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课时21 力学三大观点的综合应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1、知道弹性碰撞和非弹性碰撞；
2、能用动量守恒定律定量分析一维碰撞问题；
3、知道动量守恒定律的普遍意义
4、会从动量和能量的角度分析碰撞问题
1.物理观念：碰撞、反冲。
定量分析维碰撞问题并能解释生产生活中的弹性碰撞和非弹性碰撞现象。
2.科学思维：会用动量守恒观点分析反冲运动、人船模型、“子弹打木块″、“滑块木板″模型的有关问题。
3.科学态度与责任：现代航天技术与反冲。
体会用守恒定律分析的方法，体会自然界的和谐与统一。
知识点一：三类模型问题
模型一：子弹打木块模型
模型图示
2.模型特点
（1）子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。
（2）系统的机械有损失。
3.两种情景
模型二：滑块---木板”碰撞模型
模型三：“滑块---弹簧”碰撞模型
知识点二：动量与动力学观点
1．解动力学问题的三个基本观点
(1)力的观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
(2)能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
(3)动量观点：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
2．力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量．
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换．作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决．
知识点三：力学观点与多过程问题
1．表现形式
(1)直线运动：水平面上的直线运动、斜面上的直线运动、传送带上的直线运动．
(2)圆周运动：绳模型圆周运动、杆模型圆周运动、拱形桥模型圆周运动．
(3)平抛运动：与斜面有关的平抛运动、与圆轨道有关的平抛运动．
2．应对策略
(1)力的观点解题：要认真分析运动状态的变化，关键是求出加速度．
(2)两大定理解题：应确定过程的初、末状态的动量(动能)，分析并求出过程中的冲量(功)．
(3)过程中动量或机械能守恒：根据题意选择合适的初、末状态，列守恒关系式，一般这两个守恒定律多用于求某状态的速度(率)．
知识点四：动量守恒定律应用中的临界问题
在与动量守恒定律相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系。
1.滑块与小车的临界问题
滑块与小车是一种常见的相互作用模型。如图所示，滑块冲上小车后，滑块做减速运动，小车做加速运动。滑块刚好不滑出小车的临界条件是滑块到达小车末端时，滑块与小车的速度相同。
2.涉及弹簧的临界问题
对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度相等。
3.涉及最大高度的临界问题：在物体滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的速度等于零。
考点一：动量守恒定律和机械能守恒定律（动能定理、能量守恒定律）的综合应用
　例1：如图1，一质量M＝6 kg的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量m＝6 kg，停在木板B的左端．质量为m0＝1 kg的小球用长为L＝0.8 m的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与物块A发生碰撞后反弹，反弹所能达到的距最低点的最大高度为h＝0.2 m，物块A与小球可视为质点，不计空气阻力．已知物块A、木板B间的动摩擦因数μ＝0.1，(取g＝10 m/s2)求：
图1
(1)小球运动到最低点与物块A碰撞前瞬间，小球的速度大小；
(2)小球与物块A碰撞后瞬间，物块A的速度大小；
(3)为使物块A、木板B达到共同速度前物块A不滑离木板，木板B至少多长．
答案　(1)4 m/s　(2)1 m/s　(3)0.25 m
解析　(1)对小球下摆过程，由机械能守恒定律得：
m0gL＝m0v，解得v0＝4 m/s
(2)对小球反弹后上升到最高点的过程，由机械能守恒定律得
m0gh＝m0v
解得：v1＝2 m/s
小球与物块A碰撞过程系统动量守恒，以小球碰前速度的方向为正方向
由动量守恒定律得：m0v0＝－m0v1＋mvA
解得vA＝1 m/s
(3)物块A与木板B相互作用过程，系统动量守恒，以物块A的速度方向为正方向
由动量守恒定律得：mvA＝(m＋M)v，
解得v＝0.5 m/s
由能量守恒定律得：μmgx＝mv－(m＋M)v2，
解得x＝0.25 m.
