动的综合问题（重难点解析）
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1、掌握万有引力定律并能应用；
2、理解三种宇宙速度及其区别。
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
（1）通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用
（2）会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型
（1）理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。
（2）掌握双星、多星系统，会解決相关问题、会分析天体的“迫及”问题
3科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
知识点一：宇宙航行 人造卫星
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．基本公式：
(1)线速度：G＝m v＝
(2)角速度：G＝mω2r ω＝
(3)周期：G＝m2r T＝2π
(4)向心加速度：G＝ma a＝
结论：r越大，v、ω、a越小，T越大．
技巧点拨：
1．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2．近地卫星和同步卫星
卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．
(1)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面共面．
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.
④运行速率均为v＝3.1×103 m/s.
知识点二：宇宙速度的理解和计算
一、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.
(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
(4)第一宇宙速度的计算方法．
由G＝m得v＝ ；
由mg＝m得v＝.
2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
4.宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
知识点三：近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题
1．卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．
所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
2．同步卫星问题的“四点”注意
(1)基本关系：G＝ma＝m＝mrω2＝mr.
(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．
(3)物理规律：
①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．
②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行．
(4)重要条件：
①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2.
②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．
③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.
3．两个向心加速度
卫星绕地球运行的向心加速度 物体随地球自转的向心加速度
产生原因 由万有引力产生 由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生
方向 指向地心 垂直且指向地轴
大小 a＝(地面附近a近似等于g) a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度
特点 随卫星到地心的距离的增大而减小 从赤道到两极逐渐减小
4.两种周期
(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢．
(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2π，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．
知识点四：卫星变轨和能量问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1技巧点拨：
1.轨道的渐变
做匀速圆周运动的卫星的轨道半径发生缓慢变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动.解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径r是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化.
2.轨道的突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道.
（1）当卫星的速度突然增加时，，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时减小.
（2）当卫星的速度突然减小时，，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时增大：卫星的发射和回收就是利用这一原理。
不论是轨道的渐变还是突变，都将涉及功和能量问题，对卫星做正功，卫星机械能增大，由低轨道进入高轨道：对卫星做负功，卫星机械能减小，由高轨道进入低轨道.
知识点五：双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星体绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
考点一：近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题
例1.(2021·安徽宣城市第二次模拟)有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图1，则有(　　)
图1
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．b在相同时间内转过的弧长最长
C．c在4 h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是20 h
答案　B
解析　同步卫星的周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度．由G＝mg，解得：g＝，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由G＝m，解得：v＝，卫星的半径r越大，速度v越小，所以b的速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B正确；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是×4＝，故C错误；由开普勒第三定律＝k可知：卫星的半径r越大，周期T越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，即不可能是20 h，故D错误．
变式训练(多选)(2020·甘肃兰州市第一次诊断)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是(　　)
A．它们均位于赤道正上方
B．它们的周期小于近地卫星的周期
C．它们离地面的高度都相同
D．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯
答案　AC
解析　所有地球静止轨道卫星的位置均位于赤道正上方，故A项正确；地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，据开普勒第三定律知，地球静止轨道卫星的周期大于近地卫星的周期，故B项错误；据G＝m()2r知，地球静止轨道卫星的轨道半径相同，离地面的高度相同，故C项正确；同步卫星离地高度较高，有三颗地球静止轨道卫星工作就能实现全球通讯，故D项错误．
考点二：卫星变轨和能量问题
例2.　(2021·平遥县)2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，“嫦娥四号”开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ.12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．如图3所示，B为近月点，A为远月点．关于“嫦娥四号”卫星，下列说法正确的是(　　)
图3
A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度大于在B点的加速度
B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态
