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课时17 机械能守恒定律及其应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1、理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算；
2、理解重力势能的变化和重力做功的关系；知道重力做功与路径无关；
3、掌握机械能守恒的条件，掌握应用机械能守恒定律分析、解决问题的基本方法；
4、掌握验证机械能守恒定律的实验方法。
1.物理观念：重力势能、机械能
（1）理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
（2）理解动和动能定理。能用动能定理解释生产生活中的现象。
2.科学思维：机械能守恒定律。
（1）理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。定性了解弹性势能。
（2）知道机械能的含义会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。
（3）能应用机械能守恒定律解决具体问题。
3.科学态度与责任
（1）理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。
（2）能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。
4.科学探究：实验：验证机械能守恒定律
（1）熟悉“验证机械能守恒定律”的基本实验原理及注意事项。
（2）会验证创新实验的机械能守恒。
知识点一：重力势能
重力势能
1.定义：物体的重力势能等于它所受重力与高度的乘积。
2.公式：Ep＝mgh.
3.矢标性：重力势能是标量，正负表示其太小。
4.特点
系统性 （1）重力势能是物体和地球所组成的“系统”共同具有的； （2）通常所说的物体的重力势能是一种简化的习惯说法
相对性 物体的重力势能的数学表达式Ep＝mgh，与参考平面的选择有关，式中的h是物体到参考平面的高度
5.重力做功与重力势能变化的关系重力做正功时，重力势能减小：重力做负功时，重力势能增大；重力做多少正（负）功，重力势能就减小（增大）多少，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp
二、弹性势能
1.定义：物体由于发生弹性形变而具有的能.
2.对弹性势能的理解
系统性 弹性势能是发生弹性形变的物体上所有的质点，因相对位置变化而具有的能量，因而弹性势能是整个系统所具有的
相对性 （1）弹性势能的大小也具有相对性，在选取零势能位置后才有意义； （2）弹性势能的大小与零势能位置的选取有关； （3）一般规定自然长度处弹性势能为0，此时弹性势能没有负值
3.大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越太，弹簧的弹性势能越大.
4.弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增太。
知识点二：机械能守恒定律
1．机械能
　　动能和势能统称为机械能，即。
2．机械能守恒定律
　　在只有重力（和系统内弹簧弹力）做功的情形下，动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，而总的机械能保持不变。
要点诠释：（1）判断重力（弹簧的弹力）以外的力是否对物体做功，如果重力（弹簧的弹力）以外的力对物体系统不做功，则物体系统的机械能守恒，否则，机械不能守恒。
　　一般情况下，能使用机械能守恒定律来解决的问题，动能定理一定能解决，这也是动能定理的一个优越性。
　（2）机械能守恒定律的表达式： 一般有三种：①系统初态的总机械能等于末态的总机械能，
② 系统减少的总重力势能等于系统增加的总动能，即
③ 若系统只有A、B两物体，则A减少的机械能等于B增加的机械能，即
技巧点拨：
机械能守恒的判断方法
1.利用机械能的定义判断（直接判断）：分析动能和势能的和是否变化.
2.用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒.
3.用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒.
4.表达式
5.（1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零：“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。
（2）分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统.
（3）只要涉及滑动摩擦力做功，机械能一定不守恒。对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒.