变式训练．如图2所示，半径R＝2.8 m的光滑半圆轨道BC与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB相连，A处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B处与圆轨道相切．在水平轨道上，两静止小球P、Q压紧轻质弹簧后用细线连在一起．某时刻剪断细线后，小球P向左运动到A点时，小球Q沿圆轨道到达C点；之后小球Q落到斜面上时恰好与沿斜面向下运动的小球P发生碰撞．已知小球P的质量m1＝3.2 kg，小球Q的质量m2＝1 kg，小球P与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，剪断细线前弹簧的弹性势能Ep＝168 J，小球到达A点或B点时已和弹簧分离．重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
图2
(1)小球Q运动到C点时的速度大小；
(2)小球P沿斜面上升的最大高度h；
(3)小球Q离开圆轨道后经过多长时间与小球P相碰．
答案　(1)12 m/s　(2)0.75 m　(3)1 s
解析　(1)两小球弹开的过程，由动量守恒定律得：m1v1＝m2v2
由机械能守恒定律得：Ep＝m1v＋m2v
联立可得：v1＝5 m/s，v2＝16 m/s
小球Q沿圆轨道运动过程中，由机械能守恒定律可得：
m2v＝m2v＋2m2gR
解得：vC＝12 m/s，
(2)小球P在斜面上向上运动的加速度为a1，由牛顿第二定律得：
m1gsin θ＋μm1gcos θ＝m1a1，
解得：a1＝10 m/s2
故上升的最大高度为：h＝sin θ＝0.75 m
(3)设小球P从A点上升到两小球相遇所用的时间为t，小球P沿斜面下滑的加速度为a2，则：
m1gsin θ－μm1gcos θ＝m1a2，
解得：a2＝2 m/s2
小球P上升到最高点所用的时间：t1＝＝0.5 s，
则：2R＝gt2＋h－a2(t－t1)2sin θ
解得：t＝1 s.
考点二：动量和能量综合问题
例2．(2020·天津卷·11)长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为m1的小球A，处于静止状态．A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点．当A回到最低点时，质量为m2的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点．不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)A受到的水平瞬时冲量I的大小；
(2)碰撞前瞬间B的动能Ek至少多大？
答案　(1)m1　(2)
解析　(1)A恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设A在最高点时的速度大小为v，由牛顿第二定律，有
m1g＝m1
A从最低点到最高点的过程中机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设A在最低点的速度大小为vA，有
m1v＝m1v2＋2m1gl
联立解得vA＝
由动量定理，有I＝m1vA＝m1
(2)设两球粘在一起时速度大小为v′，若A、B粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足
v′＝vA
要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前B的速度方向相同，以此方向为正方向，设B碰前瞬间的速度大小为vB，由动量守恒定律，有
m2vB－m1vA＝v′
联立解得vB＝
又Ek＝m2v
可得碰撞前瞬间B的动能Ek至少为
Ek＝.
变式训练．(山东省实验中学第二次模拟)如图所示，有一个可视为质点的质量为m＝1 kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0＝2 m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M＝3 kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R＝0.4 m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，g取10 m/s2.求：
图
(1)小物块到达C点时的速度大小；
(2)小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
(3)要使小物块不滑出长木板，长木板的长度L至少多大．
答案　(1)4 m/s　(2)60 N，方向竖直向下　(3)2.5 m
解析　(1)小物块到达C点时的速度方向与水平方向的夹角为60°，
vC＝＝4 m/s
(2)小物块由C到D的过程中，由动能定理得：mgR(1－cos 60°)＝mvD2－mvC2，
代入数据解得：vD＝2 m/s.
小物块在D点时由牛顿第二定律得：FN－mg＝m
代入数据解得：FN＝60 N，
由牛顿第三定律得：FN′＝FN＝60 N，方向竖直向下．
(3)若小物块始终在长木板上，当达到共同速度时速度大小为v，小物块在长木板上滑行的过程中，由动量守恒定律得mvD＝(M＋m)v
解得：v＝ m/s
对物块和长木板组成的系统，
由功能关系得μmgL＝mvD2－(M＋m)v2
解得：L＝2.5 m．
考点三：分析爆炸反冲问题
例3.（2021·全国）如图所示，木块A、B的质量均为m，放在一段粗糙程度相同的水平地面上，木块A、B间夹有一小块炸药（炸药的质量可以忽略不计）。让A、B以初速度v0一起从O点滑出，滑行一段距离后到达P点，速度变为，此时炸药爆炸使木块A、B脱离，发现木块B立即停在原位置，木块A继续沿水平方向前进。已知O、P两点间的距离为s，设炸药爆炸时释放的化学能全部转化为木块的动能，爆炸时间很短可以忽略不计，求：
(1)木块与水平地面间的动摩擦因数μ；
(2)炸药爆炸时释放的化学能E0。
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)从O滑到P，对A、B由动能定理得
解得
(2)在P点爆炸时，A、B组成的系统动量守恒，有
根据能量守恒定律有
解得
变式训练　(2020·山东济宁市质检)如图所示，质量为m的炮弹运动到水平地面O点正上方时速度沿水平方向，离地面高度为h，炮弹动能为E，此时发生爆炸，炮弹炸为质量相等的两部分，两部分的动能之和为2E，速度方向仍沿水平方向，爆炸时间极短，重力加速度为g，不计空气阻力和火药的质量，求炮弹的两部分落地点之间的距离．
答案　4
解析　爆炸之前E＝mv
爆炸过程动量守恒：mv0＝mv1＋mv2
·v＋·v＝2E
解得：v1＝0，v2＝2v0
随后一块做自由落体运动，一块做平抛运动，
则由h＝gt2，x＝2v0t
解得x＝4.