C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加
D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B点时的动能
答案　D
解析　根据万有引力提供向心力有：G＝ma，B点距月心更近，所以加速度更大，A错误；在轨道Ⅰ运动的过程中，万有引力全部提供向心力，所以处于失重状态，B错误；卫星从高轨道变轨到低轨道，需要点火减速，近心运动到低轨道，所以从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，外力做负功，机械能减小，C错误；从A点到B点，万有引力做正功，动能增大，所以B点动能大，D正确．
变式训练(2019·山东潍坊市二模)如图4所示，绕月空间站绕月球做匀速圆周运动，航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道运动，M点是椭圆轨道的近月点，为实现航天飞机在M点与空间站对接，航天飞机在即将到达M点前经历短暂减速后与空间站对接．下列说法正确的是(　　)
图4
A．航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期
B．航天飞机在对接前短暂减速过程中，机内物体处于完全失重状态
C．航天飞机与空间站对接前后机械能增加
D．航天飞机在对接前短暂减速过程中机械能不变
答案　A
解析　因航天飞机沿椭圆轨道运行的半长轴大于空间站运动的圆轨道半径，根据开普勒第三定律可知，航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期，选项A正确；航天飞机在对接前接近月球的短暂减速过程中，加速度方向背离月球，则机内物体处于超重状态，选项B错误；航天飞机与空间站对接前后因速度不变，则机械能守恒，选项C错误；航天飞机在对接前短暂减速过程要克服阻力做功，则机械能减小，选项D错误．
考点三：多星系统
例3.(多选)如图9，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　)
图9
A．三颗星的质量可能不相等
B．某颗星的质量为
C．它们的线速度大小均为
D．它们两两之间的万有引力大小为
答案　BD
解析　轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则有2Gcos 30°＝m··l，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝G＝G＝，故A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·＝，C错误．
变式训练(2019·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是(　　)
图8
A．两颗恒星相距
B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3
D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为∶1
答案　A
解析　两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即MrA＝3MrB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，故选项B、D错误；设两恒星相距L，则rA＋rB＝L，rA＝L，根据牛顿第二定律有：MrA＝G，解得L＝，选项A正确；由v＝r得，恒星A与恒星B的线速度大小之比为3∶1，选项C错误．
1．（2021 天津）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下中国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（　　）
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
2．（2020 全国）已知地球半径为R，第一宇宙速度v1；地球同步卫星距地面的高度为h，它的飞行速度为v2。则v1与v2大小的比值为（　　）
A． B． C．（）2 D．（）2
3．（2020 浙江）如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1000km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则（　　）
A．a、b的周期比c大 B．a、b的向心力一定相等
C．a、b的速度大小相等 D．a、b的向心加速度比c小
4．（2021 乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M
5．（2021 广东）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
6．（2021 浙江）嫦娥五号探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。为等待月面采集的样品，轨道器与返回器的组合体环月做圆周运动。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2地球质量m1＝6.0×1024kg，月球质量m2＝7.3×1022kg，月地距离r1＝3.8×105km，月球半径r2＝1.7×103km。当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200km处做环月匀速圆周运动时，其环绕速度约为（　　）
A．16m/s B．1.1×102m/s C．1.6×103m/s D．1.4×104m/s
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课时14 天体运动的综合问题（重难点解析）
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1、掌握万有引力定律并能应用；
2、理解三种宇宙速度及其区别。
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
（1）通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的
作用
（2）会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型
（1）理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。
（2）掌握双星、多星系统，会解決相关问题、会分析天体的“迫及”问题
3科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
知识点一：宇宙航行 人造卫星
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．基本公式：
(1)线速度：G＝m v＝
(2)角速度：G＝mω2r ω＝
(3)周期：G＝m2r T＝2π
(4)向心加速度：G＝ma a＝
结论：r越大，v、ω、a越小，T越大．
技巧点拨：
1．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2．近地卫星和同步卫星
卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．
(1)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面共面．
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.
④运行速率均为v＝3.1×103 m/s.
知识点二：宇宙速度的理解和计算
一、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.
(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
(4)第一宇宙速度的计算方法．
由G＝m得v＝ ；
由mg＝m得v＝.
2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
4.宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
知识点三：近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题
1．卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．
所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
2．同步卫星问题的“四点”注意
(1)基本关系：G＝ma＝m＝mrω2＝mr.
(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．
(3)物理规律：
①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．
②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行．
(4)重要条件：
①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2.