6．一般步骤
考点一：机械能守恒定律的基本应用
例1.(2020·湖南衡阳联考)2019年春晚在开场舞蹈《春海》中拉开帷幕．如图所示，五名领舞者在钢丝绳的拉动下以相同速度缓缓升起，若五名领舞者的质量(包括衣服和道具)相等，下面说法中正确的是(　　)
A．观众欣赏表演时可把领舞者看做质点
B．2号和4号领舞者的重力势能相等
C．3号领舞者处于超重状态
D．她们在上升过程中机械能守恒
答案　B
解析　观众欣赏表演时要看领舞者的动作，所以不能将领舞者看做质点，故A错误；2号和4号领舞者始终处于同一高度，质量相等，所以重力势能相等，故B正确；五名领舞者在钢丝绳的拉动下以相同速度缓缓升起，所以处于平衡状态，故C错误；上升过程中，钢丝绳对她们做正功，所以机械能增大，故D错误．
变式训练1.(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
答案　ABC
解析　在运动员到达最低点前，运动员一直向下运动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，故选项A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运动员向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项B正确；对于运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，故选项C正确；重力做功是重力势能转化的量度，即WG＝－ΔEp，而蹦极过程中重力做功与重力势能零点的选取无关，所以重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．
变式训练2.如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)(　　)
A．在任一时刻，两球动能相等
B．在任一时刻，两球加速度相等
C．在任一时刻，系统动能与重力势能之和保持不变
D．在任一时刻，系统机械能是不变的
答案　D
解析　细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、Q两球受力分析可知aP>aQ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，选项A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能与重力势能之和发生变化，选项C错误；Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，选项D正确．
考点二：单物体的机械能守恒
例2.如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，xAB＝2 m，滑块可视为质点，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑块在斜面上运动的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远．
答案　(1)1 s　(2)5.75 m
解析　(1)设滑块到达A点的速度为vA，从A到C过程机械能守恒有
mv＝mgRcos 37°
从B到A过程，滑块做匀加速直线运动，由匀变速直线运动规律可知v＝2axAB
vA＝at
联立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s
(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为vD，在D点，由重力提供向心力，有mg＝m
从A到D由机械能守恒有
mvA′2＝mgR(1＋cos 37°)＋mv
vA′2＝2ax′
联立各式解得x′＝5.75 m.
变式训练如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
答案　(1)5∶1　(2)能，理由见解析
解析　(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得
EkA＝mg·①
设小球在B点的动能为EkB，同理有
EkB＝mg·②
由①②式得＝5③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有
FN＋mg＝m⑤
由④⑤式得vC≥
对全程由机械能守恒定律得mg·＝mvC′2⑦
则vC′＝
vC的最小值恰好等于vC′，即小球恰好可以沿轨道运动到C点．
考点三：双物体系统的机械能守恒
例3、(2019·东北三省三校第二次联合模拟)如图5所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计．两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g.在此后的运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
图5
A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为
D．a球的最大速度为
答案　C
解析　a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由运动关联可知vbcos θ＝vasin θ，则vb＝vatan θ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B错误；当杆L和杆L1第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由系统机械能守恒有mg(l＋l)＝mv，解得vb＝，C正确；当轻杆L和杆L2第一次平行时，由运动的关联可知此时b球的速度为零，由系统机械能守恒有mg·l＝mv，解得va＝，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D错误．
变式训练(多选)(2021·云南昆明)如图所示，质量为m的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知M＝2m.与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为d＝3 m，定滑轮大小及质量可忽略．现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，重力加速度取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
A．A、C间距离为4 m
B．小环最终静止在C点
C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能
D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶1
答案　AD
解析　小环运动到C点时，由机械能守恒得：mgLAC＝Mg(－d)，解得：LAC＝4 m，故A正确；假设小环最终静止在C点，则绳中的拉力大小等于2mg，在C点对小环有：FT＝＝mg≠2mg，所以假设不成立，小环不能静止，故B错误；由机械能守恒可知，小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能和小环增加的动能，故C错误；将小环的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的速度即为物块的速度vM＝vmcos 60°，由Ek＝
mv2可知，小环与物块的动能之比为2∶1，故D正确.