1．（2020 新课标Ⅲ）甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。已知甲的质量为，则碰撞过程两物块损失的机械能为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令乙的质量为，碰撞前甲、乙的速度大小分别为和，
碰撞后甲、乙的速度大小分别为和，
碰撞过程中动量守恒，则，
即，
解得，
则碰撞过程两物块损失的机械能△，故正确，错误。
故选：。
2．（2020 新课标Ⅱ）水平冰面上有一固定的竖直挡板。一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为的静止物块以大小为的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于，反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设该运动员的质量为，物块的质量为，推物块的速度大小为，取人运动的方向为正方向，根据动量守恒定律可得：
第一次推物块的过程中：
第二次推物块的过程中：
第三次推物块的过程中：
第次推物块的过程中：
以上各式相加可得：
当时，，解得
当时，，解得，
故，故错误、正确。
故选：。
3．（2020 江苏）一只质量为的乌贼吸入的水，静止在水中。遇到危险时，它在极短时间内把吸入的水向后全部喷出，以的速度向前逃窜。求该乌贼喷出的水的速度大小。
【解答】解：乌贼与乌贼喷出的水组成的系统为研究对象，系统动量守恒，以乌贼的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
代入数据解得乌贼喷出的水的速度为：
答：该乌贼喷出的水的速度大小为。
4．（2020 浙江）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道和倾角的斜轨道平滑连接而成。质量的小滑块从弧形轨道离地高处静止释放。已知，，滑块与轨道和间的动摩擦因数均为，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
（1）求滑块运动到与圆心等高的点时对轨道的压力；
（2）通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端点；
（3）若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距点处的质量为的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为0.25，求它们在轨道上到达的高度与之间的关系。（碰撞时间不计，，
【解答】解：（1）滑块从开始下滑到点过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：
在点，轨道的弹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
，
代入数据解得：，
由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力大小：，方向：水平向左；
（2）设滑块在斜轨道上到达的最高点为，的长度为，从滑块开始下滑到过程，由能量守恒定律得：
，
代入数据解得：，滑块不能冲出斜轨道的末端点；
（3）滑块开始下滑到运动到距离点处过程，由动能定理得：
两滑块碰撞过程系统动量守恒，设碰撞后的速度为，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
，
设碰撞后滑块滑上斜轨道的高度为，碰撞后滑块滑动过程，由动能定理得：、
解得： 或；
答：（1）滑块运动到与圆心等高的点时对轨道的压力大小为，方向：水平向左；
（2）滑块不能冲出斜轨道的末端点；
（3）它们在轨道上到达的高度与之间的关系是： 或。
5．（2020 山东）如图所示，一倾角为的固定斜面的底端安装一弹性挡板，、两物块的质量分别为和，静止于斜面上处。某时刻，以沿斜面向上的速度与发生弹性碰撞。与斜面间的动摩擦因数等于，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，的速度减为零之前不会与之发生碰撞。重力加速度大小为。
（1）求与第一次碰撞后瞬间各自的速度大小、；
（2）求第次碰撞使物块上升的高度；
（3）求物块从点上升的总高度；
（4）为保证在的速度减为零之前不会与之发生碰撞，求点与挡板之间的最小距离。
【解答】解：（1）、发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以平行于斜面向上为正方向，由动量守恒定律得：
由机械能守恒定律得：
解得：，负号表示方向，
（2）向上滑行过程，由牛顿第二定律得：
解得：
、第一次碰撞后上升的高度为，对，由运动学公式得：
解得：
设运动到与刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为，第一次碰撞后到第二次碰撞前，对，由动能定理得：
解得：
、发生第二次碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以平行于斜面向上为正方向，由动量守恒定律得：
由机械能守恒定律得：
解得：，
第二次碰撞后向上运动过程，由运动学公式得：
解得：