②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．
③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.
3．两个向心加速度
卫星绕地球运行的向心加速度 物体随地球自转的向心加速度
产生原因 由万有引力产生 由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生
方向 指向地心 垂直且指向地轴
大小 a＝(地面附近a近似等于g) a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度
特点 随卫星到地心的距离的增大而减小 从赤道到两极逐渐减小
4.两种周期
(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢．
(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2π，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．
知识点四：卫星变轨和能量问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1技巧点拨：
1.轨道的渐变
做匀速圆周运动的卫星的轨道半径发生缓慢变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动.解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径r是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化.
2.轨道的突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道.
（1）当卫星的速度突然增加时，，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时减小.
（2）当卫星的速度突然减小时，，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时增大：卫星的发射和回收就是利用这一原理。
不论是轨道的渐变还是突变，都将涉及功和能量问题，对卫星做正功，卫星机械能增大，由低轨道进入高轨道：对卫星做负功，卫星机械能减小，由高轨道进入低轨道.
知识点五：双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
考点一：近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题
例1.(2021·安徽宣城市第二次模拟)有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图1，则有(　　)
图1
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．b在相同时间内转过的弧长最长
C．c在4 h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是20 h
答案　B
解析　同步卫星的周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度．由G＝mg，解得：g＝，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由G＝m，解得：v＝，卫星的半径r越大，速度v越小，所以b的速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B正确；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是×4＝，故C错误；由开普勒第三定律＝k可知：卫星的半径r越大，周期T越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，即不可能是20 h，故D错误．
变式训练(多选)(2020·甘肃兰州市第一次诊断)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是(　　)
A．它们均位于赤道正上方
B．它们的周期小于近地卫星的周期
C．它们离地面的高度都相同
D．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯
答案　AC
解析　所有地球静止轨道卫星的位置均位于赤道正上方，故A项正确；地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，据开普勒第三定律知，地球静止轨道卫星的周期大于近地卫星的周期，故B项错误；据G＝m()2r知，地球静止轨道卫星的轨道半径相同，离地面的高度相同，故C项正确；同步卫星离地高度较高，有三颗地球静止轨道卫星工作就能实现全球通讯，故D项错误．
考点二：卫星变轨和能量问题
例2.　(2021·平遥县)2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，“嫦娥四号”开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ.12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．如图3所示，B为近月点，A为远月点．关于“嫦娥四号”卫星，下列说法正确的是(　　)
图3
A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度大于在B点的加速度
B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态
C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加
D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B点时的动能
答案　D
解析　根据万有引力提供向心力有：G＝ma，B点距月心更近，所以加速度更大，A错误；在轨道Ⅰ运动的过程中，万有引力全部提供向心力，所以处于失重状态，B错误；卫星从高轨道变轨到低轨道，需要点火减速，近心运动到低轨道，所以从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，外力做负功，机械能减小，C错误；从A点到B点，万有引力做正功，动能增大，所以B点动能大，D正确．
变式训练(2019·山东潍坊市二模)如图4所示，绕月空间站绕月球做匀速圆周运动，航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道运动，M点是椭圆轨道的近月点，为实现航天飞机在M点与空间站对接，航天飞机在即将到达M点前经历短暂减速后与空间站对接．下列说法正确的是(　　)
图4
A．航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期
B．航天飞机在对接前短暂减速过程中，机内物体处于完全失重状态
C．航天飞机与空间站对接前后机械能增加
D．航天飞机在对接前短暂减速过程中机械能不变
答案　A