1．（2021 浙江）某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是（　　）
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同
B．运动员在A、D位置时重心的速度相同
C．运动员从A到B和从C到D的时间相同
D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间
【解答】解：A、因每次曝光的时间间隔相等，设为△t，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则相邻位置运动员重心的速度变化均为g△t，故A正确；
B、A和D处于同一水平高度，根据机械能守恒知运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，所以速度不同，故B错误；
C、由图可知，运动员从A到B为5△t，从C到D的时间6△t，时间不相同，故C错误；
D、由图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的最高点位于C点，故D错误。
故选：A。
2．（2021 浙江）如图所示，同学们坐在相同的轮胎上，从倾角相同的平直雪道先后由同高度静止滑下，各轮胎与雪道间的动摩擦因数均相同，不计空气阻力。雪道上的同学们（　　）
A．沿雪道做匀速直线运动
B．下滑过程中机械能均守恒
C．前后间的距离随时间不断增大
D．所受重力沿雪道向下的分力相同
【解答】解：A、设平直雪道的倾角为θ，同学坐在轮胎上从静止开始沿雪道下滑，做加速运动，根据牛顿第二定律可知加速度为：a＝＝gsinθ﹣μgcosθ，又因为μ相同，所以同学们做加速度相同的匀加速直线运动，故A错误；
B、下滑过程中摩擦力做负功，雪道上的同学们机械能减小，故B错误；
C、设前一个同学下滑时间t0后，另一个同学开始下滑，根据匀加速直线运动位移与时间的关系可得前后两个同学的间距△x＝﹣＝att0+，可知同学们前后距离随着时间t的不断增大而增大，故C正确；
D、各同学质量可能不同，所以重力沿雪道向下的分力为mgsinθ也可能不相同，故D错误。
故选：C。
3．（2020 新课标Ⅰ）一物块在高3.0m、长5.0m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10m/s2．则（　　）
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0m/s2
D．当物块下滑2.0m时机械能损失了12J
【解答】解：A、物块在初位置其重力势能为Ep＝mgh＝30J，动能Ek＝0
则物块的质量m＝1kg，
此时物块具有的机械能为E1＝Ep+Ek＝30J
当下滑距离为5m时，物块具有的机械能为E2＝Ep′+Ek′＝10J＜E1，
所以下滑过程中物块的机械能减小，故A正确；
B、令斜面的倾角为θ，则sin，
所以θ＝37°
物体下滑的距离为x＝5m的过程中，根据功能关系有Wf＝μmg cosθ x＝E1﹣E2，
代入数据μ＝0.5，故B正确；
C、根据牛顿第二定律可知，物块下滑时加速度的大小为a＝＝2m/s2，故C错误；
D、当物块下滑距离为x′＝2.0m时，物体克服滑动摩擦力做功为Wf＝μmgcosθ x′＝8J，
根据功能关系可知，机械能损失了△E′＝Wf＝8J，故D错误。
故选：AB。
4．（2020 海南）如图，光滑的四分之一圆弧轨道PQ竖直放置，底端与一水平传送带相切，一质量ma＝1kg的小物块a从圆弧轨道最高点P由静止释放，到最低点Q时与另一质量mb＝3kg小物块b发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知圆弧轨道半径R＝0.8m，传送带的长度L＝1.25m，传送带以速度v＝1m/s顺时针匀速转动，小物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10m/s2。求
（1）碰撞前瞬间小物块a对圆弧轨道的压力大小；
（2）碰后小物块a能上升的最大高度；
（3）小物块b从传送带的左端运动到右端所需要的时间。
【解答】解：（1）设小物块a下到圆弧最低点未与小物块b相碰时的速度为va，
根据机械能守恒定律有：magR＝
代入数据解得：va＝4m/s
小物块a在最低点，根据牛顿第二定律有：FN﹣mag＝ma
代入数据解得支持力：FN＝30N
根据牛顿第三定律，可知小物块a对圆弧轨道的压力大小为30N；
（2）小物块a与小物块b发生弹性碰撞，取初速度方向为正方向，根据动量守恒有：mava＝mav′a+mbvb
根据能量守恒有：mava2＝mav′a2+mbvb2
联立解得：v′a＝﹣2m/s，vb＝2m/s
小物块a反弹，对a根据机械能守恒有：magh＝
解得：h＝0.2m；
（3）小物块b滑上传送带，因vb＝2m/s＞1m/s，故小物块b先做匀减速运动，
根据牛顿第二定律有：μmbg＝mba
解得a＝2m/s2