设运动到与刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为，第二次碰撞后到第三次碰撞前，对，由动能定理得：
解得：
与第三次碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以平行于斜面向上为正方向，由动量守恒定律得：
由机械能守恒定律得：
解得：，
第三次碰撞后对，由运动学公式得：
，
解得：
第次碰撞后，上升的高度：、2、
（3）、向上运动过程速度逐渐减小，两物体到达同一位置时发生碰撞，
当、最后一次发生碰撞时到达最高点，此时两者到达同一高度，
当、到达时，两物块到此处的速度可视为零，对两物块运动全过程，由动能定理得：
解得：
（4）设第一次碰撞至速度减为零需要的时间为，则：
设运动到斜面底端时的速度为，需要的时间为，则：，，
设从点到第一次碰撞后速度减为零处匀减速运动的时间为，则：，
当点与挡板之间的距离最小时：
解得：
答：（1）与第一次碰撞后瞬间各自的速度大小、分别为、；
（2）第次碰撞使物块上升的高度是、2、；
（3）物块从点上升的总高度为；
（4）为保证在的速度减为零之前不会与之发生碰撞，点与挡板之间的最小距离为。
6．（2019 海南）如图，用不可伸长轻绳将物块悬挂在点：初始时，轻绳处于水平拉直状态。现将由静止释放，当物块下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰撞后滑行的最大距离为。已知的质量是的3倍。与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为。求
（1）碰撞后瞬间物块速度的大小；
（2）轻绳的长度。
【解答】解：（1）设的质量为，则的质量为。
碰撞后滑行过程，根据动能定理得
。
解得，碰撞后瞬间物块速度的大小
（2）对于、碰撞过程，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律得
。
根据机械能守恒得。
设轻绳的长度为．对于下摆的过程，根据机械能守恒得
。
联立解得
答：
（1）碰撞后瞬间物块速度的大小为。
（2）轻绳的长度是。
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课时21 力学三大观点的综合应
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1、知道弹性碰撞和非弹性碰撞；
2、能用动量守恒定律定量分析一维碰撞问题；
3、知道动量守恒定律的普遍意义
4、会从动量和能量的角度分析碰撞问题
1.物理观念：碰撞、反冲。
定量分析维碰撞问题并能解释生产生活中的弹性碰撞和非弹性碰撞现象。
2.科学思维：会用动量守恒观点分析反冲运动、人船模型、“子弹打木块″、“滑块木板″模型的有关问题。
3.科学态度与责任：现代航天技术与反冲。
体会用守恒定律分析的方法，体会自然界的和谐与统一。
知识点一：三类模型问题
模型一：子弹打木块模型
模型图示
2.模型特点
（1）子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。
（2）系统的机械有损失。
3.两种情景
模型二：滑块---木板”碰撞模型
模型三：“滑块---弹簧”碰撞模型
知识点二：动量与动力学观点
1．解动力学问题的三个基本观点
(1)力的观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
(2)能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
(3)动量观点：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
2．力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量．
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换．作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决．
知识点三：力学观点与多过程问题
1．表现形式
(1)直线运动：水平面上的直线运动、斜面上的直线运动、传送带上的直线运动．
(2)圆周运动：绳模型圆周运动、杆模型圆周运动、拱形桥模型圆周运动．
(3)平抛运动：与斜面有关的平抛运动、与圆轨道有关的平抛运动．
2．应对策略
(1)力的观点解题：要认真分析运动状态的变化，关键是求出加速度．
(2)两大定理解题：应确定过程的初、末状态的动量(动能)，分析并求出过程中的冲量(功)．
(3)过程中动量或机械能守恒：根据题意选择合适的初、末状态，列守恒关系式，一般这两个守恒定律多用于求某状态的速度(率)．
知识点四：动量守恒定律应用中的临界问题
在与动量守恒定律相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系。
1.滑块与小车的临界问题
滑块与小车是一种常见的相互作用模型。如图所示，滑块冲上小车后，滑块做减速运动，小车做加速运动。滑块刚好不滑出小车的临界条件是滑块到达小车末端时，滑块与小车的速度相同。
2.涉及弹簧的临界问题
对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度相等。
3.涉及最大高度的临界问题：在物体滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的速度等于零。