解析　因航天飞机沿椭圆轨道运行的半长轴大于空间站运动的圆轨道半径，根据开普勒第三定律可知，航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期，选项A正确；航天飞机在对接前接近月球的短暂减速过程中，加速度方向背离月球，则机内物体处于超重状态，选项B错误；航天飞机与空间站对接前后因速度不变，则机械能守恒，选项C错误；航天飞机在对接前短暂减速过程要克服阻力做功，则机械能减小，选项D错误．
考点三：多星系统
例3.(多选)如图9，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　)
图9
A．三颗星的质量可能不相等
B．某颗星的质量为
C．它们的线速度大小均为
D．它们两两之间的万有引力大小为
答案　BD
解析　轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则有2Gcos 30°＝m··l，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝G＝G＝，故A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·＝，C错误．
变式训练(2019·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是(　　)
图8
A．两颗恒星相距
B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3
D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为∶1
答案　A
解析　两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即MrA＝3MrB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，故选项B、D错误；设两恒星相距L，则rA＋rB＝L，rA＝L，根据牛顿第二定律有：MrA＝G，解得L＝，选项A正确；由v＝r得，恒星A与恒星B的线速度大小之比为3∶1，选项C错误．
1．（2021 天津）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下中国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（　　）
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
【解答】解：A、探测器在轨道Ⅱ做椭圆运动，其轨迹为椭圆，所以受力不平衡，故A错误；
B、根据开普勒第三定律：，轨道Ⅰ运行半径比在Ⅱ的大，则在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时的长，故B错误；
C、在变轨过程中从高轨道进入低轨道需要点火减速，使得万有引力大于向心力，故C错误；
D、沿椭圆轨道运动时，根据能量守恒可知近地点的速度大，所以探测器沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大，故D正确；
故选：D。
2．（2020 全国）已知地球半径为R，第一宇宙速度v1；地球同步卫星距地面的高度为h，它的飞行速度为v2。则v1与v2大小的比值为（　　）
A． B． C．（）2 D．（）2
【解答】解：卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得
G＝m，得v＝
由题可得v1＝，v2＝，所以＝，故ACD错误，B正确。
故选：B。
3．（2020 浙江）如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1000km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则（　　）
A．a、b的周期比c大 B．a、b的向心力一定相等
C．a、b的速度大小相等 D．a、b的向心加速度比c小
【解答】解：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，＝m＝ma，解得周期T＝，v＝，a＝。
ACD、a、b卫星的轨道半径相等，则周期相等，线速度大小相等，向心加速度大小相等，c卫星的轨道半径大于a、b卫星的轨道半径，则c卫星的向心加速度小于a、b的向心加速度，故AD错误，C正确。
B、卫星的质量未知，无法比较向心力的大小，故B错误。
故选：C。
4．（2021 乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M
【解答】解：设地球的质量为m，地球到太阳的距离为r＝1AU，地球的公转周期为T＝1年；
由万有引力提供向心力可得：＝mr，
解得：M＝；
对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R＝1000AU，
根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期＝（2002﹣1994）年＝8年，则周期为T′＝16年，
根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出：M黑＝，其中R为S2的轨迹半长轴，
因此有：M黑＝，代入数据解得：M黑≈4×106M，故B正确，ACD错误。
故选：B。
5．（2021 广东）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
【解答】解：设引力常量为G。
AB、根据万有引力提供向心力，则有：＝mr，解得M＝，要计算地球的质量M，需要知道核心舱的轨道半径和周期，故AB错误；
C、根据万有引力提供向心力，则有：＝mrω2，解得：M＝＝，由于轨道半径不知道，所以无法计算地球的质量，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力，则有：＝m，解得：M＝，已知核心舱的绕地线速度和绕地半径，可以计算地球的质量，故D正确。
故选：D。
6．（2021 浙江）嫦娥五号探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。为等待月面采集的样品，轨道器与返回器的组合体环月做圆周运动。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2地球质量m1＝6.0×1024kg，月球质量m2＝7.3×1022kg，月地距离r1＝3.8×105km，月球半径r2＝1.7×103km。当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200km处做环月匀速圆周运动时，其环绕速度约为（　　）
A．16m/s B．1.1×102m/s C．1.6×103m/s D．1.4×104m/s
【解答】解：组合体在离月球表面距离为r＝r2+h；设组合体质量为m，月球对组合体的万有引力充当向心力，
根据G＝m
可得v＝＝m/s＝1.6×103m/s，故C正确，ABD错误。
故选：C。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 3 页）
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