则小物块b由2m/s减至1m/s，所走过的位移为：x1＝＝m＝0.75m
运动的时间为：t1＝＝s＝0.5s
因x1＝0.75m＜L＝1.25m，故小物块b之后将做匀速运动至右端，则匀速运动的时间为：
t2＝＝s＝0.5s
故小物块b从传送带的左端运动到右端所需要的时间：
t＝t1+t2＝0.5s+0.5s＝1s。
答：（1）碰撞前瞬间小物块a对圆弧轨道的压力大小为30N；
（2）碰后小物块a能上升的最大高度为0.2m；
（3）小物块b从传送带的左端运动到右端所需要的时间为1s。
5．（2020 江苏）如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R．在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω．绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）重物落地后，小球线速度的大小v；
（2）重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
（3）重物下落的高度h。
【解答】解：（1）根据线速度和角速度的关系可知，重物落地后，小球线速度的大小为：v＝2Rω
（2）重物落地后一小球转到水平位置，此时小球的向心力为：F向＝2mRω2
此时小球受到的向心力等于球受到杆的作用力与球重力的合力，如图所示；
根据几何关系可得：F＝＝m
（3）落地时，重物的速度为：v'＝ωR
由机械能守恒得：Mv′2+4×mv2＝Mgh
解得：h＝（ωR）2。
答：（1）重物落地后，小球线速度的大小为2Rω；
（2）重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小为m；
（3）重物下落的高度为（ωR）2。
6．（2021 浙江）如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G点与竖直墙面的距离d＝R。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。
（1）若释放处高度h＝h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vC及在此过程中所受合力的冲量I的大小和方向；
（2）求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式；
（3）若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？
【解答】解：（1）对小球，从释放点到圆管最低点C的过程中，由机械能守恒定律得：
mgh0＝
代入数据解得速度大小vC为：vC＝
在此过程中，对小球由动量定理得：I＝mvC
代入数据解得所受合力的冲量I的大小：I＝m，方向水平向左。
（2）对小球从释放点到D点的过程中，由机械能守恒定律得：
mg（h﹣R）＝
在D点，对小球由牛顿第二定律得：
FN＝
联立解得D点所受弹力FN与h的关系式为：FN＝2mg（﹣1）
满足的条件为：h≥R
（3）第1种情况：不滑离轨道原路返回，条件为：h≤
第2种情况：与墙面垂直碰撞后原路返回，在进入G之前做平抛运动，由运动学公式得：d＝vxt
竖直方向上，由速度﹣时间公式得：t＝
对小球在G点，由速度的分解得：vx＝vGsinθ，vy＝vGcosθ
联立解得：vG＝2
对小球从释放点到G点的过程中，由机械能守恒定律得：
mg（h﹣R）＝
联立解得h满足的条件为：h＝
答：（1）小球第一次运动到圆管最低点C时，速度大小vC为，在此过程中所受合力的冲量I大小为m，方向水平向左；
（2）小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式为FN＝2mg（﹣1）；
（3）小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该：不滑离轨道原路返回，条件为h≤，与墙面垂直碰撞后原路返回，条件为h＝。
7．（2020 天津）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为m1的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为m2的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；
（2）碰撞前瞬间B的动能Ek至少多大？
【解答】解：（1）A恰好能通过圆周运动最高点，此时轻绳拉力恰好为零，设A在最高点的速度为v，由牛顿第二定律，有
①
A从最低点到最高点过程机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设A在最低点的速度为vA，有
②
由动量定理，有
I＝m1vA③
联立①②③式，得
I＝④
（2）设两球粘在一起时速度v′，AB粘在一起恰能通过圆周运动轨迹最高点，需满足
v′＝vA⑤