考点一：动量守恒定律和机械能守恒定律（动能定理、能量守恒定律）的综合应用
　例1：如图1，一质量M＝6 kg的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量m＝6 kg，停在木板B的左端．质量为m0＝1 kg的小球用长为L＝0.8 m的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与物块A发生碰撞后反弹，反弹所能达到的距最低点的最大高度为h＝0.2 m，物块A与小球可视为质点，不计空气阻力．已知物块A、木板B间的动摩擦因数μ＝0.1，(取g＝10 m/s2)求：
图1
(1)小球运动到最低点与物块A碰撞前瞬间，小球的速度大小；
(2)小球与物块A碰撞后瞬间，物块A的速度大小；
(3)为使物块A、木板B达到共同速度前物块A不滑离木板，木板B至少多长．
答案　(1)4 m/s　(2)1 m/s　(3)0.25 m
解析　(1)对小球下摆过程，由机械能守恒定律得：
m0gL＝m0v，解得v0＝4 m/s
(2)对小球反弹后上升到最高点的过程，由机械能守恒定律得
m0gh＝m0v
解得：v1＝2 m/s
小球与物块A碰撞过程系统动量守恒，以小球碰前速度的方向为正方向
由动量守恒定律得：m0v0＝－m0v1＋mvA
解得vA＝1 m/s
(3)物块A与木板B相互作用过程，系统动量守恒，以物块A的速度方向为正方向
由动量守恒定律得：mvA＝(m＋M)v，
解得v＝0.5 m/s
由能量守恒定律得：μmgx＝mv－(m＋M)v2，
解得x＝0.25 m.
变式训练．如图2所示，半径R＝2.8 m的光滑半圆轨道BC与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB相连，A处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B处与圆轨道相切．在水平轨道上，两静止小球P、Q压紧轻质弹簧后用细线连在一起．某时刻剪断细线后，小球P向左运动到A点时，小球Q沿圆轨道到达C点；之后小球Q落到斜面上时恰好与沿斜面向下运动的小球P发生碰撞．已知小球P的质量m1＝3.2 kg，小球Q的质量m2＝1 kg，小球P与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，剪断细线前弹簧的弹性势能Ep＝168 J，小球到达A点或B点时已和弹簧分离．重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
图2
(1)小球Q运动到C点时的速度大小；
(2)小球P沿斜面上升的最大高度h；
(3)小球Q离开圆轨道后经过多长时间与小球P相碰．
答案　(1)12 m/s　(2)0.75 m　(3)1 s
解析　(1)两小球弹开的过程，由动量守恒定律得：m1v1＝m2v2
由机械能守恒定律得：Ep＝m1v＋m2v
联立可得：v1＝5 m/s，v2＝16 m/s
小球Q沿圆轨道运动过程中，由机械能守恒定律可得：
m2v＝m2v＋2m2gR
解得：vC＝12 m/s，
(2)小球P在斜面上向上运动的加速度为a1，由牛顿第二定律得：
m1gsin θ＋μm1gcos θ＝m1a1，
解得：a1＝10 m/s2
故上升的最大高度为：h＝sin θ＝0.75 m
(3)设小球P从A点上升到两小球相遇所用的时间为t，小球P沿斜面下滑的加速度为a2，则：
m1gsin θ－μm1gcos θ＝m1a2，
解得：a2＝2 m/s2
小球P上升到最高点所用的时间：t1＝＝0.5 s，
则：2R＝gt2＋h－a2(t－t1)2sin θ
解得：t＝1 s.
考点二：动量和能量综合问题
例2．(2020·天津卷·11)长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为m1的小球A，处于静止状态．A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点．当A回到最低点时，质量为m2的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点．不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)A受到的水平瞬时冲量I的大小；
(2)碰撞前瞬间B的动能Ek至少多大？
答案　(1)m1　(2)
解析　(1)A恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设A在最高点时的速度大小为v，由牛顿第二定律，有
m1g＝m1
A从最低点到最高点的过程中机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设A在最低点的速度大小为vA，有
m1v＝m1v2＋2m1gl
联立解得vA＝
由动量定理，有I＝m1vA＝m1
(2)设两球粘在一起时速度大小为v′，若A、B粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足
v′＝vA
要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前B的速度方向相同，以此方向为正方向，设B碰前瞬间的速度大小为vB，由动量守恒定律，有
m2vB－m1vA＝v′
联立解得vB＝
又Ek＝m2v
可得碰撞前瞬间B的动能Ek至少为
Ek＝.