要达到上述条件，碰撞后两球速度方向必须与碰前B的速度方向相同，以此方向为正方向，设B碰前瞬时速度大小为vB，由动量守恒定律，有
m2vB﹣m1vA＝（m1+m2）v′⑥
又
⑦
联立①②⑤⑥⑦
⑧
答：（1）A受到的水平瞬时冲量的大小为；
（2）碰撞前瞬间B的动能Ek至少。
8．（2021 北京）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力f＝kv（k为常量）的作用。其速率v随时间t的变化规律可用方程G﹣kv＝m（①式）描述，其中m为物体质量，G为其重力。求物体下落的最大速率vm。
（2）情境2：如图1所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为R。闭合开关S，发现电路中电流I随时间t的变化规律与情境1中物体速率v随时间t的变化规律类似。类比①式，写出电流I随时间t变化的方程；并在图2中定性画出I﹣t图线。
（3）类比情境1和情境2中的能量转化情况，完成下表。
情境1 情境2
物体重力势能的减少量 　电源提供的电能　
物体动能的增加量 　线圈磁场能的增加量　
　克服阻力做功消耗的机械能　 电阻R上消耗的电能
【解答】解：（1）当物体下落速度达到最大速度vm时加速度为零，则有：G＝kvm
解得：vm＝；
（2）a、电路中电流I随时间t的变化规律为：E﹣IR＝L（其中L为线圈的自感系数）
b、根据E﹣IR＝L可得：＝，由于E、R、L不变，I逐渐增大，则I﹣t图像的斜率逐渐减小，最后稳定时I＝；
I﹣t图像如图所示；
（3）情境1物体重力势能的减少量是整个过程中能量的来源，对应情境2中电源提供的电能；
情境1中物体动能的增加量，对应情境2中线圈磁场能的增加量；
情境2电阻R上消耗的电能，相当于情景1中克服阻力做功消耗的机械能。
答：（1）物体下落的最大速率为；
（2）电流I随时间t变化的方程为E﹣IR＝L；画出I﹣t图线见解析；
（3）类比情境1和情境2中的能量转化情况，填写的表格如下图：
情境1 情境2
电源提供的电能
线圈磁场能的增加量
克服阻力做功消耗的机械能
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课时17 机械能守恒定律及其应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1、理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算；
2、理解重力势能的变化和重力做功的关系；知道重力做功与路径无关；
3、掌握机械能守恒的条件，掌握应用机械能守恒定律分析、解决问题的基本方法；
4、掌握验证机械能守恒定律的实验方法。
1.物理观念：重力势能、机械能
（1）理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
（2）理解动和动能定理。能用动能定理解释生产生活中的现象。
2.科学思维：机械能守恒定律。
（1）理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。定性了解弹性势能。
（2）知道机械能的含义会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。
（3）能应用机械能守恒定律解决具体问题。
3.科学态度与责任
（1）理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。
（2）能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。
4.科学探究：实验：验证机械能守恒定律
（1）熟悉“验证机械能守恒定律”的基本实验原理及注意事项。
（2）会验证创新实验的机械能守恒。
知识点一：重力势能
重力势能
1.定义：物体的重力势能等于它所受重力与高度的乘积。
2.公式：Ep＝mgh.
3.矢标性：重力势能是标量，正负表示其太小。
4.特点
系统性 （1）重力势能是物体和地球所组成的“系统”共同具有的； （2）通常所说的物体的重力势能是一种简化的习惯说法
相对性 物体的重力势能的数学表达式Ep＝mgh，与参考平面的选择有关，式中的h是物体到参考平面的高度
5.重力做功与重力势能变化的关系重力做正功时，重力势能减小：重力做负功时，重力势能增大；重力做多少正（负）功，重力势能就减小（增大）多少，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp
二、弹性势能
1.定义：物体由于发生弹性形变而具有的能.
2.对弹性势能的理解
系统性 弹性势能是发生弹性形变的物体上所有的质点，因相对位置变化而具有的能量，因而弹性势能是整个系统所具有的
相对性 （1）弹性势能的大小也具有相对性，在选取零势能位置后才有意义； （2）弹性势能的大小与零势能位置的选取有关； （3）一般规定自然长度处弹性势能为0，此时弹性势能没有负值
3.大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越太，弹簧的弹性势能越大.
4.弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增太。
知识点二：机械能守恒定律
1．机械能
　　动能和势能统称为机械能，即。
2．机械能守恒定律
　　在只有重力（和系统内弹簧弹力）做功的情形下，动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，而总的机械能保持不变。
要点诠释：（1）判断重力（弹簧的弹力）以外的力是否对物体做功，如果重力（弹簧的弹力）以外的力对物体系统不做功，则物体系统的机械能守恒，否则，机械不能守恒。
　　一般情况下，能使用机械能守恒定律来解决的问题，动能定理一定能解决，这也是动能定理的一个优越性。
　（2）机械能守恒定律的表达式： 一般有三种：①系统初态的总机械能等于末态的总机械能，
② 系统减少的总重力势能等于系统增加的总动能，即
③ 若系统只有A、B两物体，则A减少的机械能等于B增加的机械能，即
技巧点拨：
机械能守恒的判断方法
1.利用机械能的定义判断（直接判断）：分析动能和势能的和是否变化.
2.用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒.
3.用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒.
4.表达式
5.（1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零：“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。
（2）分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统.
（3）只要涉及滑动摩擦力做功，机械能一定不守恒。对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒.
6．一般步骤
考点一：机械能守恒定律的基本应用
例1.(2020·湖南衡阳联考)2019年春晚在开场舞蹈《春海》中拉开帷幕．如图所示，五名领舞者在钢丝绳的拉动下以相同速度缓缓升起，若五名领舞者的质量(包括衣服和道具)相等，下面说法中正确的是(　　)
A．观众欣赏表演时可把领舞者看做质点
B．2号和4号领舞者的重力势能相等
C．3号领舞者处于超重状态
D．她们在上升过程中机械能守恒
答案　B
解析　观众欣赏表演时要看领舞者的动作，所以不能将领舞者看做质点，故A错误；2号和4号领舞者始终处于同一高度，质量相等，所以重力势能相等，故B正确；五名领舞者在钢丝绳的拉动下以相同速度缓缓升起，所以处于平衡状态，故C错误；上升过程中，钢丝绳对她们做正功，所以机械能增大，故D错误．
变式训练1.(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
答案　ABC
解析　在运动员到达最低点前，运动员一直向下运动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，故选项A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运动员向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项B正确；对于运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，故选项C正确；重力做功是重力势能转化的量度，即WG＝－ΔEp，而蹦极过程中重力做功与重力势能零点的选取无关，所以重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．
变式训练2.如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)(　　)
A．在任一时刻，两球动能相等
B．在任一时刻，两球加速度相等
C．在任一时刻，系统动能与重力势能之和保持不变
D．在任一时刻，系统机械能是不变的
答案　D
解析　细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、Q两球受力分析可知aP>aQ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，选项A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能与重力势能之和发生变化，选项C错误；Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，选项D正确．
考点二：单物体的机械能守恒
例2.如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，xAB＝2 m，滑块可视为质点，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑块在斜面上运动的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远．
答案　(1)1 s　(2)5.75 m
解析　(1)设滑块到达A点的速度为vA，从A到C过程机械能守恒有
mv＝mgRcos 37°
从B到A过程，滑块做匀加速直线运动，由匀变速直线运动规律可知v＝2axAB
vA＝at
联立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s
(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为vD，在D点，由重力提供向心力，有mg＝m
从A到D由机械能守恒有
mvA′2＝mgR(1＋cos 37°)＋mv
vA′2＝2ax′
联立各式解得x′＝5.75 m.