变式训练．(山东省实验中学第二次模拟)如图所示，有一个可视为质点的质量为m＝1 kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0＝2 m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M＝3 kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R＝0.4 m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，g取10 m/s2.求：
图
(1)小物块到达C点时的速度大小；
(2)小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
(3)要使小物块不滑出长木板，长木板的长度L至少多大．
答案　(1)4 m/s　(2)60 N，方向竖直向下　(3)2.5 m
解析　(1)小物块到达C点时的速度方向与水平方向的夹角为60°，
vC＝＝4 m/s
(2)小物块由C到D的过程中，由动能定理得：mgR(1－cos 60°)＝mvD2－mvC2，
代入数据解得：vD＝2 m/s.
小物块在D点时由牛顿第二定律得：FN－mg＝m
代入数据解得：FN＝60 N，
由牛顿第三定律得：FN′＝FN＝60 N，方向竖直向下．
(3)若小物块始终在长木板上，当达到共同速度时速度大小为v，小物块在长木板上滑行的过程中，由动量守恒定律得mvD＝(M＋m)v
解得：v＝ m/s
对物块和长木板组成的系统，
由功能关系得μmgL＝mvD2－(M＋m)v2
解得：L＝2.5 m．
考点三：分析爆炸反冲问题
例3.（2021·全国）如图所示，木块A、B的质量均为m，放在一段粗糙程度相同的水平地面上，木块A、B间夹有一小块炸药（炸药的质量可以忽略不计）。让A、B以初速度v0一起从O点滑出，滑行一段距离后到达P点，速度变为，此时炸药爆炸使木块A、B脱离，发现木块B立即停在原位置，木块A继续沿水平方向前进。已知O、P两点间的距离为s，设炸药爆炸时释放的化学能全部转化为木块的动能，爆炸时间很短可以忽略不计，求：
(1)木块与水平地面间的动摩擦因数μ；
(2)炸药爆炸时释放的化学能E0。
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)从O滑到P，对A、B由动能定理得
解得
(2)在P点爆炸时，A、B组成的系统动量守恒，有
根据能量守恒定律有
解得
变式训练　(2020·山东济宁市质检)如图所示，质量为m的炮弹运动到水平地面O点正上方时速度沿水平方向，离地面高度为h，炮弹动能为E，此时发生爆炸，炮弹炸为质量相等的两部分，两部分的动能之和为2E，速度方向仍沿水平方向，爆炸时间极短，重力加速度为g，不计空气阻力和火药的质量，求炮弹的两部分落地点之间的距离．
答案　4
解析　爆炸之前E＝mv
爆炸过程动量守恒：mv0＝mv1＋mv2
·v＋·v＝2E
解得：v1＝0，v2＝2v0
随后一块做自由落体运动，一块做平抛运动，
则由h＝gt2，x＝2v0t
解得x＝4.
1．（2020 新课标Ⅲ）甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。已知甲的质量为，则碰撞过程两物块损失的机械能为　　
A． B． C． D．
2．（2020 新课标Ⅱ）水平冰面上有一固定的竖直挡板。一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为的静止物块以大小为的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于，反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为　　
A． B． C． D．
3．（2020 江苏）一只质量为的乌贼吸入的水，静止在水中。遇到危险时，它在极短时间内把吸入的水向后全部喷出，以的速度向前逃窜。求该乌贼喷出的水的速度大小。
4．（2020 浙江）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道和倾角的斜轨道平滑连接而成。质量的小滑块从弧形轨道离地高处静止释放。已知，，滑块与轨道和间的动摩擦因数均为，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
（1）求滑块运动到与圆心等高的点时对轨道的压力；
（2）通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端点；
（3）若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距点处的质量为的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为0.25，求它们在轨道上到达的高度与之间的关系。（碰撞时间不计，，
5．（2020 山东）如图所示，一倾角为的固定斜面的底端安装一弹性挡板，、两物块的质量分别为和，静止于斜面上处。某时刻，以沿斜面向上的速度与发生弹性碰撞。与斜面间的动摩擦因数等于，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，的速度减为零之前不会与之发生碰撞。重力加速度大小为。
（1）求与第一次碰撞后瞬间各自的速度大小、；
（2）求第次碰撞使物块上升的高度；
（3）求物块从点上升的总高度；
（4）为保证在的速度减为零之前不会与之发生碰撞，求点与挡板之间的最小距离。
6．（2019 海南）如图，用不可伸长轻绳将物块悬挂在点：初始时，轻绳处于水平拉直状态。现将由静止释放，当物块下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰撞后滑行的最大距离为。已知的质量是的3倍。与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为。求
（1）碰撞后瞬间物块速度的大小；
（2）轻绳的长度。
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