变式训练如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
答案　(1)5∶1　(2)能，理由见解析
解析　(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得
EkA＝mg·①
设小球在B点的动能为EkB，同理有
EkB＝mg·②
由①②式得＝5③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有
FN＋mg＝m⑤
由④⑤式得vC≥
对全程由机械能守恒定律得mg·＝mvC′2⑦
则vC′＝
vC的最小值恰好等于vC′，即小球恰好可以沿轨道运动到C点．
考点三：双物体系统的机械能守恒
例3、(2019·东北三省三校第二次联合模拟)如图5所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计．两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g.在此后的运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
图5
A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为
D．a球的最大速度为
答案　C
解析　a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由运动关联可知vbcos θ＝vasin θ，则vb＝vatan θ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B错误；当杆L和杆L1第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由系统机械能守恒有mg(l＋l)＝mv，解得vb＝，C正确；当轻杆L和杆L2第一次平行时，由运动的关联可知此时b球的速度为零，由系统机械能守恒有mg·l＝mv，解得va＝，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D错误．
变式训练(多选)(2021·云南昆明)如图所示，质量为m的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知M＝2m.与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为d＝3 m，定滑轮大小及质量可忽略．现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，重力加速度取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
A．A、C间距离为4 m
B．小环最终静止在C点
C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能
D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶1
答案　AD
解析　小环运动到C点时，由机械能守恒得：mgLAC＝Mg(－d)，解得：LAC＝4 m，故A正确；假设小环最终静止在C点，则绳中的拉力大小等于2mg，在C点对小环有：FT＝＝mg≠2mg，所以假设不成立，小环不能静止，故B错误；由机械能守恒可知，小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能和小环增加的动能，故C错误；将小环的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的速度即为物块的速度vM＝vmcos 60°，由Ek＝
mv2可知，小环与物块的动能之比为2∶1，故D正确.
1．（2021 浙江）某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是（　　）
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同
B．运动员在A、D位置时重心的速度相同
C．运动员从A到B和从C到D的时间相同
D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间
2．（2021 浙江）如图所示，同学们坐在相同的轮胎上，从倾角相同的平直雪道先后由同高度静止滑下，各轮胎与雪道间的动摩擦因数均相同，不计空气阻力。雪道上的同学们（　　）
A．沿雪道做匀速直线运动
B．下滑过程中机械能均守恒
C．前后间的距离随时间不断增大
D．所受重力沿雪道向下的分力相同
3．（2020 新课标Ⅰ）一物块在高3.0m、长5.0m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10m/s2．则（　　）
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0m/s2
D．当物块下滑2.0m时机械能损失了12J
4．（2020 海南）如图，光滑的四分之一圆弧轨道PQ竖直放置，底端与一水平传送带相切，一质量ma＝1kg的小物块a从圆弧轨道最高点P由静止释放，到最低点Q时与另一质量mb＝3kg小物块b发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知圆弧轨道半径R＝0.8m，传送带的长度L＝1.25m，传送带以速度v＝1m/s顺时针匀速转动，小物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10m/s2。求
（1）碰撞前瞬间小物块a对圆弧轨道的压力大小；
（2）碰后小物块a能上升的最大高度；
（3）小物块b从传送带的左端运动到右端所需要的时间。
5．（2020 江苏）如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R．在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω．绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）重物落地后，小球线速度的大小v；
（2）重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
（3）重物下落的高度h。
6．（2021 浙江）如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G点与竖直墙面的距离d＝R。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。
（1）若释放处高度h＝h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vC及在此过程中所受合力的冲量I的大小和方向；
（2）求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式；
（3）若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？
7．（2020 天津）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为m1的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为m2的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；
（2）碰撞前瞬间B的动能Ek至少多大？
8．（2021 北京）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力f＝kv（k为常量）的作用。其速率v随时间t的变化规律可用方程G﹣kv＝m（①式）描述，其中m为物体质量，G为其重力。求物体下落的最大速率vm。
（2）情境2：如图1所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为R。闭合开关S，发现电路中电流I随时间t的变化规律与情境1中物体速率v随时间t的变化规律类似。类比①式，写出电流I随时间t变化的方程；并在图2中定性画出I﹣t图线。
（3）类比情境1和情境2中的能量转化情况，完成下表。
情境1 情境2
物体重力势能的减少量 　电源提供的电能　
物体动能的增加量 　线圈磁场能的增加量　
　克服阻力做功消耗的机械能　 电阻R上消耗的电能
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 3 页）
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